Estado coherente

Estado cuántico específico de un oscilador armónico cuántico

En física , específicamente en mecánica cuántica , un estado coherente es el estado cuántico específico del oscilador armónico cuántico , a menudo descrito como un estado que tiene una dinámica que se asemeja más al comportamiento oscilatorio de un oscilador armónico clásico . Fue el primer ejemplo de dinámica cuántica cuando Erwin Schrödinger lo derivó en 1926, mientras buscaba soluciones de la ecuación de Schrödinger que satisficieran el principio de correspondencia . ^[1] El oscilador armónico cuántico (y, por lo tanto, los estados coherentes) surgen en la teoría cuántica de una amplia gama de sistemas físicos. ^[2] Por ejemplo, un estado coherente describe el movimiento oscilatorio de una partícula confinada en un pozo de potencial cuadrático (para una referencia temprana, consulte, por ejemplo, el libro de texto de Schiff ^[3] ). El estado coherente describe un estado en un sistema para el cual el paquete de ondas del estado fundamental se desplaza desde el origen del sistema. Este estado puede relacionarse con soluciones clásicas mediante una partícula que oscila con una amplitud equivalente al desplazamiento.

Estos estados, expresados ​​como vectores propios del operador de descenso y que forman una familia sobrecompleta , se introdujeron en los primeros artículos de John R. Klauder , por ejemplo ^[4] En la teoría cuántica de la luz ( electrodinámica cuántica ) y otras teorías cuánticas de campos bosónicos , los estados coherentes fueron introducidos por el trabajo de Roy J. Glauber en 1963 y también se conocen como estados de Glauber .

El concepto de estados coherentes se ha abstraído considerablemente; se ha convertido en un tema importante en la física matemática y en las matemáticas aplicadas , con aplicaciones que van desde la cuantificación hasta el procesamiento de señales y el procesamiento de imágenes (véase Estados coherentes en física matemática ). Por esta razón, los estados coherentes asociados al oscilador armónico cuántico se denominan a veces estados coherentes canónicos (CCS), estados coherentes estándar , estados gaussianos o estados del oscilador.

Estados coherentes en óptica cuántica

Figura 1: El campo eléctrico, medido por detección homodina óptica , en función de la fase para tres estados coherentes emitidos por un láser Nd:YAG. La cantidad de ruido cuántico en el campo eléctrico es completamente independiente de la fase. A medida que aumenta la intensidad del campo, es decir, la amplitud de oscilación α del estado coherente, el ruido cuántico o incertidumbre es constante en 1/2, y por lo tanto se vuelve cada vez menos significativo. En el límite de un campo grande, el estado se convierte en una buena aproximación de una onda clásica estable sin ruido. Los números de fotones promedio de los tres estados de arriba a abajo son ⟨n⟩ = 4,2, 25,2, 924,5 ^[5]

Figura 2: El paquete de ondas oscilantes correspondiente al segundo estado coherente representado en la Figura 1. En cada fase del campo de luz, la distribución es una gaussiana de ancho constante.

Figura 3: Función de Wigner del estado coherente representado en la Figura 2. La distribución está centrada en la amplitud del estado α y es simétrica en torno a este punto . Las ondulaciones se deben a errores experimentales.

En óptica cuántica, el estado coherente se refiere a un estado del campo electromagnético cuantizado , etc. ^{[2] [6] [7]} que describe un tipo máximo de coherencia y un tipo clásico de comportamiento. Erwin Schrödinger lo derivó como un paquete de ondas gaussianas de " incertidumbre mínima " en 1926, buscando soluciones de la ecuación de Schrödinger que satisfagan el principio de correspondencia . ^[1] Es un estado de incertidumbre mínima , con el único parámetro libre elegido para hacer que la dispersión relativa (desviación estándar en unidades naturales adimensionales) sea igual para la posición y el momento, siendo cada uno igualmente pequeño a alta energía.

Además, en contraste con los estados propios de energía del sistema, la evolución temporal de un estado coherente se concentra a lo largo de las trayectorias clásicas . El oscilador armónico lineal cuántico, y por lo tanto los estados coherentes, surgen en la teoría cuántica de una amplia gama de sistemas físicos. Se dan en la teoría cuántica de la luz ( electrodinámica cuántica ) y otras teorías cuánticas de campos bosónicos .

Aunque los paquetes de ondas gaussianas de incertidumbre mínima eran bien conocidos, no atrajeron toda la atención hasta que Roy J. Glauber , en 1963, proporcionó una descripción cuántica-teórica completa de la coherencia en el campo electromagnético. ^[8] En este sentido, no debe omitirse la contribución concurrente de ECG Sudarshan , ^[9] (sin embargo, hay una nota en el artículo de Glauber que dice: " Sin embargo, J. Schwinger ^[10] ha utilizado estos estados como funciones generadoras para los estados cuánticos ). Glauber se vio impulsado a hacer esto para proporcionar una descripción del experimento Hanbury-Brown & Twiss , que generó patrones de interferencia de línea base muy amplios (cientos o miles de millas) que podrían usarse para determinar los diámetros estelares. Esto abrió la puerta a una comprensión mucho más completa de la coherencia. (Para más información, consulte Descripción mecánica cuántica). ${\displaystyle n}$

En la óptica clásica , la luz se considera como ondas electromagnéticas que irradian desde una fuente. A menudo, la luz láser coherente se considera como luz emitida por muchas de esas fuentes que están en fase . En realidad, la imagen de un fotón en fase con otro no es válida en la teoría cuántica. La radiación láser se produce en una cavidad resonante donde la frecuencia resonante de la cavidad es la misma que la frecuencia asociada con las transiciones de electrones atómicos que proporcionan un flujo de energía hacia el campo. A medida que se acumula energía en el modo resonante, aumenta la probabilidad de emisión estimulada , solo en ese modo. Se trata de un bucle de retroalimentación positiva en el que la amplitud en el modo resonante aumenta exponencialmente hasta que algunos efectos no lineales la limitan. Como contraejemplo, una bombilla irradia luz en un continuo de modos, y no hay nada que seleccione un modo sobre el otro. El proceso de emisión es altamente aleatorio en el espacio y el tiempo (ver luz térmica ). Sin embargo, en un láser , la luz se emite en un modo resonante, y ese modo es altamente coherente . De esta manera, la luz láser se idealiza como un estado coherente. (Clásicamente, describimos dicho estado como un campo eléctrico que oscila como una onda estable. Véase la figura 1).

Además de describir los láseres, los estados coherentes también se comportan de una manera conveniente al describir la acción cuántica de los divisores de haz : dos haces de entrada de estado coherente simplemente se convertirán en dos haces de estado coherente en la salida con nuevas amplitudes dadas por fórmulas de ondas electromagnéticas clásicas; ^[11] un comportamiento tan simple no ocurre para otros estados de entrada, incluidos los estados numéricos. Del mismo modo, si un haz de luz de estado coherente se absorbe parcialmente, entonces el resto es un estado coherente puro con una amplitud menor, mientras que la absorción parcial de luz de estado no coherente produce un estado mixto estadístico más complicado . ^[11] La luz térmica puede describirse como una mezcla estadística de estados coherentes, y la forma típica de definir la luz no clásica es que no puede describirse como una simple mezcla estadística de estados coherentes. ^[11]

Los estados propios de energía del oscilador armónico lineal (por ejemplo, masas en resortes, vibraciones reticulares en un sólido, movimientos vibracionales de núcleos en moléculas u oscilaciones en el campo electromagnético) son estados cuánticos de número fijo. El estado de Fock (por ejemplo, un solo fotón) es el estado más parecido a una partícula; tiene un número fijo de partículas y la fase es indeterminada. Un estado coherente distribuye su incertidumbre mecánico-cuántica de manera equitativa entre las coordenadas conjugadas canónicamente , la posición y el momento, y la incertidumbre relativa en fase [definida heurísticamente ] y amplitud son aproximadamente iguales y pequeñas a gran amplitud.

Definición de mecánica cuántica

Matemáticamente, un estado coherente se define como el estado propio (único) del operador de aniquilación â con el valor propio correspondiente α . Formalmente, esto se lee, ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ~.}$

Como â no es hermítico , α es, en general, un número complejo. Escribiendo | α | y θ se denominan amplitud y fase del estado . ${\displaystyle \alpha =|\alpha |e^{i\theta },}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

El estado se denomina estado coherente canónico en la literatura, ya que existen muchos otros tipos de estados coherentes, como se puede ver en el artículo complementario Estados coherentes en física matemática . ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

Físicamente, esta fórmula significa que un estado coherente permanece inalterado ante la aniquilación de la excitación de campo o, por ejemplo, de una partícula cargada. Un estado propio del operador de aniquilación tiene una distribución numérica de Poisson cuando se expresa en una base de estados propios de energía, como se muestra a continuación. Una distribución de Poisson es una condición necesaria y suficiente para que todas las detecciones sean estadísticamente independientes. Comparemos esto con un estado de una sola partícula ( estado de Fock ): una vez que se detecta una partícula, hay cero probabilidades de detectar otra. ${\displaystyle |1\rangle }$

La derivación de esto hará uso de operadores adimensionales (normalizados de manera no convencional) , X y P , normalmente llamados cuadraturas de campo en óptica cuántica. (Ver No dimensionalización ). Estos operadores están relacionados con los operadores de posición y momento de una masa m en un resorte con constante k ,

${\displaystyle {P}={\sqrt {\frac {1}{2\hbar m\omega }}}\ {\hat {p}}{\text{,}}\quad {X}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\ {\hat {x}}{\text{,}}\quad \quad {\text{where }}\omega \equiv {\sqrt {k/m}}~.}$

Figura 4: La probabilidad de detectar n fotones, la distribución del número de fotones, del estado coherente en la Figura 3. Como es necesario para una distribución Poissoniana, el número medio de fotones es igual a la varianza de la distribución del número de fotones. Las barras se refieren a la teoría, los puntos a los valores experimentales.

Para un campo óptico ,

${\displaystyle ~E_{\rm {R}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\cos(\theta )X\qquad {\text{and}}\qquad ~E_{\rm {I}}=\left({\frac {2\hbar \omega }{\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}\!\!\!\sin(\theta )X~}$

son los componentes reales e imaginarios del modo del campo eléctrico dentro de una cavidad de volumen . ^[12] ${\displaystyle V}$

Con estos operadores (adimensionales), el hamiltoniano de cualquiera de los sistemas se convierte en

${\displaystyle {H}=\hbar \omega \left({P}^{2}+{X}^{2}\right){\text{,}}\qquad {\text{with}}\qquad \left[{X},{P}\right]\equiv {XP}-{PX}={\frac {i}{2}}\,{I}.}$

Erwin Schrödinger buscaba los estados más clásicos cuando introdujo por primera vez los paquetes de ondas gaussianas de incertidumbre mínima. El estado cuántico del oscilador armónico que minimiza la relación de incertidumbre con una incertidumbre distribuida equitativamente entre X y P satisface la ecuación

${\displaystyle \left({X}-\langle {X}\rangle \right)\,|\alpha \rangle =-i\left({P}-\langle {P}\rangle \right)\,|\alpha \rangle {\text{,}}}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle \left({X}+i{P}\right)\,\left|\alpha \right\rangle =\left\langle {X}+i{P}\right\rangle \,\left|\alpha \right\rangle ~,}$

y por lo tanto

${\displaystyle \langle \alpha \!\mid \left({X}-\langle X\rangle \right)^{2}+\left({P}-\langle P\rangle \right)^{2}\mid \!\alpha \rangle =1/2~.}$

Así, dado (∆ X −∆ P ) ² ≥ 0 , Schrödinger encontró que los estados de incertidumbre mínima para el oscilador armónico lineal son los estados propios de ( X + iP ) . Dado que â es ( X + iP ) , este es reconocible como un estado coherente en el sentido de la definición anterior.

Utilizando la notación para estados multifotónicos, Glauber caracterizó el estado de coherencia completa con todos los órdenes en el campo electromagnético como el estado propio del operador de aniquilación, formalmente, en un sentido matemático, el mismo estado que encontró Schrödinger. El nombre de estado coherente se impuso después del trabajo de Glauber.

Si la incertidumbre se minimiza, pero no necesariamente está equilibrada de manera uniforme entre X y P , el estado se denomina estado coherente comprimido .

La ubicación del estado coherente en el plano complejo ( espacio de fases ) está centrada en la posición y el momento de un oscilador clásico de fase θ y amplitud | α | dado por el valor propio α (o el mismo valor del campo eléctrico complejo para una onda electromagnética). Como se muestra en la Figura 5, la incertidumbre, igualmente distribuida en todas las direcciones, está representada por un disco con diámetro 1 ⁄ 2 . A medida que varía la fase, el estado coherente gira alrededor del origen y el disco no se distorsiona ni se extiende. Esto es lo más similar que puede ser un estado cuántico a un único punto en el espacio de fases.

Figura 5: Gráfica del espacio de fases de un estado coherente. Esto muestra que la incertidumbre en un estado coherente se distribuye de manera uniforme en todas las direcciones. Los ejes horizontal y vertical son las cuadraturas X y P del campo, respectivamente (ver texto). Los puntos rojos en el eje x trazan los límites del ruido cuántico en la Figura 1. Para obtener más detalles, consulte la figura correspondiente de la formulación del espacio de fases .

Dado que la incertidumbre (y, por lo tanto, el ruido de medición) se mantiene constante en 1 ⁄ 2 a medida que aumenta la amplitud de la oscilación, el estado se comporta cada vez más como una onda sinusoidal, como se muestra en la Figura 1. Además, dado que el estado de vacío es simplemente el estado coherente con α = 0, todos los estados coherentes tienen la misma incertidumbre que el vacío. Por lo tanto, se puede interpretar que el ruido cuántico de un estado coherente se debe a fluctuaciones del vacío. ${\displaystyle |0\rangle }$

La notación no se refiere a un estado de Fock . Por ejemplo, cuando α = 1 , no se debe confundir con el estado de Fock de un solo fotón, que también se denota en su propia notación. La expresión con α = 1 representa una distribución de Poisson de estados numéricos con un número medio de fotones de la unidad. ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |n\rangle }$

La solución formal de la ecuación de valor propio es el estado de vacío desplazado a una ubicación α en el espacio de fases, es decir, se obtiene dejando que el operador de desplazamiento unitario D ( α ) opere sobre el vacío,

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$,

donde â = X + iP y â ^† = X - iP .

Esto se puede ver fácilmente, como se puede ver prácticamente en todos los resultados que involucran estados coherentes, utilizando la representación del estado coherente en base a los estados de Fock.

${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}{\hat {a}}}}|0\rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle ~,}$

¿Dónde están los vectores propios de energía (número) del hamiltoniano? ${\displaystyle |n\rangle }$

${\displaystyle H=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)~,}$

y la igualdad final se deriva de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . Para la distribución Poissoniana correspondiente , la probabilidad de detectar n fotones es

${\displaystyle P(n)=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}=e^{-\langle n\rangle }{\frac {\langle n\rangle ^{n}}{n!}}~.}$

De manera similar, el número promedio de fotones en un estado coherente es

${\displaystyle ~\langle n\rangle =\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle =|\alpha |^{2}~}$

y la varianza es

${\displaystyle ~(\Delta n)^{2}={\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)=|\alpha |^{2}~}$.

Es decir, la desviación estándar del número detectado es como la raíz cuadrada del número detectado. Por lo tanto, en el límite de α grande , estas estadísticas de detección son equivalentes a las de una onda estable clásica.

Estos resultados se aplican a los resultados de detección en un solo detector y, por lo tanto, se relacionan con la coherencia de primer orden (consulte el grado de coherencia ). Sin embargo, para las mediciones que correlacionan detecciones en múltiples detectores, se involucra la coherencia de orden superior (por ejemplo, correlaciones de intensidad, coherencia de segundo orden, en dos detectores). La definición de coherencia cuántica de Glauber involucra funciones de correlación de orden n (coherencia de orden n) para todos los n . El estado coherente perfecto tiene todos los n órdenes de correlación iguales a 1 (coherente). Es perfectamente coherente para todos los órdenes.

El coeficiente de correlación de segundo orden proporciona una medida directa del grado de coherencia de los estados de los fotones en términos de la varianza de las estadísticas de los fotones en el haz en estudio. ^[13] ${\displaystyle g^{2}(0)}$

${\displaystyle ~g^{2}(0)=1+{\frac {{\rm {Var}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\right)-\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle }{(\langle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\rangle )^{2}}}=1+{\frac {{\rm {Var}}(n)-{\bar {n}}}{{\bar {n}}^{2}}}}$

En el desarrollo de Glauber, se ve que los estados coherentes se distribuyen según una distribución de Poisson . En el caso de una distribución de Poisson, la varianza es igual a la media, es decir

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=1}$.

Un coeficiente de correlación de segundo orden de 1 significa que los fotones en estados coherentes no están correlacionados.

Hanbury Brown y Twiss estudiaron el comportamiento de correlación de los fotones emitidos desde una fuente térmica incoherente descrita por las estadísticas de Bose-Einstein . La varianza de la distribución de Bose-Einstein es

${\displaystyle {\rm {Var(n)}}={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=2}$.

Esto corresponde a las mediciones de correlación de Hanbury Brown y Twiss, e ilustra que los fotones en estados incoherentes de Bose-Einstein están correlacionados o agrupados.

Los cuantos que obedecen a la estadística de Fermi-Dirac están anticorrelacionados. En este caso, la varianza es

${\displaystyle {\rm {Var}}(n)={\bar {n}}-{\bar {n}}^{2}}$

${\displaystyle g^{2}(0)=0}$.

La anticorrelación se caracteriza por un coeficiente de correlación de segundo orden = 0.

El trabajo de Roy J. Glauber fue motivado por los resultados de Hanbury-Brown y Twiss que produjeron patrones de interferencia de primer orden de largo alcance (cientos o miles de millas) mediante el uso de fluctuaciones de intensidad (falta de coherencia de segundo orden), con filtros de banda estrecha (coherencia parcial de primer orden) en cada detector. (Uno puede imaginar, durante duraciones muy cortas, un patrón de interferencia casi instantáneo de los dos detectores, debido a los filtros de banda estrecha, que baila de manera aleatoria debido a la diferencia de fase relativa cambiante. Con un contador de coincidencias, el patrón de interferencia danzante sería más fuerte en momentos de mayor intensidad [común a ambos haces], y ese patrón sería más fuerte que el ruido de fondo). Casi toda la óptica se había preocupado por la coherencia de primer orden. Los resultados de Hanbury-Brown y Twiss impulsaron a Glauber a estudiar la coherencia de orden superior y llegó a una descripción cuántica completa de la coherencia para todos los órdenes en el campo electromagnético (y una descripción cuántica de la relación señal-ruido). Acuñó el término estado coherente y demostró que se producen cuando una corriente eléctrica clásica interactúa con el campo electromagnético.

En α ≫ 1 , de la Figura 5, la geometría simple da Δθ | α | = 1/2. De esto, parece que hay una compensación entre la incertidumbre numérica y la incertidumbre de fase, Δθ Δn = 1/2, que a veces se interpreta como una relación de incertidumbre número-fase; pero esta no es una relación de incertidumbre estricta formal: no hay un operador de fase definido de manera única en la mecánica cuántica. ^{[14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21]}

La función de onda de un estado coherente

Dinámica de estados coherentes para , en unidades de longitud del oscilador armónico , mostrando la densidad de probabilidad y la fase cuántica (color). ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {10}}}$ ${\displaystyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega }}}$ ${\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}}$

Para encontrar la función de onda del estado coherente, el paquete de ondas de Schrödinger de incertidumbre mínima, es más fácil comenzar con la imagen de Heisenberg del oscilador armónico cuántico para el estado coherente . Nótese que ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

${\displaystyle ~a(t)|\alpha \rangle =e^{-i\omega t}a(0)|\alpha \rangle }$

El estado coherente es un estado propio del operador de aniquilación en la imagen de Heisenberg .

Es fácil ver que, en la imagen de Schrödinger , el mismo valor propio

${\displaystyle ~\alpha (t)=e^{-i\omega t}\alpha (0)~}$

ocurre,

${\displaystyle ~a|\alpha (t)\rangle =\alpha (t)|\alpha (t)\rangle }$.

En las representaciones de coordenadas resultantes de operar con , esto equivale a la ecuación diferencial, ${\displaystyle \langle x|}$

${\displaystyle ~{\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi ^{\alpha }(x,t)=\alpha (t)\psi ^{\alpha }(x,t)~,}$

que se resuelve fácilmente para obtener

${\displaystyle ~\psi ^{(\alpha )}(x,t)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\Bigg (}-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(x-{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]\right)^{2}+i{\sqrt {\frac {2m\omega }{\hbar }}}\Im [\alpha (t)]x+i\theta (t){\Bigg )}~,}$

donde θ(t) es una fase aún no determinada, que se fijará exigiendo que la función de onda satisfaga la ecuación de Schrödinger.

Resulta que

${\displaystyle ~\theta (t)=-{\frac {\omega t}{2}}+{\frac {|\alpha (0)|^{2}\sin(2\omega t-2\sigma )}{2}}~,{\text{where}}\qquad \alpha (0)\equiv |\alpha (0)|\exp(i\sigma )~,}$

de modo que σ es la fase inicial del valor propio.

La posición media y el momento de este "paquete de ondas de Schrödinger mínimo" ψ ^(α) oscilan , por tanto, como un sistema clásico .

${\displaystyle \langle {\hat {x}}(t)\rangle ={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]=|\alpha (0)|{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\cos(\sigma -\omega t)~,}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}(t)\rangle ={\sqrt {2m\hbar \omega }}\Im [\alpha (t)]=|\alpha (0)|{\sqrt {2m\hbar \omega }}\sin(\sigma -\omega t)~.}$

La densidad de probabilidad sigue siendo una gaussiana centrada en esta media oscilante,

${\displaystyle |\psi ^{(\alpha )}(x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {m\omega }{\pi \hbar }}}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}\left(x-\langle {\hat {x}}(t)\rangle \right)^{2}}.}$

Características matemáticas de los estados coherentes canónicos

Los estados coherentes canónicos descritos hasta ahora tienen tres propiedades que son mutuamente equivalentes, ya que cada una de ellas especifica completamente el estado , a saber, ${\displaystyle |\alpha \rangle }$

1. Son vectores propios del operador de aniquilación :   . ${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle \,}$
2. Se obtienen del vacío mediante la aplicación de un operador de desplazamiento unitario :   . ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle \,}$
3. Son estados de incertidumbre mínima (equilibrada):   . ${\displaystyle \Delta X=\Delta P={\sqrt {\frac {\hbar }{2}}}\,}$

Cada una de estas propiedades puede dar lugar a generalizaciones, en general diferentes entre sí (véase el artículo " Estados coherentes en física matemática " para algunas de ellas). Destacamos que los estados coherentes tienen características matemáticas que son muy diferentes de las de un estado de Fock ; por ejemplo, dos estados coherentes diferentes no son ortogonales.

${\displaystyle \langle \beta |\alpha \rangle =e^{-{1 \over 2}(|\beta |^{2}+|\alpha |^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta )}$

(vinculado al hecho de que son vectores propios del operador de aniquilación no autoadjunto â ).

Por lo tanto, si el oscilador está en el estado cuántico, también está con probabilidad distinta de cero en el otro estado cuántico (pero cuanto más alejados estén los estados en el espacio de fases, menor será la probabilidad). Sin embargo, dado que obedecen a una relación de cierre, cualquier estado puede descomponerse en el conjunto de estados coherentes. Por lo tanto, forman una base sobrecompleta , en la que se puede descomponer diagonalmente cualquier estado. Esta es la premisa de la representación P de Glauber-Sudarshan . ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ ${\displaystyle |\beta \rangle }$

Esta relación de cierre puede expresarse mediante la resolución del operador identidad I en el espacio vectorial de estados cuánticos,

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |d^{2}\alpha =I\qquad d^{2}\alpha \equiv d\Re (\alpha )\,d\Im (\alpha )~.}$

Esta resolución de la identidad está íntimamente relacionada con la transformada de Segal-Bargmann .

Otra particularidad es que no tiene ningún eigenket (mientras que â no tiene ningún eigenbra). La siguiente igualdad es el sustituto formal más cercano y resulta útil para cálculos técnicos, ^[22] ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle a^{\dagger }|\alpha \rangle \langle \alpha |=\left({\partial \over \partial \alpha }+\alpha ^{*}\right)|\alpha \rangle \langle \alpha |~.}$

Este último estado se conoce como "estado de Agarwal" o estado coherente con fotones añadidos y se denota como ${\displaystyle |\alpha ,1\rangle .}$

Los estados de Agarwal normalizados de orden n se pueden expresar como ^[23] ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle =[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle /\|[{{\hat {a}}^{\dagger }]}^{n}|\alpha \rangle \|~.}$

La resolución anterior de la identidad se puede derivar (restringiéndose a una dimensión espacial para simplificar) tomando elementos de matriz entre estados propios de posición, , en ambos lados de la ecuación. En el lado derecho, esto da inmediatamente δ(xy) . En el lado izquierdo, se obtiene lo mismo insertando ${\displaystyle \langle x|\cdots |y\rangle }$

${\displaystyle \psi ^{\alpha }(x,t)=\langle x|\alpha (t)\rangle }$

de la sección anterior (el tiempo es arbitrario), luego integrando sobre utilizando la representación de Fourier de la función delta , y luego realizando una integral gaussiana sobre . ${\displaystyle \Im (\alpha )}$ ${\displaystyle \Re (\alpha )}$

En particular, el estado del paquete de ondas de Schrödinger gaussiano se desprende del valor explícito

${\displaystyle \langle x|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi ^{1/4}}}{e^{-{\frac {1}{2}}{(x-{\sqrt {2}}\Re (\alpha ))^{2}}+ix{\sqrt {2}}\Im (\alpha )-i\Re (\alpha )\Im (\alpha )}}~.}$

La resolución de la identidad también puede expresarse en términos de posición y momento de la partícula. Para cada dimensión de coordenadas (utilizando una notación adaptada con un nuevo significado para ), ${\displaystyle x}$

${\displaystyle |\alpha \rangle \equiv |x,p\rangle \qquad \qquad x\equiv \langle {\hat {x}}\rangle \qquad \qquad p\equiv \langle {\hat {p}}\rangle }$

La relación de cierre de los estados coherentes se lee

${\displaystyle I=\int |x,p\rangle \,\langle x,p|~{\frac {\mathrm {d} x\,\mathrm {d} p}{2\pi \hbar }}~.}$

Esto se puede insertar en cualquier valor esperado de la mecánica cuántica, relacionándolo con alguna integral de espacio de fase cuasi-clásica y explicando, en particular, el origen de los factores de normalización para funciones de partición clásicas , consistentes con la mecánica cuántica. ${\displaystyle (2\pi \hbar )^{-1}}$

Además de ser un estado propio exacto de los operadores de aniquilación, un estado coherente es un estado propio común aproximado de la posición y el momento de las partículas. Restringiéndonos nuevamente a una dimensión,

${\displaystyle {\hat {x}}|x,p\rangle \approx x|x,p\rangle \qquad \qquad {\hat {p}}|x,p\rangle \approx p|x,p\rangle }$

El error en estas aproximaciones se mide por las incertidumbres de la posición y el momento,

${\displaystyle \langle x,p|\left({\hat {x}}-x\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta x\right)^{2}\qquad \qquad \langle x,p|\left({\hat {p}}-p\right)^{2}|x,p\rangle =\left(\Delta p\right)^{2}~.}$

Estado coherente térmico

Un estado coherente térmico monomodo ^[24] se produce desplazando un estado mixto térmico en el espacio de fases , en analogía directa con el desplazamiento del estado de vacío con vistas a generar un estado coherente. La matriz de densidad de un estado térmico coherente en representación del operador se lee

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}D(\alpha )e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}D^{\dagger }(\alpha ),}$

donde es el operador de desplazamiento , que genera el estado coherente con amplitud compleja , y . La función de partición es igual a ${\displaystyle D(\alpha )}$ ${\displaystyle D(\alpha )|0\rangle =|\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta =1/(k_{B}T)}$

${\displaystyle Z={\text{tr}}\left\{\displaystyle e^{-\hbar \beta \omega a^{\dagger }a}\right\}=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }={\frac {1}{1-e^{-\hbar \beta \omega }}}.}$

Utilizando la expansión del operador identidad en los estados de Fock , la definición del operador de densidad se puede expresar en la siguiente forma ${\displaystyle I\equiv \sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|}$

${\displaystyle \rho (\alpha ,\beta )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }D(\alpha )|n\rangle \langle n|D^{\dagger }(\alpha )={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|,}$

donde representa el estado de Fock desplazado . Observamos que si la temperatura tiende a cero tenemos ${\displaystyle |\alpha ,n\rangle }$

${\displaystyle \lim _{\beta \to \infty }\rho (\alpha ,\beta )=\lim _{\beta \to \infty }\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\hbar \beta \omega }(1-e^{-\hbar \beta \omega })|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=\sum _{n=0}^{\infty }\delta _{n,0}|\alpha ,n\rangle \langle \alpha ,n|=|\alpha ,0\rangle \langle \alpha ,0|,}$

que es la matriz de densidad para un estado coherente. El número promedio de fotones en ese estado se puede calcular de la siguiente manera

${\displaystyle \langle n\rangle ={\text{Tr}}\{\rho a^{\dagger }a\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{D^{\dagger }(\alpha )a^{\dagger }D({\alpha })D^{\dagger }(\alpha )aD(\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}={\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{(a^{\dagger }+\alpha ^{*})(a+\alpha )e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=}$

${\displaystyle =|\alpha |^{2}{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}+{\frac {1}{Z}}{\text{Tr}}\{a^{\dagger }ae^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}\}=|\alpha |^{2}+{\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega },}$

donde para el último término podemos escribir

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }ne^{-n\beta \hbar \omega }=-{\frac {\partial }{\partial (\beta \hbar \omega )}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta \hbar \omega }\right)={\frac {e^{-\beta \hbar \omega }}{(1-e^{-\beta \hbar \omega })^{2}}}.}$

Como resultado, encontramos

${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}+\langle n\rangle _{\text{th}},}$

donde es el promedio del número de fotones calculado con respecto al estado térmico. Aquí hemos definido, para facilitar la notación, ${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}}$

${\displaystyle \langle O\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{Z}}{\text{tr}}\{e^{-\beta \hbar \omega a^{\dagger }a}O\},}$

y escribimos explícitamente

${\displaystyle \langle n\rangle _{\text{th}}={\frac {1}{e^{\beta \hbar \omega }-1}}.}$

En el límite obtenemos , que es consistente con la expresión para el operador de matriz de densidad a temperatura cero. Asimismo, la varianza del número de fotones se puede evaluar como ${\displaystyle \beta \to \infty }$ ${\displaystyle \langle n\rangle =|\alpha |^{2}}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\langle n^{2}\rangle -\langle n\rangle ^{2}=\sigma _{\text{th}}^{2}+|\alpha |^{2}\left(1+2\langle a^{\dagger }a\rangle _{\text{th}}\right),}$

con . Deducimos que el segundo momento no puede desacoplarse de los momentos térmico y de distribución cuántica, a diferencia del valor promedio (primer momento). En ese sentido, la estadística fotónica del estado térmico desplazado no se describe mediante la suma de las estadísticas de Poisson y las estadísticas de Boltzmann . La distribución del estado térmico inicial en el espacio de fases se amplía como resultado del desplazamiento coherente. ${\displaystyle \sigma _{\text{th}}^{2}=\langle n^{2}\rangle _{\text{th}}-\langle n\rangle _{\text{th}}^{2}}$

Estados coherentes de los condensados ​​de Bose-Einstein

• Un condensado de Bose-Einstein (BEC) es una colección de átomos de bosones que están todos en el mismo estado cuántico. ^[25] En un sistema termodinámico, el estado fundamental se ocupa macroscópicamente por debajo de una temperatura crítica, aproximadamente cuando la longitud de onda térmica de De Broglie es mayor que el espaciamiento interatómico. Se cree que la superfluidez en el helio-4 líquido está asociada con la condensación de Bose-Einstein en un gas ideal. Pero ^{el 4} He tiene interacciones fuertes, y el factor de estructura líquida (una estadística de segundo orden) juega un papel importante. El uso de un estado coherente para representar el componente superfluido del ⁴ He proporcionó una buena estimación de las fracciones condensado/no condensado en la superfluidez, en consonancia con los resultados de la dispersión lenta de neutrones. ^{[26] [27] [28]} La mayoría de las propiedades superfluidas especiales se derivan directamente del uso de un estado coherente para representar el componente superfluido, que actúa como un estado de cuerpo único ocupado macroscópicamente con amplitud y fase bien definidas sobre todo el volumen. (El componente superfluido de ⁴ He va de cero en la temperatura de transición al 100% en el cero absoluto. Pero la fracción de condensado es de aproximadamente el 6% ^[29] a la temperatura del cero absoluto, T=0K).
• Al principio del estudio de la superfluidez, Penrose y Onsager propusieron una métrica ("parámetro de orden") para la superfluidez. ^[30] Se representaba mediante un componente factorizado macroscópico (un valor propio macroscópico) en la matriz de densidad reducida de primer orden. Más tarde, CN Yang ^[31] propuso una medida más generalizada de la coherencia cuántica macroscópica, llamada "orden de largo alcance fuera de la diagonal" (ODLRO), ^[31] que incluía sistemas de fermiones y bosones. El ODLRO existe siempre que haya un componente factorizado macroscópicamente grande (valor propio) en una matriz de densidad reducida de cualquier orden. La superfluidez corresponde a un componente factorizado grande en la matriz de densidad reducida de primer orden. (Y todas las matrices de densidad reducida de orden superior se comportan de manera similar). La superconductividad implica un componente factorizado grande en la matriz de densidad reducida de segundo orden (" par de electrones de Cooper ").
• Las matrices de densidad reducida que se utilizan para describir la coherencia cuántica macroscópica en superfluidos son formalmente las mismas que las funciones de correlación que se utilizan para describir los órdenes de coherencia en la radiación. Ambas son ejemplos de coherencia cuántica macroscópica. El componente coherente macroscópicamente grande, más el ruido, en el campo electromagnético, tal como se da en la descripción de Glauber de la señal más el ruido, es formalmente el mismo que el componente superfluido macroscópicamente grande más el componente de fluido normal en el modelo de dos fluidos de superfluidez.
• La radiación electromagnética cotidiana, como las ondas de radio y televisión, también es un ejemplo de estados casi coherentes (coherencia cuántica macroscópica). Esto debería hacernos reflexionar sobre la demarcación convencional entre lo cuántico y lo clásico.
• La coherencia en la superfluidez no debe atribuirse a ningún subconjunto de átomos de helio; es un tipo de fenómeno colectivo en el que están involucrados todos los átomos (similar al apareamiento de Cooper en la superconductividad, como se indica en la siguiente sección).

Estados coherentes de los electrones en la superconductividad

• Los electrones son fermiones, pero cuando se aparean en pares de Cooper actúan como bosones, por lo que pueden formar colectivamente un estado coherente a bajas temperaturas. Este apareamiento no se produce en realidad entre electrones, sino en los estados disponibles para los electrones que entran y salen de esos estados. ^[32] El apareamiento de Cooper se refiere al primer modelo de superconductividad. ^[33]
• Estos estados coherentes son parte de la explicación de efectos como el efecto Hall cuántico en semiconductores superconductores de baja temperatura .

Generalizaciones

• Según Gilmore y Perelomov, quienes lo demostraron independientemente, la construcción de estados coherentes puede verse como un problema en la teoría de grupos , y por lo tanto los estados coherentes pueden asociarse a grupos diferentes del grupo de Heisenberg , lo que conduce a los estados coherentes canónicos discutidos anteriormente. ^{[34] [35] [36] [37]} Además, estos estados coherentes pueden generalizarse a grupos cuánticos . Estos temas, con referencias al trabajo original, se discuten en detalle en Estados coherentes en física matemática .

• En la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas , una generalización de estados coherentes al caso en el que se utilizan infinitos grados de libertad para definir un estado de vacío con un valor esperado de vacío diferente del vacío original.
• En sistemas cuánticos unidimensionales de muchos cuerpos con grados de libertad fermiónicos, los estados excitados de baja energía pueden aproximarse como estados coherentes de un operador de campo bosónico que crea excitaciones de partículas-huecos. Este enfoque se denomina bosonización .
• Los estados coherentes gaussianos de la mecánica cuántica no relativista se pueden generalizar a estados coherentes relativistas de partículas de Klein-Gordon y Dirac. ^{[38] [39] [40]}
• Los estados coherentes también han aparecido en trabajos sobre gravedad cuántica de bucles o para la construcción de la relatividad general cuántica canónica (semi)clásica. ^{[41] [42]}

Véase también

• Estados coherentes en la física matemática
• Teoría cuántica de campos
• Óptica cuántica
• Amplificador cuántico
• Campo electromagnético
• Grado de coherencia

Enlaces externos

• Estados cuánticos del campo de luz
• Estados de Glauber: Estados coherentes del oscilador armónico cuántico
• Medir un estado coherente con estadísticas de fotones interactivas

Referencias

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