Generalización de un cociente por una relación de equivalencia a objetos en una categoría arbitraria
En teoría de categorías , un coecualizador (o coecualizador ) es una generalización de un cociente mediante una relación de equivalencia con objetos en una categoría arbitraria . Es la construcción categórica dual del ecualizador .
Definición
Un coecualizador es un colimit del diagrama que consta de dos objetos X e Y y dos morfismos paralelos f , g : X → Y.
Más explícitamente, un coecualizador de los morfismos paralelos f y g se puede definir como un objeto Q junto con un morfismo q : Y → Q tal que q ∘ f = q ∘ g . Además, el par ( Q , q ) debe ser universal en el sentido de que dado cualquier otro par ( Q ′, q ′ ) existe un morfismo único u : Q → Q ′ tal que u ∘ q = q ′ . Esta información se puede capturar mediante el siguiente diagrama conmutativo :
Como ocurre con todas las construcciones universales , un coecualizador, si existe, es único hasta un isomorfismo único (por eso, por abuso del lenguaje, se habla a veces de "el" coecualizador de dos flechas paralelas).
Se puede demostrar que una flecha coecualizadora q es un epimorfismo en cualquier categoría.
Ejemplos
- En la categoría de conjuntos , el coecualizador de dos funciones f , g : X → Y es el cociente de Y por la relación de equivalencia más pequeña ~ tal que para cada x ∈ X , tenemos f ( x ) ~ g ( x ) . [1] En particular, si R es una relación de equivalencia en un conjunto Y , y r 1 , r 2 son las proyecciones naturales ( R ⊂ Y × Y ) → Y entonces el coecualizador de r 1 y r 2 es el conjunto cociente Y / R . (Ver también: cociente por una relación de equivalencia ).
- El coecualizador en la categoría de grupos es muy similar. Aquí si f , g : X → Y son homomorfismos de grupo , su coecualizador es el cociente de Y por la clausura normal del conjunto.
- Para los grupos abelianos el coecualizador es particularmente simple. Es solo el grupo de factores Y / im( f – g ) . (Este es el núcleo del morfismo f – g ; consulte la siguiente sección).
- En la categoría de espacios topológicos , el objeto circular S 1 puede verse como el coecualizador de los dos mapas de inclusión del estándar 0-símplex al estándar 1-símplex.
- Los coecualizadores pueden ser grandes: hay exactamente dos funtores desde la categoría 1 que tiene un objeto y una flecha de identidad, hasta la categoría 2 con dos objetos y una flecha sin identidad entre ellos. El coecualizador de estos dos funtores es el monoide de los números naturales bajo suma, considerado como una categoría de un solo objeto. En particular, esto muestra que si bien cada flecha coecualizadora es épica , no es necesariamente sobreyectiva .
Propiedades
- Todo coecualizador es un epimorfismo.
- En un topos , cada epimorfismo es el coecualizador de su par de núcleos.
Casos especiales
En categorías con morfismos cero , se puede definir un cokernel de un morfismo f como el coecualizador de f y el morfismo cero paralelo.
En categorías preaditivas tiene sentido sumar y restar morfismos (los conjuntos de hom en realidad forman grupos abelianos ). En tales categorías, se puede definir el coecualizador de dos morfismos f y g como el cokernel de su diferencia:
- coeq( f , g ) = coquizador( g – f ).
Una noción más fuerte es la de coecualizador absoluto , este es un coecualizador que se conserva bajo todos los functores. Formalmente, un coecualizador absoluto de un par de flechas paralelas f , g : X → Y en una categoría C es un coecualizador como se definió anteriormente, pero con la propiedad añadida de que dado cualquier funtor F : C → D , F ( Q ) junto con F ( q ) es el coecualizador de F ( f ) y F ( g ) en la categoría D. Los coecualizadores divididos son ejemplos de coecualizadores absolutos.
Ver también
Notas
Referencias
enlaces externos
- Página web interactiva, que genera ejemplos de coecualizadores en la categoría de conjuntos finitos. Escrito por Jocelyn Paine.
