La fórmula de Chézy es una ecuación de resistencia semiempírica [1] [2] que estima la velocidad media del flujo en conductos de canales abiertos . [3] La relación fue conceptualizada y desarrollada en 1768 por el físico e ingeniero francés Antoine de Chézy (1718-1798) mientras diseñaba el sistema de canales de agua de París. [2] [4] Chézy descubrió un parámetro de similitud que podría usarse para estimar las características del flujo en un canal en función de las mediciones de otro. [1] La fórmula de Chézy es una fórmula pionera en el campo de la mecánica de fluidos que relaciona el flujo de agua a través de un canal abierto con las dimensiones y la pendiente del canal. Fue ampliada y modificada por el ingeniero irlandés Robert Manning en 1889. [1] [5] [6] [7] Las modificaciones de Manning a la fórmula de Chézy permitieron que todo el parámetro de similitud se calculara mediante las características del canal en lugar de mediante mediciones experimentales. Hoy en día, las ecuaciones de Chézy y Manning continúan estimando con precisión el flujo de fluido en canales abiertos y son fórmulas estándar en varios campos relacionados con la mecánica de fluidos y la hidráulica , incluida la física , la ingeniería mecánica y la ingeniería civil .
La fórmula de Chézy describe la velocidad media del flujo en un flujo turbulento en un canal abierto y se utiliza ampliamente en campos relacionados con la mecánica y la dinámica de fluidos . Los canales abiertos se refieren a cualquier conducto abierto, como ríos, zanjas, canales o tuberías parcialmente llenas. La fórmula de Chézy se define para flujos en equilibrio uniforme y no uniformes, que varían gradualmente.
La fórmula se escribe así:
dónde,
Durante muchos años, tras el desarrollo de esta fórmula por parte de Antoine de Chézy , los investigadores asumieron que era una constante, independiente de las condiciones del flujo. Sin embargo, investigaciones posteriores demostraron que el coeficiente dependía del número de Reynolds , así como de la rugosidad del canal. En consecuencia, aunque la fórmula de Chézy no parece incorporar ninguno de estos términos, el coeficiente de Chézy los representa empírica e indirectamente.
La relación entre el momento lineal y los cuerpos fluidos deformables se ha estudiado en profundidad, al igual que las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo incompresible. Sin embargo, explorar las relaciones fundamentales de la fórmula de Chézy puede resultar útil para comprender la fórmula en su totalidad.
Para entender el parámetro de similitud de Chézy, una ecuación de momento lineal simple [1] [2] puede ayudar a resumir la conservación del momento de un volumen de control que fluye uniformemente a través de un canal abierto:
Donde la suma de fuerzas sobre el contenido de un volumen de control en el canal abierto es igual a la suma de la tasa de cambio temporal del momento lineal del contenido del volumen de control, más la tasa neta de flujo del momento lineal a través de la superficie de control. [1] El principio del momento siempre se puede utilizar para los cálculos de fuerza hidrodinámica. [2]
Siempre que se pueda suponer un flujo uniforme, la aplicación de la ecuación del momento lineal a un canal de un río que fluye en una dimensión significa que el momento se conserva y las fuerzas se equilibran en la dirección del flujo:
Aquí, las fuerzas de presión hidrostática son F 1 y F 2 , el componente ( τ w Pl) representa la fuerza cortante de fricción que actúa sobre el volumen de control, y el componente ( ω sin θ ) representa la fuerza gravitacional del peso del fluido que actúa sobre el fondo inclinado del canal se mantienen en equilibrio en la dirección del flujo. [1] El diagrama de cuerpo libre a continuación ilustra este equilibrio de fuerzas en el flujo de canal abierto con condiciones de flujo uniformes.
La mayoría de los flujos en canales abiertos son turbulentos y se caracterizan por tener números de Reynolds muy elevados. Debido a los elevados números de Reynolds característicos del flujo en canales abiertos, la tensión de corte del canal resulta ser proporcional a la densidad y la velocidad del flujo. [1] [2]
Esto se puede ilustrar con una serie de fórmulas avanzadas que identifican un parámetro de similitud de esfuerzo cortante característico de todos los canales abiertos turbulentos. La combinación de este parámetro con la fórmula de Chézy, los componentes del canal y la conservación del momento en un flujo de canal abierto da como resultado la relación . [1] [2]
El parámetro de similitud y la fórmula de Chézy explican cómo la velocidad del agua que fluye a través de un canal tiene una relación con la pendiente y la tensión cortante del fondo del canal, el radio hidráulico de flujo y el coeficiente de Chézy, que incorpora empíricamente varios otros parámetros del agua que fluye. Esta relación está impulsada por la conservación del momento presente durante las condiciones de flujo uniforme.
Una vez que Chézy estableció esta relación, muchos ingenieros y físicos (ver la sección Autores de fórmulas de flujo ) [7] [9] continuaron buscando formas de mejorar la ecuación de Chézy. La investigación de estos colegas determinó un ligero descuido de la fórmula de Chézy. [1] [7] [9] Determinaron que la dependencia de la pendiente de la velocidad en la fórmula de Chézy (V:S 0 ) era razonable, pero que la dependencia de la velocidad en el radio hidráulico (V:R h 1/2 ) no era razonable y que la relación era más cercana a (V:R h 2/3 ). [1] [7] [9] Se han desarrollado muchas fórmulas basadas en la fórmula de Chézy desde su descubrimiento por estos contemporáneos y otros, y diferentes fórmulas son más adecuadas en diferentes condiciones. [1] [7] [9]
La fórmula de Chézy proporcionó una base sustancial para una nueva fórmula de flujo propuesta en 1889 por el ingeniero irlandés Robert Manning . La fórmula de Manning es una fórmula de Chézy modificada que combina muchos de los trabajos de sus contemporáneos antes mencionados. [6] [7] Las modificaciones de Manning a la fórmula de Chézy permitieron que todo el parámetro de similitud se calculara mediante características del canal en lugar de mediciones experimentales. [1] La ecuación de Manning mejoró la ecuación de Chézy al representar mejor la relación entre Rh y la velocidad , al mismo tiempo que reemplazaba el coeficiente de Chézy empírico ( ) con el coeficiente de resistencia de Manning ( ), que también se menciona en algunos lugares como el coeficiente de rugosidad de Manning. [3] A diferencia del coeficiente de Chézy ( ) que solo podía determinarse mediante mediciones de campo, el coeficiente de Manning ( ) se determinó para que permaneciera constante en función del material del perímetro mojado, lo que permitió desarrollar una tabla estandarizada de valores que pudiera estimar razonablemente la velocidad del flujo. [1] [3] Si bien las mediciones de campo siguen siendo la forma más precisa de obtener los coeficientes de Chézy o Manning, los valores estandarizados que se desarrollaron con el uso de la fórmula de Manning proporcionaron una simplicidad muy deseada para las estimaciones de flujo en canales abiertos.
La fórmula de Manning se describe en otro lugar, pero se incluye a continuación con fines comparativos. A continuación, se muestran claramente las pequeñas modificaciones que se han aplicado a la fórmula de Manning para mejorar la fórmula de Chézy.
Fórmula de Chézy Fórmula de Manning
Esta similitud entre las fórmulas de Chézy y Manning que se muestran arriba también significa que los coeficientes de Manning estandarizados se pueden utilizar para estimar la velocidad del flujo en canal abierto con la fórmula de Chézy, [1] [2] [7] al utilizarlos para calcular el coeficiente de Chézy como se muestra a continuación. Manning derivó [5] la siguiente relación entre el coeficiente de Manning ( ) y el coeficiente de Chézy ( ) basándose en experimentos:
dónde
Dado que tanto la fórmula de Chézy como la fórmula de Manning hacen referencia a una única ubicación del volumen de control a lo largo del canal, ninguna aborda directamente el factor de fricción ni la pérdida de carga [7] . Sin embargo, el cambio en la carga de presión se puede calcular combinándolas con otras fórmulas, como la ecuación de Darcy-Weisbach . [2]
El aspecto empírico del coeficiente aborda indirectamente el factor de fricción y el número de Reynolds y es la razón por la que la fórmula de Chézy sigue siendo más precisa en ciertas condiciones, como los canales de los ríos con dimensiones de canal no uniformes. [2] Además, ambas ecuaciones se utilizan explícitamente con flujo uniforme o de "estado estable" donde la profundidad hidráulica es constante, debido a su derivación de la conservación del momento. [2] Por el contrario, si las condiciones hidráulicas fluctúan en el flujo de canal abierto, entonces se describen como flujo de variación gradual o rápida, [7] y requerirán análisis adicionales más allá de estos dos métodos de fórmula.
Dado que las tuberías parcialmente llenas no están presurizadas, se consideran canales abiertos por definición. Por lo tanto, se pueden aplicar las fórmulas de Manning y Chézy para calcular el caudal en tuberías parcialmente llenas. [2] [10] [11] Sin embargo, el uso previsto de estas fórmulas es principalmente para considerar el caudal uniforme y turbulento. Muchas otras fórmulas que se han desarrollado desde entonces pueden producir resultados más precisos, como la ecuación de Darcy-Weisbach o la ecuación de Hazen-Williams , pero carecen de la simplicidad de las fórmulas de Manning o Chézy.
Ambas fórmulas siguen enseñándose ampliamente y se utilizan en la investigación sobre canales abiertos y dinámica de fluidos . Hoy en día, la fórmula de Manning es probablemente la fórmula más utilizada a nivel mundial para el análisis de flujo uniforme en canales abiertos, debido a su simplicidad, eficacia comprobada y al hecho de que la mayoría de los estudios en canales abiertos se refieren al flujo turbulento. [12] La fórmula de Chézy es una de las más antiguas en el campo de la mecánica de fluidos, [1] se aplica a una gama más amplia de flujos que la ecuación de Manning, [13] y su influencia continúa hasta el día de hoy.
![{\displaystyle C=k\left[{\frac {1}{n}}R_{h}^{1/6}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b6a227c6851129cad9e42614fafd5f4b44d4255)
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