Movimiento armónico simple

Movimiento periódico de ida y vuelta en ciencia e ingeniería

Movimiento armónico simple mostrado tanto en el espacio real como en el espacio de fases . La órbita es periódica . (Aquí se han invertido los ejes de velocidad y posición con respecto a la convención estándar para alinear los dos diagramas)

En mecánica y física , el movimiento armónico simple (a veces abreviado como MAS ) es un tipo especial de movimiento periódico que experimenta un objeto por medio de una fuerza restauradora cuya magnitud es directamente proporcional a la distancia del objeto desde una posición de equilibrio y actúa hacia la posición de equilibrio. Da como resultado una oscilación que se describe mediante una sinusoide que continúa indefinidamente (si no se inhibe por fricción o cualquier otra disipación de energía ).

El movimiento armónico simple puede servir como modelo matemático para una variedad de movimientos, pero se caracteriza por la oscilación de una masa en un resorte cuando está sujeta a la fuerza elástica restauradora lineal dada por la ley de Hooke . El movimiento es sinusoidal en el tiempo y demuestra una sola frecuencia resonante . Otros fenómenos pueden ser modelados por el movimiento armónico simple, incluido el movimiento de un péndulo simple , aunque para que sea un modelo preciso, la fuerza neta sobre el objeto en el extremo del péndulo debe ser proporcional al desplazamiento (e incluso así, solo es una buena aproximación cuando el ángulo de oscilación es pequeño; consulte aproximación de ángulo pequeño ). El movimiento armónico simple también se puede utilizar para modelar la vibración molecular .

El movimiento armónico simple proporciona una base para la caracterización del movimiento periódico más complicado a través de las técnicas del análisis de Fourier .

Introducción

El movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración cuya dirección es siempre hacia un punto fijo en la línea y cuya magnitud es proporcional al desplazamiento desde el punto fijo se denomina movimiento armónico simple. ^[1]

En el diagrama se muestra un oscilador armónico simple , que consiste en un peso unido a un extremo de un resorte. El otro extremo del resorte está conectado a un soporte rígido, como una pared. Si el sistema se deja en reposo en la posición de equilibrio , no hay ninguna fuerza neta que actúe sobre la masa. Sin embargo, si la masa se desplaza de la posición de equilibrio, el resorte ejerce una fuerza elástica restauradora que obedece la ley de Hooke .

Matemáticamente, la fuerza de restauración F se da por donde F es la fuerza elástica de restauración ejercida por el resorte (en unidades del SI : N ), k es la constante del resorte ( N ·m ⁻¹ ) y x es el desplazamiento desde la posición de equilibrio (m). $${\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} ,}$$

Para cualquier oscilador armónico mecánico simple:

• Cuando el sistema se desplaza de su posición de equilibrio, una fuerza restauradora que obedece la ley de Hooke tiende a restaurar el sistema al equilibrio.

Una vez que la masa se desplaza de su posición de equilibrio, experimenta una fuerza de restauración neta. Como resultado, se acelera y comienza a regresar a la posición de equilibrio. Cuando la masa se acerca a la posición de equilibrio, la fuerza de restauración disminuye. En la posición de equilibrio, la fuerza de restauración neta desaparece. Sin embargo, en x = 0 , la masa tiene momento debido a la aceleración que le ha impartido la fuerza de restauración. Por lo tanto, la masa continúa más allá de la posición de equilibrio, comprimiendo el resorte. Luego, una fuerza de restauración neta la frena hasta que su velocidad llega a cero, momento en el que se acelera nuevamente hasta la posición de equilibrio.

Mientras el sistema no pierda energía , la masa continúa oscilando. Por lo tanto, el movimiento armónico simple es un tipo de movimiento periódico . Si se pierde energía en el sistema, la masa presenta una oscilación amortiguada .

Nótese que si el espacio real y el espacio de fases no son colineales, el movimiento en el espacio de fases se vuelve elíptico. El área encerrada depende de la amplitud y del momento máximo.

Dinámica

En la mecánica newtoniana , para el movimiento armónico simple unidimensional, la ecuación de movimiento, que es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden con coeficientes constantes , se puede obtener por medio de la segunda ley de Newton y la ley de Hooke para una masa en un resorte .

$${\displaystyle F_{\mathrm {net} }=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}$$donde m es la masa inercial del cuerpo oscilante, x es su desplazamiento desde la posición de equilibrio (o media) y k es una constante (la constante de resorte para una masa en un resorte).

Por lo tanto, $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x,}$$

Resolviendo la ecuación diferencial anterior se obtiene una solución que es una función sinusoidal : donde El significado de las constantes y se puede encontrar fácilmente: al aplicar la ecuación anterior vemos que , por lo que es la posición inicial de la partícula, ; tomando la derivada de esa ecuación y evaluando en cero obtenemos que , por lo que es la velocidad inicial de la partícula dividida por la frecuencia angular, . Por lo tanto, podemos escribir: ${\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right),}$ ${\textstyle \omega ={\sqrt {{k}/{m}}}.}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x(0)=c_{1}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{1}=x_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {x}}(0)=\omega c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}={\frac {v_{0}}{\omega }}}$ $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}\sin \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).}$$

Esta ecuación también se puede escribir en la forma: donde $${\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),}$$

• ${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}$
• ${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {c_{2}}{c_{1}}},}$
• ${\displaystyle \sin \varphi ={\frac {c_{2}}{A}},\;\cos \varphi ={\frac {c_{1}}{A}}}$

o equivalentemente

• ${\displaystyle A=|c_{1}+c_{2}i|,}$
• ${\displaystyle \varphi =\arg(c_{1}+c_{2}i)}$

En la solución, c ₁ y c ₂ son dos constantes determinadas por las condiciones iniciales (específicamente, la posición inicial en el tiempo t = 0 es c ₁ , mientras que la velocidad inicial es c ₂ ω ), y el origen se establece como la posición de equilibrio. ^[A] Cada una de estas constantes conlleva un significado físico del movimiento: A es la amplitud (desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio), ω = 2 πf es la frecuencia angular y φ es la fase inicial . ^[B]

Utilizando las técnicas del cálculo , la velocidad y la aceleración en función del tiempo se pueden encontrar: $${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi ),}$$

• Velocidad: ${\displaystyle {\omega }{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}$
• Velocidad máxima: v = ωA (en el punto de equilibrio)

$${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi ).}$$

• Aceleración máxima: Aω ² (en puntos extremos)

Por definición, si una masa m está bajo MAS, su aceleración es directamente proporcional al desplazamiento. donde $${\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x.}$$ $${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$$

Dado que ω = 2 πf , y, dado que T = ⁠ $${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}},}$$1/F⁠ donde T es el período de tiempo, $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}.}$$

Estas ecuaciones demuestran que el movimiento armónico simple es isócrono (el período y la frecuencia son independientes de la amplitud y la fase inicial del movimiento).

Energía

Sustituyendo ω ² por ⁠a/metro⁠ , laenergía cinética K del sistema en el tiempo t es y laenergía potenciales En ausencia de fricción y otras pérdidas de energía, laenergía mecánicatiene un valor constante. $${\displaystyle K(t)={\tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi ),}$$ $${\displaystyle U(t)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={\tfrac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi ).}$$ $${\displaystyle E=K+U={\tfrac {1}{2}}kA^{2}.}$$

Ejemplos

Un sistema de masa-resorte no amortiguado experimenta un movimiento armónico simple.

Los siguientes sistemas físicos son algunos ejemplos de oscilador armónico simple .

Misa en un manantial

Una masa m unida a un resorte de constante elástica k exhibe un movimiento armónico simple en un espacio cerrado . La ecuación para describir el período muestra que el período de oscilación es independiente de la amplitud, aunque en la práctica la amplitud debería ser pequeña. La ecuación anterior también es válida en el caso en que se aplica una fuerza constante adicional sobre la masa, es decir, la fuerza constante adicional no puede cambiar el período de oscilación. $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$$

Movimiento circular uniforme

El movimiento armónico simple puede considerarse la proyección unidimensional del movimiento circular uniforme . Si un objeto se mueve con velocidad angular ω alrededor de un círculo de radio r centrado en el origen del plano xy , entonces su movimiento a lo largo de cada coordenada es un movimiento armónico simple con amplitud r y frecuencia angular ω .

Movimiento oscilatorio

El movimiento de un cuerpo en el que se mueve hacia y desde un punto definido también se denomina movimiento oscilatorio o movimiento vibratorio. El período de tiempo se puede calcular mediante donde l es la distancia desde la rotación hasta el centro de masa del objeto que experimenta MAS y g es la aceleración gravitacional. Esto es análogo al sistema masa-resorte. $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$$

Masa de un péndulo simple

En la aproximación de ángulo pequeño , el movimiento de un péndulo simple se aproxima mediante un movimiento armónico simple. El período de una masa unida a un péndulo de longitud l con aceleración gravitacional está dado por ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$$

Esto demuestra que el período de oscilación es independiente de la amplitud y la masa del péndulo, pero no de la aceleración debida a la gravedad, por lo que un péndulo de la misma longitud en la Luna oscilaría más lentamente debido a la menor intensidad del campo gravitatorio de la Luna. Debido a que el valor de varía ligeramente sobre la superficie de la Tierra, el período de tiempo variará ligeramente de un lugar a otro y también variará con la altura sobre el nivel del mar. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Esta aproximación es precisa solo para ángulos pequeños debido a que la expresión para la aceleración angular α es proporcional al seno del ángulo de desplazamiento: donde I es el momento de inercia . Cuando θ es pequeño, sen  θ ≈ θ y, por lo tanto, la expresión se convierte en lo que hace que la aceleración angular sea directamente proporcional y opuesta a θ , satisfaciendo la definición de movimiento armónico simple (que la fuerza neta es directamente proporcional al desplazamiento desde la posición media y se dirige hacia la posición media). $${\displaystyle -mgl\sin \theta =I\alpha ,}$$ $${\displaystyle -mgl\theta =I\alpha }$$

Yugo escocés

Se puede utilizar un mecanismo de horquilla escocesa para convertir entre movimiento rotatorio y movimiento alternativo lineal. El movimiento lineal puede adoptar diversas formas según la forma de la ranura, pero la horquilla básica con una velocidad de rotación constante produce un movimiento lineal que tiene una forma armónica simple.

Animación de yugo escocés

Véase también

• Mecánica newtoniana
• Aproximación de ángulo pequeño
• Modelo de oscilador de Lorentz
• Péndulo de Rayleigh-Lorentz
• Isócrono
• Movimiento circular uniforme
• Movimiento armónico complejo
• Relación de amortiguamiento
• Oscilador armónico
• Péndulo (matemáticas)
• Grupo circular
• Vibración de cuerdas

Notas

1. La elección de utilizar un coseno en esta ecuación es una convención. Otras formulaciones válidas son:

   $${\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi '\right),}$$dónde $${\displaystyle \tan \varphi '={\frac {c_{1}}{c_{2}}},}$$

   ya que cos θ = sin( ⁠π/2⁠ − θ ) .
2. El desplazamiento máximo (es decir, la amplitud), x _max , ocurre cuando cos( ωt ± φ ) = 1 , y por lo tanto cuando x _max = A .

Referencias

1. "Movimiento armónico simple – Conceptos".

• Fowles, Grant R.; Cassiday, George L. (2005). Mecánica analítica (7.ª ed.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-49492-7.
• Taylor, John R. (2005). Mecánica clásica . Libros de ciencias de la universidad. ISBN 1-891389-22-X.
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Dinámica clásica de partículas y sistemas (5.ª ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40896-6.
• Walker, Jearl (2011). Principios de física (novena edición). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-0-470-56158-4.

Enlaces externos

• Movimiento armónico simple de HyperPhysics
• Simulación en Java de un oscilador de masa-resorte
• Subprograma Geogebra para resorte-masa, con 3 archivos PDF adjuntos sobre SHM, osciladores accionados/amortiguados, resorte-masa con fricción