Complejificación

Tema en matemáticas

En matemáticas , la complejización de un espacio vectorial V sobre el campo de números reales (un "espacio vectorial real") produce un espacio vectorial V ^C sobre el campo de números complejos , obtenido extendiendo formalmente la escala de vectores por números reales para incluir sus escalado ("multiplicación") por números complejos. Cualquier base para V (un espacio sobre los números reales) también puede servir como base para V ^C sobre los números complejos.

Definicion formal

Sea un espacio vectorial real. El ${\displaystyle V}$La complejización deVse define tomando elproducto tensorialdecon los números complejos (considerados como un espacio vectorial bidimensional sobre los reales): ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.}$

El subíndice, , en el producto tensorial indica que el producto tensorial se toma sobre los números reales (dado que es un espacio vectorial real, esta es la única opción sensata de todos modos, por lo que el subíndice se puede omitir con seguridad). Tal como está, es sólo un espacio vectorial real. Sin embargo, podemos convertirlo en un espacio vectorial complejo definiendo la multiplicación compleja de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$

${\displaystyle \alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .}$

De manera más general, la complejización es un ejemplo de extensión de escalares (aquí extendiendo escalares de números reales a números complejos) que se puede hacer para cualquier extensión de campo , o incluso para cualquier morfismo de anillos.

Formalmente, la complejización es un funtor Vect _R → Vect _C , desde la categoría de espacios vectoriales reales hasta la categoría de espacios vectoriales complejos. Este es el funtor adjunto , específicamente el adjunto izquierdo , del funtor olvidadizo Vect _C → Vect _R que olvida la estructura compleja.

Este olvido de la estructura compleja de un espacio vectorial complejo se llama ${\displaystyle V}$descomplexificación (o a veces "realización "). La descomplexificación de un espacio vectorial complejocon baseelimina la posibilidad de una multiplicación compleja de escalares, produciendo así un espacio vectorial realde dos veces la dimensión con una base^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle e_{\mu }}$ ${\displaystyle W_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \{e_{\mu },ie_{\mu }\}.}$

Propiedades básicas

Por la naturaleza del producto tensorial, cada vector v en V ^C se puede escribir de forma única en la forma

${\displaystyle v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i}$

donde v ₁ y v ₂ son vectores en V . Es una práctica común eliminar el símbolo del producto tensorial y simplemente escribir

${\displaystyle v=v_{1}+iv_{2}.\,}$

La multiplicación por el número complejo a + ib viene dada por la regla habitual

${\displaystyle (a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,}$

Entonces podemos considerar V ^C como la suma directa de dos copias de V :

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV}$

con la regla anterior para la multiplicación por números complejos.

Hay una incrustación natural de V en V ^C dada por

${\displaystyle v\mapsto v\otimes 1.}$

El espacio vectorial V puede entonces considerarse como un subespacio real de V ^C . Si V tiene una base { e _i } (sobre el campo R ) , entonces una base correspondiente para V ^C viene dada por { e _i ⊗ 1 } sobre el campo C. La dimensión compleja de V ^C es por tanto igual a la dimensión real de V :

${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.}$

Alternativamente, en lugar de utilizar productos tensoriales, se puede utilizar esta suma directa como definición de la complejización:

${\displaystyle V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,}$

donde el operador J le da una estructura lineal compleja definida como donde J codifica la operación de “multiplicación por i ”. En forma matricial, J viene dado por: ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle J(v,w):=(-w,v),}$

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.}$

Esto produce el espacio idéntico (un espacio vectorial real con estructura lineal compleja son datos idénticos a un espacio vectorial complejo), aunque construye el espacio de manera diferente. En consecuencia, se puede escribir como o identificando V con la primera suma directa. Este enfoque es más concreto y tiene la ventaja de evitar el uso del producto tensor técnicamente involucrado, pero es ad hoc. ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle V\oplus JV}$ ${\displaystyle V\oplus iV,}$

Ejemplos

• La complejización del espacio de coordenadas real R ⁿ es el espacio de coordenadas complejo C ⁿ .
• Asimismo, si V consta de matrices m × n con entradas reales, V ^C constaría de matrices m × n con entradas complejas.

Dickson duplicando

El proceso de complejización al pasar de R a C fue resumido por matemáticos del siglo XX, incluido Leonard Dickson . Se comienza usando el mapeo de identidad x * = x como una involución trivial en R . Las siguientes dos copias de R se utilizan para formar z = ( a, b ) con la conjugación compleja introducida como la involución z * = ( a , − b ) . Dos elementos w y z en el conjunto duplicado se multiplican por

${\displaystyle wz=(a,b)\times (c,d)=(ac\ -\ d^{*}b,\ da\ +\ bc^{*}).}$

Finalmente, al conjunto duplicado se le da una norma N ( z ) = z* z . Al partir de R con la involución identidad, el conjunto duplicado es C con la norma a ² + b ² . Si se duplica C y se usa la conjugación ( a,b )* = ( a *, – b ), la construcción produce cuaterniones . Duplicar nuevamente produce octoniones , también llamados números de Cayley. Fue en este punto cuando Dickson, en 1919, contribuyó a descubrir la estructura algebraica.

El proceso también se puede iniciar con C y la involución trivial z * = z . La norma producida es simplemente z ² , a diferencia de la generación de C al duplicar R. Cuando este C se duplica, produce números bicomplejos , y al duplicarlo se producen bicuaterniones , y al duplicarlo nuevamente se obtienen bioctoniones . Cuando el álgebra base es asociativa, el álgebra producida por esta construcción de Cayley-Dickson se llama álgebra de composición ya que se puede demostrar que tiene la propiedad

${\displaystyle N(p\,q)=N(p)\,N(q)\,.}$

Conjugación compleja

El espacio vectorial complejizado V ^C tiene más estructura que un espacio vectorial complejo ordinario. Viene con un mapa canónico de conjugación compleja :

${\displaystyle \chi :V^{\mathbb {C} }\to {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$

definido por

${\displaystyle \chi (v\otimes z)=v\otimes {\bar {z}}.}$

El mapa χ puede considerarse como un mapa lineal conjugado de V ^C a sí mismo o como un isomorfismo lineal complejo de V ^C a su conjugado complejo . ${\displaystyle {\overline {V^{\mathbb {C} }}}}$

Por el contrario, dado un espacio vectorial complejo W con una conjugación compleja χ , W es isomorfo como espacio vectorial complejo a la complejización V ^C del subespacio real

${\displaystyle V=\{w\in W:\chi (w)=w\}.}$

En otras palabras, todos los espacios vectoriales complejos con conjugación compleja son la complejización de un espacio vectorial real.

Por ejemplo, cuando W = C ⁿ con la conjugación compleja estándar

${\displaystyle \chi (z_{1},\ldots ,z_{n})=({\bar {z}}_{1},\ldots ,{\bar {z}}_{n})}$

el subespacio invariante V es simplemente el subespacio real R ⁿ .

Transformaciones lineales

Dada una transformación lineal real f  : V → W entre dos espacios vectoriales reales existe una transformación lineal compleja natural

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }:V^{\mathbb {C} }\to W^{\mathbb {C} }}$

dada por

${\displaystyle f^{\mathbb {C} }(v\otimes z)=f(v)\otimes z.}$

El mapa se llama complejización de f . La complejización de transformaciones lineales satisface las siguientes propiedades. ${\displaystyle f^{\mathbb {C} }}$

• ${\displaystyle (\mathrm {id} _{V})^{\mathbb {C} }=\mathrm {id} _{V^{\mathbb {C} }}}$
• ${\displaystyle (f\circ g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }\circ g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (f+g)^{\mathbb {C} }=f^{\mathbb {C} }+g^{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle (af)^{\mathbb {C} }=af^{\mathbb {C} }\quad \forall a\in \mathbb {R} }$

En el lenguaje de la teoría de categorías se dice que la complejización define un funtor ( aditivo ) desde la categoría de espacios vectoriales reales hasta la categoría de espacios vectoriales complejos.

El mapa f ^C conmuta con conjugación y así mapea el subespacio real de V ^C al subespacio real de W ^C (a través del mapa f ). Además, una aplicación lineal compleja g  : V ^C → W ^C es la complejización de una aplicación lineal real si y sólo si conmuta con conjugación.

Como ejemplo, considere una transformación lineal de R ⁿ a R ^m pensada como una matriz m × n . La complejización de esa transformación es exactamente la misma matriz, pero ahora pensada como un mapa lineal de C ⁿ a C ^m .

Espacios duales y productos tensoriales.

El dual de un espacio vectorial real V es el espacio V * de todas las aplicaciones lineales reales de V a R. La complejización de V * puede considerarse naturalmente como el espacio de todos los mapas lineales reales de V a C (denotado Hom _R ( V , C ) ). Eso es,

$${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }=V^{*}\otimes \mathbb {C} \cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,\mathbb {C} ).}$$

El isomorfismo viene dado por

$${\displaystyle (\varphi _{1}\otimes 1+\varphi _{2}\otimes i)\leftrightarrow \varphi _{1}+i\varphi _{2}}$$

φ ₁φ ₂V *

$${\displaystyle {\overline {\varphi _{1}+i\varphi _{2}}}=\varphi _{1}-i\varphi _{2}.}$$

Dado un mapa lineal real φ  : V → C podemos extender por linealidad para obtener un mapa lineal complejo φ  : V ^C → C . Eso es,

$${\displaystyle \varphi (v\otimes z)=z\varphi (v).}$$

Hom _R ( V , C )Hom _C ( V ^C , C )complejo de V ^Cisomorfismo natural

$${\displaystyle (V^{*})^{\mathbb {C} }\cong (V^{\mathbb {C} })^{*}.}$$

De manera más general, dados los espacios vectoriales reales V y W existe un isomorfismo natural

$${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbb {R} }(V,W)^{\mathbb {C} }\cong \mathrm {Hom} _{\mathbb {C} }(V^{\mathbb {C} },W^{\mathbb {C} }).}$$

La complejificación también conmuta con las operaciones de tomar productos tensoriales , potencias exteriores y potencias simétricas . Por ejemplo, si V y W son espacios vectoriales reales existe un isomorfismo natural

$${\displaystyle (V\otimes _{\mathbb {R} }W)^{\mathbb {C} }\cong V^{\mathbb {C} }\otimes _{\mathbb {C} }W^{\mathbb {C} }\,.}$$

$${\displaystyle (\Lambda _{\mathbb {R} }^{k}V)^{\mathbb {C} }\cong \Lambda _{\mathbb {C} }^{k}(V^{\mathbb {C} }).}$$

Ver también

• Extensión de escalares – proceso general
• Estructura compleja lineal
• Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff

Referencias

1. Kostrikin, Alexei I.; Manin, Yu I. (14 de julio de 1989). Álgebra lineal y geometría . Prensa CRC. pag. 75.ISBN​ 978-2881246838.

• Halmos, Paul (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensiones finitas . Saltador. pág. 41 y §77 Complejificación, págs. 150-153. ISBN 0-387-90093-4.
• Shaw, Ronald (1982). Álgebra lineal y representaciones de grupos. vol. I: Álgebra lineal e introducción a las representaciones de grupos. Prensa académica. pag. 196.ISBN​ 0-12-639201-3.
• Romano, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 135 (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 0-387-24766-1.