En la teoría de conjuntos se han propuesto varias formas de construir los números naturales , entre ellas la representación mediante ordinales de von Neumann , comúnmente empleados en la teoría axiomática de conjuntos , y un sistema basado en la equinumerosidad que fue propuesto por Gottlob Frege y por Bertrand Russell .
En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) , los números naturales se definen recursivamente, dejando 0 = {} como el conjunto vacío y n + 1 (la función sucesora) = n ∪ { n } para cada n . De esta manera, n = {0, 1, …, n − 1} para cada número natural n . Esta definición tiene la propiedad de que n es un conjunto con n elementos. Los primeros números definidos de esta manera son: (Goldrei 1996)
El conjunto N de números naturales se define en este sistema como el conjunto más pequeño que contiene al 0 y está cerrado bajo la función sucesora S definida por S ( n ) = n ∪ { n } . La estructura ⟨ N , 0, S ⟩ es un modelo de los axiomas de Peano (Goldrei 1996). La existencia del conjunto N es equivalente al axioma de infinito en la teoría de conjuntos ZF.
El conjunto N y sus elementos, cuando se construyen de esta manera, son una parte inicial de los ordinales de von Neumann. Quine se refiere a estos conjuntos como "contraconjuntos". [1]
Gottlob Frege y Bertrand Russell propusieron definir un número natural n como la colección de todos los conjuntos con n elementos. Más formalmente, un número natural es una clase de equivalencia de conjuntos finitos bajo la relación de equivalencia de equinumerosidad . Esta definición puede parecer circular, pero no lo es, porque la equinumerosidad puede definirse de formas alternativas, por ejemplo, diciendo que dos conjuntos son equinumerosos si pueden ponerse en correspondencia uno a uno ; esto a veces se conoce como el principio de Hume .
Esta definición funciona en la teoría de tipos y en las teorías de conjuntos que surgieron de la teoría de tipos, como New Foundations y sistemas relacionados. Sin embargo, no funciona en la teoría de conjuntos axiomática ZFC ni en ciertos sistemas relacionados, porque en tales sistemas las clases de equivalencia bajo equinumerosidad son clases propias en lugar de conjuntos.
Para permitir que los números naturales formen un conjunto, las clases equinumerosas se reemplazan por conjuntos especiales, llamados cardinal . La forma más simple de introducir cardinales es agregar una noción primitiva, Card(), y un axioma de cardinalidad a la teoría de conjuntos de ZF (sin axioma de elección). [2]
Axioma de cardinalidad: Los conjuntos A y B son equinumeros si y sólo si Card(A) = Card(B)
Definición: la suma de los cardinales K y L tales como K = Card(A) y L = Card(B) donde los conjuntos A y B son disjuntos, es Card (A ∪ B).
La definición de un conjunto finito se da independientemente de los números naturales: [3]
Definición: Un conjunto es finito si y sólo si cualquier familia no vacía de sus subconjuntos tiene un elemento mínimo para el orden de inclusión.
Definición: un cardinal n es un número natural si y sólo si existe un conjunto finito cuyo cardinal es n.
0 = Tarjeta (∅)
1 = Carta({A}) = Carta({∅})
Definición: el sucesor de un cardinal K es el cardinal K + 1
Teorema: los números naturales satisfacen los axiomas de Peano
William S. Hatcher (1982) deriva los axiomas de Peano de varios sistemas fundamentales, entre ellos la teoría de categorías y la teoría de fórmulas de la aritmética de Frege, utilizando la notación moderna y la deducción natural . La paradoja de Russell demostró que este sistema es inconsistente, pero George Boolos (1998) y David J. Anderson y Edward Zalta (2004) muestran cómo repararlo.
