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Terminación de un anillo

En álgebra abstracta , una completitud es cualquiera de varios funtores relacionados en anillos y módulos que dan como resultado anillos y módulos topológicos completos . La completitud es similar a la localización , y juntas se encuentran entre las herramientas más básicas para analizar anillos conmutativos . Los anillos conmutativos completos tienen una estructura más simple que los generales, y el lema de Hensel se aplica a ellos. En geometría algebraica , una completitud de un anillo de funciones R en un espacio X se concentra en un entorno formal de un punto de X : heurísticamente, este es un entorno tan pequeño que todas las series de Taylor centradas en el punto son convergentes. Una completitud algebraica se construye de manera análoga a la completitud de un espacio métrico con sucesiones de Cauchy , y concuerda con ella en el caso en que R tiene una métrica dada por un valor absoluto no arquimediano .

Construcción general

Supongamos que E es un grupo abeliano con una filtración descendente .

de subgrupos. Se define entonces la completitud (con respecto a la filtración) como el límite inverso :

Este es nuevamente un grupo abeliano. Por lo general, E es un grupo abeliano aditivo . Si E tiene una estructura algebraica adicional compatible con la filtración, por ejemplo, E es un anillo filtrado , un módulo filtrado o un espacio vectorial filtrado , entonces su completitud es nuevamente un objeto con la misma estructura que está completo en la topología determinada por la filtración. Esta construcción se puede aplicar tanto a anillos conmutativos como no conmutativos . Como se puede esperar, cuando la intersección de los es igual a cero, esto produce un anillo topológico completo .

Topología de Krull

En álgebra conmutativa , la filtración en un anillo conmutativo R por las potencias de un ideal propio I determina la topología de Krull (según Wolfgang Krull ) o I - ádica en R. El caso de un ideal maximal es especialmente importante, por ejemplo el ideal maximal distinguido de un anillo de valoración . La base de los entornos abiertos de 0 en R está dada por las potencias In , que están anidadas y forman una filtración descendente en R :

(Los vecindarios abiertos de cualquier rR están dados por los coconjuntos r + I n .) La completitud ( I -ádica) es el límite inverso de los anillos de factores ,

pronunciado "RI hat". El núcleo de la función canónica π desde el anillo hasta su completitud es la intersección de las potencias de I . Por lo tanto, π es inyectiva si y solo si esta intersección se reduce al elemento cero del anillo; por el teorema de intersección de Krull , este es el caso para cualquier anillo noetheriano conmutativo que sea un dominio integral o un anillo local .

Existe una topología relacionada con los módulos R , también llamada topología de Krull o I -ádica. Una base de vecindades abiertas de un módulo M está dada por los conjuntos de la forma

La completitud I -ádica de un módulo R M es el límite inverso de los cocientes

Este procedimiento convierte cualquier módulo sobre R en un módulo topológico completo sobre . [¡Esto es incorrecto en general! Solo se da el caso si el ideal se genera de manera finita.]

Ejemplos

El núcleo es el ideal

Las compleciones también se pueden utilizar para analizar la estructura local de las singularidades de un esquema . Por ejemplo, los esquemas afines asociados a y la curva plana cúbica nodal tienen singularidades de aspecto similar en el origen al ver sus gráficos (ambos parecen un signo más). Observe que en el segundo caso, cualquier vecindad de Zariski del origen sigue siendo una curva irreducible. Si utilizamos compleciones, entonces estamos viendo una vecindad "suficientemente pequeña" donde el nodo tiene dos componentes. Tomando las localizaciones de estos anillos a lo largo del ideal y completando obtenemos y respectivamente, donde es la raíz cuadrada formal de en Más explícitamente, la serie de potencias:

Como ambos anillos están dados por la intersección de dos ideales generados por un polinomio homogéneo de grado 1, podemos ver algebraicamente que las singularidades "parecen" iguales. Esto se debe a que dicho esquema es la unión de dos subespacios lineales no iguales del plano afín.

Propiedades

Además, si M y N son dos módulos sobre el mismo anillo topológico R y fM  →  N es una función de módulo continua, entonces f se extiende de manera única a la función de las completaciones:
¿Dónde están los módulos?
Junto con la propiedad anterior, esto implica que el funtor de completitud en R -módulos finitamente generados es exacto : preserva secuencias cortas exactas . En particular, tomar cocientes de anillos conmuta con completitud, lo que significa que para cualquier R -álgebra de cocientes , existe un isomorfismo.
para algún n y algún ideal I (Eisenbud, Teorema 7.7).

Véase también

Citas

  1. ^ "Proyecto Stacks — Etiqueta 0316". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 14 de enero de 2017 .
  2. ^ Atiyah y Macdonald 1969, teorema 10.26.
  3. ^ Atiyah y Macdonald 1969, Proposición 10.16. y Teorema 10.26.
  4. ^ Atiyah y Macdonald 1969, Proposición 10.14.

Referencias