Máquina simple

Dispositivo mecánico que cambia la dirección o magnitud de una fuerza.

Las seis máquinas simples clásicas

Una máquina simple es un dispositivo mecánico que cambia la dirección o magnitud de una fuerza . ^[1] En general, se pueden definir como los mecanismos más simples que utilizan la ventaja mecánica (también llamada apalancamiento) para multiplicar la fuerza. ^[2] Usualmente el término se refiere a las seis máquinas simples clásicas que fueron definidas por los científicos del Renacimiento : ^{[3] [4] [5]}

• Palanca
• Rueda y eje
• Polea
• Plano inclinado
• Cuña
• Tornillo

Una máquina simple utiliza una única fuerza aplicada para realizar un trabajo contra una única fuerza de carga. Si se ignoran las pérdidas por fricción , el trabajo realizado sobre la carga es igual al trabajo realizado por la fuerza aplicada. La máquina puede aumentar la cantidad de fuerza de salida, a costa de una disminución proporcional de la distancia recorrida por la carga. La relación entre la fuerza de salida y la fuerza aplicada se denomina ventaja mecánica .

Las máquinas simples pueden considerarse como los "bloques de construcción" elementales de los que se componen todas las máquinas más complicadas (a veces llamadas "máquinas compuestas" ^{[6] [7] ). [2] [8]} Por ejemplo, las ruedas, palancas y poleas se utilizan en el mecanismo de una bicicleta . ^{[9] [10]} La ventaja mecánica de una máquina compuesta es simplemente el producto de las ventajas mecánicas de las máquinas simples de las que está compuesta.

Aunque siguen siendo de gran importancia en la mecánica y la ciencia aplicada, la mecánica moderna ha ido más allá de la visión de las máquinas simples como los bloques de construcción últimos de los que se componen todas las máquinas , que surgió en el Renacimiento como una amplificación neoclásica de los textos griegos antiguos . La gran variedad y sofisticación de los vínculos de las máquinas modernas, que surgieron durante la Revolución Industrial , se describe de manera inadecuada mediante estas seis categorías simples. Varios autores postrrenacentistas han compilado listas ampliadas de "máquinas simples", a menudo utilizando términos como máquinas básicas , ^[9] máquinas compuestas , ^[6] o elementos de máquina para distinguirlas de las máquinas simples clásicas anteriores. A fines del siglo XIX, Franz Reuleaux ^[11] había identificado cientos de elementos de máquina, llamándolos máquinas simples . ^[12] La teoría de máquinas moderna analiza las máquinas como cadenas cinemáticas compuestas de vínculos elementales llamados pares cinemáticos .

Historia

La idea de una máquina simple se originó con el filósofo griego Arquímedes alrededor del siglo III a. C., quien estudió las máquinas simples de Arquímedes : palanca, polea y tornillo . ^{[2] [13]} Descubrió el principio de ventaja mecánica en la palanca. ^[14] La famosa observación de Arquímedes con respecto a la palanca: "Dadme un punto de apoyo y moveré la Tierra" ( griego : δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω ) ^[15] expresa su comprensión de que no había límite a la cantidad de amplificación de fuerza que se podía lograr mediante el uso de la ventaja mecánica. Los filósofos griegos posteriores definieron las cinco máquinas simples clásicas (excluyendo el plano inclinado ) y pudieron calcular su ventaja mecánica (ideal). ^[7] Por ejemplo, Herón de Alejandría ( c.  10-75 d. C.) en su obra Mecánica enumera cinco mecanismos que pueden "poner una carga en movimiento": palanca , molinete , polea , cuña y tornillo , ^[13] y describe su fabricación y usos. ^[16] Sin embargo, la comprensión de los griegos se limitaba a la estática de las máquinas simples (el equilibrio de fuerzas) y no incluía la dinámica , el equilibrio entre fuerza y ​​distancia, o el concepto de trabajo .

Durante el Renacimiento, la dinámica de las fuerzas mecánicas , como se llamaba a las máquinas simples, comenzó a estudiarse desde el punto de vista de qué tan lejos podían levantar una carga, además de la fuerza que podían aplicar, lo que finalmente condujo al nuevo concepto de trabajo mecánico. En 1586, el ingeniero flamenco Simon Stevin dedujo la ventaja mecánica del plano inclinado, y lo incluyó con las otras máquinas simples. La teoría dinámica completa de las máquinas simples fue elaborada por el científico italiano Galileo Galilei en 1600 en Le Meccaniche ( Sobre la mecánica ), en la que mostró la similitud matemática subyacente de las máquinas como amplificadores de fuerza. ^{[17] [18]} Fue el primero en explicar que las máquinas simples no crean energía , solo la transforman. ^[17]

Las reglas clásicas de la fricción deslizante en las máquinas fueron descubiertas por Leonardo da Vinci (1452-1519), pero no fueron publicadas y solo se documentaron en sus cuadernos, y se basaban en la ciencia prenewtoniana, como la creencia de que la fricción era un fluido etéreo . Fueron redescubiertas por Guillaume Amontons (1699) y desarrolladas por Charles-Augustin de Coulomb (1785). ^[19]

Máquina simple ideal

Si una máquina simple no disipa energía por fricción, desgaste o deformación, entonces la energía se conserva y se la denomina máquina simple ideal. En este caso, la potencia que entra en la máquina es igual a la potencia que sale y la ventaja mecánica se puede calcular a partir de sus dimensiones geométricas.

Aunque cada máquina funciona de manera diferente mecánicamente, la forma en que funcionan es similar matemáticamente. ^[20] En cada máquina, se aplica una fuerza al dispositivo en un punto, y este realiza un trabajo moviendo una carga en otro punto. ^[21] Aunque algunas máquinas solo cambian la dirección de la fuerza, como una polea estacionaria, la mayoría de las máquinas multiplican la magnitud de la fuerza por un factor, la ventaja mecánica. ${\displaystyle F_{\text{in}}}$ ${\displaystyle F_{\text{out}}}$

$${\displaystyle \mathrm {MA} ={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}}$$

que se puede calcular a partir de la geometría y la fricción de la máquina.

Las máquinas simples no contienen una fuente de energía , ^[22] por lo que no pueden realizar más trabajo del que reciben de la fuerza de entrada. ^[21] Una máquina simple sin fricción ni elasticidad se llama máquina ideal . ^{[23] [24] [25]} Debido a la conservación de la energía , en una máquina simple ideal, la potencia de salida (tasa de salida de energía) en cualquier momento es igual a la potencia de entrada. ${\displaystyle P_{\text{out}}}$ ${\displaystyle P_{\text{in}}}$

$${\displaystyle P_{\text{out}}=P_{\text{in}}\!}$$

La potencia de salida es igual a la velocidad de la carga multiplicada por la fuerza de carga . De manera similar, la potencia de entrada de la fuerza aplicada es igual a la velocidad del punto de entrada multiplicada por la fuerza aplicada . Por lo tanto, ${\displaystyle v_{\text{out}}\,}$ ${\displaystyle P_{\text{out}}=F_{\text{out}}v_{\text{out}}\,}$ ${\displaystyle v_{\text{in}}\,}$ ${\displaystyle P_{\text{in}}=F_{\text{in}}v_{\text{in}}\!}$

$${\displaystyle F_{\text{out}}v_{\text{out}}=F_{\text{in}}v_{\text{in}}\,}$$

Por lo tanto, la ventaja mecánica de una máquina ideal es igual a la relación de velocidad , la relación entre la velocidad de entrada y la velocidad de salida. ${\displaystyle \mathrm {MA} _{\text{ideal}}\,}$

$${\displaystyle \mathrm {MA} _{\text{ideal}}={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}={v_{\text{in}} \over v_{\text{out}}}\,}$$

La relación de velocidades también es igual a la relación de las distancias recorridas en un período de tiempo determinado ^{[26] [27] [28]}

$${\displaystyle {v_{\text{out}} \over v_{\text{in}}}={d_{\text{out}} \over d_{\text{in}}}}$$

Por lo tanto, la ventaja mecánica de una máquina ideal también es igual a la relación de la distancia , la relación entre la distancia de entrada recorrida y la distancia de salida recorrida.

${\displaystyle \mathrm {MA} _{\text{ideal}}={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}={d_{\text{in}} \over d_{\text{out}}}\,}$

Esto se puede calcular a partir de la geometría de la máquina. Por ejemplo, la ventaja mecánica y la relación de la distancia de la palanca es igual a la relación de sus brazos de palanca .

La ventaja mecánica puede ser mayor o menor que uno:

• Si la fuerza de salida es mayor que la de entrada, la máquina actúa como un amplificador de fuerza, pero la distancia recorrida por la carga es menor que la distancia recorrida por la fuerza de entrada . ${\displaystyle \mathrm {MA} >1\,}$ ${\displaystyle d_{\text{out}}}$ ${\displaystyle d_{\text{in}}\,}$
• Si , la fuerza de salida es menor que la de entrada, pero la distancia recorrida por la carga es mayor que la distancia recorrida por la fuerza de entrada. ${\displaystyle \mathrm {MA} <1\,}$

En el tornillo , que utiliza movimiento rotacional, la fuerza de entrada debe ser reemplazada por el torque , y la velocidad por la velocidad angular con la que gira el eje.

Fricción y eficiencia

Todas las máquinas reales tienen fricción, lo que hace que parte de la potencia de entrada se disipe en forma de calor. Si la potencia se pierde por fricción, por conservación de la energía ${\displaystyle P_{\text{fric}}\,}$

$${\displaystyle P_{\text{in}}=P_{\text{out}}+P_{\text{fric}}}$$

La eficiencia mecánica de una máquina (donde ) se define como la relación entre la potencia de salida y la potencia de entrada, y es una medida de las pérdidas de energía por fricción. ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle 0<\eta \ <1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\eta &\equiv {P_{\text{out}} \over P_{\text{in}}}\\P_{\text{out}}&=\eta P_{\text{in}}\end{aligned}}}$$

Como se indicó anteriormente, la potencia es igual al producto de la fuerza por la velocidad, por lo que

$${\displaystyle F_{\text{out}}v_{\text{out}}=\eta F_{\text{in}}v_{\text{in}}}$$

Por lo tanto,

${\displaystyle \mathrm {MA} ={F_{\text{out}} \over F_{\text{in}}}=\eta {v_{\text{in}} \over v_{\text{out}}}}$

Por lo tanto, en las máquinas no ideales, la ventaja mecánica siempre es menor que la relación de velocidad por el producto de la eficiencia . Por lo tanto, una máquina que incluye fricción no podrá mover una carga tan grande como una máquina ideal correspondiente que utilice la misma fuerza de entrada. ${\displaystyle \eta }$

Máquinas compuestas

Una máquina compuesta es una máquina formada por un conjunto de máquinas simples conectadas en serie, de modo que la fuerza de salida de una de ellas proporciona la fuerza de entrada a la siguiente. Por ejemplo, un tornillo de banco consta de una palanca (el mango del tornillo) en serie con un tornillo, y un tren de engranajes simple consta de una serie de engranajes ( ruedas y ejes ) conectados en serie.

La ventaja mecánica de una máquina compuesta es la relación entre la fuerza de salida ejercida por la última máquina de la serie dividida por la fuerza de entrada aplicada a la primera máquina, es decir

$${\displaystyle \mathrm {MA} _{\text{compound}}={F_{{\text{out}}N} \over F_{\text{in1}}}}$$

Como la fuerza de salida de cada máquina es la entrada de la siguiente, , esta ventaja mecánica también está dada por ${\displaystyle F_{\text{out1}}=F_{\text{in2}},\;F_{\text{out2}}=F_{\text{in3}},\,\ldots \;F_{{\text{out}}K}=F_{{\text{in}}K+1}}$

$${\displaystyle \mathrm {MA} _{\text{compound}}={F_{\text{out1}} \over F_{\text{in1}}}{F_{\text{out2}} \over F_{\text{in2}}}{F_{\text{out3}} \over F_{\text{in3}}}\ldots {F_{{\text{out}}N} \over F_{{\text{in}}N}}\,}$$

Así, la ventaja mecánica de la máquina compuesta es igual al producto de las ventajas mecánicas de la serie de máquinas simples que la forman.

$${\displaystyle \mathrm {MA} _{\text{compound}}=\mathrm {MA} _{1}\mathrm {MA} _{2}\ldots \mathrm {MA} _{N}}$$

De manera similar, la eficiencia de una máquina compuesta también es el producto de las eficiencias de la serie de máquinas simples que la forman.

$${\displaystyle \eta _{\text{compound}}=\eta _{1}\eta _{2}\ldots \;\eta _{N}.}$$

Máquinas autoblocantes

La propiedad autoblocante del tornillo es la razón de su amplio uso en sujetadores roscados como pernos y tornillos para madera.

En muchas máquinas simples, si la fuerza de carga sobre la máquina es lo suficientemente alta en relación con la fuerza de entrada , la máquina se moverá hacia atrás, y la fuerza de carga realizará trabajo sobre la fuerza de entrada. ^[29] Por lo tanto, estas máquinas se pueden utilizar en cualquier dirección, con la fuerza motriz aplicada a cualquiera de los puntos de entrada. Por ejemplo, si la fuerza de carga sobre una palanca es lo suficientemente alta, la palanca se moverá hacia atrás, moviendo el brazo de entrada hacia atrás contra la fuerza de entrada. Estas se denominan máquinas reversibles , sin bloqueo o de revisión , y el movimiento hacia atrás se denomina revisión . ${\displaystyle F_{\textrm {out}}}$ ${\displaystyle F_{\textrm {in}}}$

Sin embargo, en algunas máquinas, si las fuerzas de fricción son lo suficientemente altas, ninguna cantidad de fuerza de carga puede moverla hacia atrás, incluso si la fuerza de entrada es cero. Esto se llama máquina autoblocante , no reversible o sin revisión . ^[29] Estas máquinas solo pueden ponerse en movimiento mediante una fuerza en la entrada, y cuando se elimina la fuerza de entrada permanecerán inmóviles, "bloqueadas" por la fricción en cualquier posición en la que se dejaron.

El autobloqueo se produce principalmente en aquellas máquinas con grandes áreas de contacto deslizante entre las partes móviles: el tornillo , el plano inclinado y la cuña :

• El ejemplo más común es un tornillo. En la mayoría de los tornillos, se puede mover el tornillo hacia adelante o hacia atrás girándolo, y se puede mover la tuerca a lo largo del eje girándola, pero ninguna cantidad de presión sobre el tornillo o la tuerca hará que ninguno de ellos gire.
• En un plano inclinado, una carga puede ser levantada por el plano mediante una fuerza de entrada lateral, pero si el plano no es demasiado empinado y hay suficiente fricción entre la carga y el plano, cuando se elimina la fuerza de entrada, la carga permanecerá inmóvil y no se deslizará por el plano, independientemente de su peso.
• Se puede introducir una cuña en un bloque de madera aplicando fuerza en el extremo, por ejemplo golpeándolo con un mazo, separando así los lados, pero ninguna fuerza de compresión de las paredes de madera hará que vuelva a salir del bloque.

Una máquina se autobloqueará si y sólo si su eficiencia es inferior al 50%: ^[29] ${\displaystyle \eta }$

$${\displaystyle \eta \equiv {\frac {F_{\text{out}}/F_{\text{in}}}{d_{\text{in}}/d_{\text{out}}}}<0.5}$$

El autobloqueo de una máquina depende tanto de las fuerzas de fricción ( coeficiente de fricción estática ) entre sus partes como de la relación de distancia (ventaja mecánica ideal). Si tanto la fricción como la ventaja mecánica ideal son lo suficientemente altas, se autobloqueará. ${\displaystyle d_{\textrm {in}}/d_{\textrm {out}}}$

Prueba

Cuando una máquina se mueve en dirección hacia adelante desde el punto 1 al punto 2, con la fuerza de entrada realizando trabajo sobre una fuerza de carga, por conservación de energía ^{[30] [31]} el trabajo de entrada es igual a la suma del trabajo realizado sobre la fuerza de carga y el trabajo perdido por fricción. ${\displaystyle W_{\text{1,2}}}$ ${\displaystyle W_{\text{load}}}$ ${\displaystyle W_{\text{fric}}}$

Si la eficiencia es inferior al 50% ( ): ${\displaystyle \eta =W_{\text{load}}/W_{\text{1,2}}<0.5}$

$${\displaystyle 2W_{\text{load}}<W_{\text{1,2}}\,}$$

De la ecuación 1 $${\displaystyle {\begin{aligned}2W_{\text{load}}&<W_{\text{load}}+W_{\text{fric}}\\W_{\text{load}}&<W_{\text{fric}}\end{aligned}}}$$

Cuando la máquina se mueve hacia atrás desde el punto 2 al punto 1 con la fuerza de carga realizando trabajo sobre la fuerza de entrada, el trabajo perdido por fricción es el mismo. ${\displaystyle W_{\text{fric}}}$

$${\displaystyle W_{\text{load}}=W_{\text{2,1}}+W_{\text{fric}}}$$

Por lo tanto, el trabajo de salida es $${\displaystyle W_{\text{2,1}}=W_{\text{load}}-W_{\text{fric}}<0}$$

De esta forma, la máquina se autobloquea, porque el trabajo disipado en la fricción es mayor que el trabajo realizado por la fuerza de carga que la mueve hacia atrás incluso sin fuerza de entrada.

Teoría de las máquinas modernas

Las máquinas se estudian como sistemas mecánicos constituidos por actuadores y mecanismos que transmiten fuerzas y movimientos, controlados por sensores y controladores. Los componentes de los actuadores y mecanismos están constituidos por eslabones y articulaciones que forman cadenas cinemáticas.

Cadenas cinemáticas

Ilustración de un mecanismo articulado de cuatro barras de Kinematics of Machinery, 1876

Las máquinas simples son ejemplos elementales de cadenas cinemáticas que se utilizan para modelar sistemas mecánicos que van desde la máquina de vapor hasta los manipuladores robóticos. Los cojinetes que forman el punto de apoyo de una palanca y que permiten que la rueda, el eje y las poleas giren son ejemplos de un par cinemático llamado articulación articulada. De manera similar, la superficie plana de un plano inclinado y la cuña son ejemplos del par cinemático llamado articulación deslizante. El tornillo suele identificarse como su propio par cinemático llamado articulación helicoidal.

Dos palancas, o manivelas, se combinan para formar un mecanismo articulado de cuatro barras mediante la unión de un eslabón que conecta la salida de una manivela con la entrada de otra. Se pueden unir eslabones adicionales para formar un mecanismo articulado de seis barras o en serie para formar un robot. ^[24]

Clasificación de máquinas

La identificación de máquinas simples surge del deseo de contar con un método sistemático para inventar nuevas máquinas. Por lo tanto, una preocupación importante es cómo se combinan las máquinas simples para crear máquinas más complejas. Un enfoque consiste en conectar máquinas simples en serie para obtener máquinas compuestas.

Sin embargo, Franz Reuleaux identificó una estrategia más exitosa , al recopilar y estudiar más de 800 máquinas elementales. Se dio cuenta de que una palanca, una polea, una rueda y un eje son en esencia el mismo dispositivo: un cuerpo que gira alrededor de una bisagra. De manera similar, un plano inclinado, una cuña y un tornillo son un bloque que se desliza sobre una superficie plana. ^[32]

Esta constatación muestra que las articulaciones, o las conexiones que proporcionan movimiento, son los elementos primarios de una máquina. A partir de cuatro tipos de articulaciones, la articulación giratoria , la articulación deslizante , la articulación de leva y la articulación de engranaje , y las conexiones relacionadas, como cables y correas, es posible entender una máquina como un conjunto de partes sólidas que conectan estas articulaciones. ^[24]

Síntesis cinemática

El diseño de mecanismos para realizar el movimiento y la transmisión de fuerza requeridos se conoce como síntesis cinemática . Se trata de un conjunto de técnicas geométricas para el diseño mecánico de mecanismos de levas , levas y seguidores , engranajes y trenes de engranajes .

Véase también

• Enlace (mecánico)
• Mecanismos de leva y seguidor
• Engranajes y trenes de engranajes
• Mecanismo (ingeniería)
• Rolamita , la única máquina elemental descubierta en el siglo XX

Referencias

1. Paul, Akshoy; Roy, Pijush; Mukherjee, Sanchayan (2005), Ciencias mecánicas: ingeniería mecánica y resistencia de materiales , Prentice Hall of India, pág. 215, ISBN 978-81-203-2611-8.
2. Asimov, Isaac (1988), Entendiendo la física, Nueva York: Barnes & Noble, pág. 88, ISBN 978-0-88029-251-1.
3. Anderson, William Ballantyne (1914). Física para estudiantes técnicos: mecánica y calor. Nueva York: McGraw Hill. p. 112. Consultado el 11 de mayo de 2008 .
4. "Mecánica". Encyclopædia Britannica . Vol. 3. John Donaldson. 1773. p. 44 . Consultado el 5 de abril de 2020 .
5. Morris, Christopher G. (1992). Diccionario académico de ciencia y tecnología. Gulf Professional Publishing. pág. 1993. ISBN 978-0122004001.
6. Máquinas compuestas, Departamento de Física de la Universidad de Virginia , consultado el 11 de junio de 2010 .
7. Usher, Abbott Payson (1988). Una historia de las invenciones mecánicas. EE. UU.: Courier Dover Publications. pág. 98. ISBN 978-0-486-25593-4.
8. Wallenstein, Andrew (junio de 2002). "Fundamentos del soporte cognitivo: hacia patrones abstractos de utilidad". Actas del 9.º Taller anual sobre diseño, especificación y verificación de sistemas interactivos . Springer. pág. 136. ISBN 978-3540002666. Consultado el 21 de mayo de 2008 .
9. Prater, Edward L. (1994), Máquinas básicas (PDF) , Centro de Tecnología y Desarrollo Profesional de Educación y Capacitación Naval de la Armada de EE. UU., NAVEDTRA 14037.
10. Oficina de Personal Naval de la Armada de EE. UU. (1971), Máquinas básicas y cómo funcionan (PDF) , Dover Publications.
11. Reuleaux, F. (1963) [1876], La cinemática de la maquinaria (traducido y anotado por ABW Kennedy) , Nueva York: reimpreso por Dover.
12. Universidad de Cornell , Colección Reuleaux de mecanismos y máquinas en la Universidad de Cornell, Universidad de Cornell.
13. Chiu, YC (2010), Una introducción a la historia de la gestión de proyectos, Delft: Eburon Academic Publishers, pág. 42, ISBN 978-90-5972-437-2
14. Ostdiek, Vern; Bord, Donald (2005). Investigación sobre la física. Thompson Brooks/Cole. pág. 123. ISBN 978-0-534-49168-0. Consultado el 22 de mayo de 2008 .
15. Citado por Pappus de Alejandría en Sinagoga , Libro VIII
16. Strizhak, Viktor; Igor Penkov; Toivo Pappel (2004). "Evolución del diseño, uso y cálculos de resistencia de roscas de tornillos y uniones roscadas". HMM2004 Simposio internacional sobre historia de máquinas y mecanismos . Kluwer Academic. pág. 245. ISBN 1-4020-2203-4. Consultado el 21 de mayo de 2008 .
17. Krebs, Robert E. (2004). Experimentos, inventos y descubrimientos revolucionarios de la Edad Media. Greenwood. pág. 163. ISBN 978-0-313-32433-8. Consultado el 21 de mayo de 2008 .
18. Stephen, Donald; Lowell Cardwell (2001). Ruedas, relojes y cohetes: una historia de la tecnología. EE. UU.: WW Norton & Company. págs. 85–87. ISBN 978-0-393-32175-3.
19. Armstrong-Hélouvry, Brian (1991). Control de máquinas por fricción. Springer. pág. 10. ISBN 978-0-7923-9133-3.
20. Esta idea fundamental fue el tema de la obra de Galileo Galilei de 1600 Le Meccaniche ( Sobre la mecánica ).
21. Bhatnagar, VP (1996). Un curso completo de física certificada. India: Pitambar. págs. 28-30. ISBN 978-81-209-0868-0.
22. Simmons, Ron; Cindy, Barden (2008). ¡Descubra! Trabajo y máquinas. Estados Unidos: Milliken. pág. 29. ISBN 978-1-4291-0947-5.
23. Gujral, IS (2005). Ingeniería mecánica. Firewall Media. Págs. 378-380. ISBN. 978-81-7008-636-9.
24. Uicker, John J. Jr.; Pennock, Gordon R.; Shigley, Joseph E. (2003), Teoría de máquinas y mecanismos (tercera edición), Nueva York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-515598-3
25. Paul, Burton (1979). Cinemática y dinámica de maquinaria plana . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-516062-6.
26. Rao, S.; Durgaiah, R. (2005). Ingeniería mecánica. Universities Press. pág. 80. ISBN 978-81-7371-543-3.
27. Goyal, MC; Raghuvanshee, GS (2011). Ingeniería Mecánica. Aprendizaje de PHI. pag. 212.ISBN​ 978-81-203-4327-6.
28. Avison, John (2014). El mundo de la física. Nelson Thornes. pág. 110. ISBN 978-0-17-438733-6.
29. Gujral, IS (2005). Ingeniería mecánica. Firewall Media. pág. 382. ISBN 978-81-7008-636-9.
30. Rao, S.; Durgaiah, R. (2005). Ingeniería mecánica. Universities Press. pág. 82. ISBN 978-81-7371-543-3.
31. Goyal, MC; Raghuvanshi, GS (2009). Ingeniería mecánica. Nueva Delhi: PHI Learning Private Ltd. p. 202. ISBN 978-81-203-3789-3.
32. Hartenberg, RS y J. Denavit (1964) Síntesis cinemática de vínculos, Nueva York: McGraw-Hill, enlace en línea de Cornell University .