Proyección (matemáticas)

En matemáticas , una proyección es una aplicación idempotente de un conjunto (u otra estructura matemática ) en un subconjunto (o subestructura). En este caso, idempotente significa que proyectar dos veces es lo mismo que proyectar una vez. La restricción a un subespacio de una proyección también se llama proyección , incluso si se pierde la propiedad de idempotencia. Un ejemplo cotidiano de una proyección es la proyección de sombras sobre un plano (hoja de papel): la proyección de un punto es su sombra sobre la hoja de papel, y la proyección (sombra) de un punto sobre la hoja de papel es ese punto en sí (idempotencia). La sombra de una esfera tridimensional es un disco. Originalmente, la noción de proyección se introdujo en la geometría euclidiana para denotar la proyección del espacio euclidiano tridimensional sobre un plano en él, como el ejemplo de la sombra. Las dos proyecciones principales de este tipo son:

La proyección de un punto sobre un plano o proyección central : Si $C$ es un punto, llamado centro de proyección , entonces la proyección de un punto $P$ distinto de $C$ sobre un plano que no contenga $a C$ es la intersección de la recta $CP$ con el plano. Los puntos $P$ tales que la recta $CP$ es paralela al plano no tienen ninguna imagen por la proyección, pero a menudo se dice que se proyectan sobre un punto en el infinito del plano (véase Geometría proyectiva para una formalización de esta terminología). La proyección del punto $C$ en sí no está definida.
La proyección paralela a una dirección $D$ sobre un plano o proyección paralela : La imagen de un punto $P$ es la intersección del plano con la línea paralela a $D$ que pasa por $P.$ Véase Espacio afín § Proyección para una definición precisa, generalizada a cualquier dimensión. ^{[ cita requerida ]}

El concepto de proyección en matemáticas es muy antiguo y probablemente tenga sus raíces en el fenómeno de las sombras que proyectan los objetos del mundo real sobre el suelo. Esta idea rudimentaria se fue refinando y abstrayendo, primero en un contexto geométrico y después en otras ramas de las matemáticas. Con el tiempo se desarrollaron diferentes versiones del concepto, pero hoy, en un entorno suficientemente abstracto, podemos unificar estas variaciones. ^{[ cita requerida ]}

En cartografía , una proyección cartográfica es un mapa de una parte de la superficie de la Tierra sobre un plano, lo que, en algunos casos, pero no siempre, es la restricción de una proyección en el sentido antes mencionado. Las proyecciones 3D también son la base de la teoría de la perspectiva . ^{[ cita requerida ]}

La necesidad de unificar los dos tipos de proyecciones y de definir la imagen mediante una proyección central de un punto cualquiera distinto del centro de proyección están en el origen de la geometría proyectiva .

Definición

La conmutatividad de este diagrama es la universalidad de la proyección $π$ , para cualquier mapa $f$ y conjunto $X$ .

En general, una aplicación donde el dominio y el codominio son el mismo conjunto (o estructura matemática ) es una proyección si la aplicación es idempotente , lo que significa que una proyección es igual a su composición consigo misma. Una proyección también puede referirse a una aplicación que tiene una inversa derecha . Ambas nociones están fuertemente relacionadas, como sigue. Sea $p$ una aplicación idempotente de un conjunto $A$ en sí mismo (por lo tanto $p \circ p = p$ ) y $B = p (A)$ sea la imagen de $p$ . Si denotamos por $π$ la aplicación $p$ vista como una aplicación de $A$ en $B$ y por $i$ la inyección de $B$ en $A$ (de modo que $p = i \circ π$ ), entonces tenemos $π \circ i = Id B$ (de modo que $π$ tiene una inversa derecha). Por el contrario, si $π$ tiene una inversa derecha $i$ , entonces $π \circ i = Id B$ implica que $i \circ π \circ i \circ π = i \circ Id B \circ π = i \circ π$ ; es decir, $p = i \circ π$ es idempotente. ^{[ cita requerida ]}

Aplicaciones

La noción original de proyección se ha extendido o generalizado a diversas situaciones matemáticas, frecuentemente, pero no siempre, relacionadas con la geometría, por ejemplo:

En teoría de conjuntos :
- Una operación tipificada por la $j$ -ésima ^función de proyección , escrita $proj j$ , que toma un elemento $x = (x 1, ..., x j, ..., x n)$ del producto cartesiano $X 1 \times \dots \times X j \times \dots \times X n$ al valor $proj j (x) = x j .$ ^[1] Esta función es siempre sobreyectiva y, cuando cada espacio $X k$ tiene una topología , esta función también es continua y abierta . ^[2]
- Una aplicación que lleva un elemento a su clase de equivalencia bajo una relación de equivalencia dada se conoce como proyección canónica . ^[3]
- El mapa de evaluación envía una función $f$ al valor $f (x) para un$ $x$ fijo . El espacio de funciones $Y X$ se puede identificar con el producto cartesiano , y el mapa de evaluación es un mapa de proyección a partir del producto cartesiano. ^[^{cita requerida}^] ${\textstyle \prod _{i\in X}Y}$
Para las bases de datos relacionales y los lenguajes de consulta , la proyección es una operación unaria escrita como donde es un conjunto de nombres de atributos. El resultado de dicha proyección se define como el conjunto que se obtiene cuando todas las tuplas en $R$ se restringen al conjunto . ^[4]^[5]^[6]^[^{verificación necesaria}^] $R$ es una relación de base de datos . ^[^{cita necesaria}^] $\Pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R)$ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$
En geometría esférica , la proyección de una esfera sobre un plano fue utilizada por Ptolomeo (~150) en su Planisphaerium . ^[7] El método se llama proyección estereográfica y utiliza un plano tangente a una esfera y un polo C diametralmente opuesto al punto de tangencia. Cualquier punto $P$ en la esfera además de $C$ determina una línea $CP$ que interseca el plano en el punto proyectado para $P.$ ^[8] La correspondencia hace que la esfera sea una compactificación de un punto para el plano cuando se incluye un punto en el infinito para corresponder a $C$ , que de lo contrario no tiene proyección en el plano. Un ejemplo común es el plano complejo donde la compactificación corresponde a la esfera de Riemann . Alternativamente, un hemisferio se proyecta con frecuencia sobre un plano utilizando la proyección gnomónica . ^{[ cita requerida ]}
En álgebra lineal , una transformación lineal que permanece invariable si se aplica dos veces: $p (u) = p (p (u))$ . En otras palabras, un operador idempotente . Por ejemplo, la aplicación que lleva un punto $(x, y, z)$ en tres dimensiones al punto $(x, y, 0)$ es una proyección. Este tipo de proyección se generaliza naturalmente a cualquier número de dimensiones $n$ para el dominio y $k \leq n$ para el codominio de la aplicación. Véase Proyección ortogonal , Proyección (álgebra lineal) . En el caso de las proyecciones ortogonales, el espacio admite una descomposición como producto, y el operador de proyección es una proyección también en ese sentido. ^[9]^[10]^{[ verificación necesaria ]}
En la topología diferencial , cualquier haz de fibras incluye un mapa de proyección como parte de su definición. Al menos localmente, este mapa parece un mapa de proyección en el sentido de la topología de producto y, por lo tanto, es abierto y sobreyectivo. ^{[ cita requerida ]}
En topología , una retracción es una función continua $r : X \to X$ que se limita a la función identidad en su imagen. ^[11] Esto satisface una condición de idempotencia similar $r 2 = r$ y puede considerarse una generalización de la función de proyección. La imagen de una retracción se denomina retracción del espacio original. Una retracción que es homotópica a la identidad se conoce como retracción de deformación . Este término también se utiliza en la teoría de categorías para referirse a cualquier epimorfismo dividido. ^{[ cita requerida ]}
La proyección escalar (o resuelta) de un vector sobre otro.
En teoría de categorías , la noción anterior de producto cartesiano de conjuntos se puede generalizar a categorías arbitrarias . El producto de algunos objetos tiene un morfismo de proyección canónica para cada factor. Los casos especiales incluyen la proyección del producto cartesiano de conjuntos , la topología del producto de espacios topológicos (que siempre es sobreyectiva y abierta ), o del producto directo de grupos , etc. Aunque estos morfismos son a menudo epimorfismos e incluso sobreyectivos, no tienen por qué serlo. ^[12]^[^{verificación necesaria}^]

Referencias

^ "Producto directo - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 11 de agosto de 2021 .
^ Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades suaves. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 218 (segunda edición). pág. 606. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5Ejercicio A.32. Supóngase que son espacios topológicos. Demuestre que cada proyección es una función abierta. $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$
^ Brown, Arlen; Pearcy, Carl (16 de diciembre de 1994). Introducción al análisis. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94369-5.
^ Alagic, Suad (6 de diciembre de 2012). Tecnología de bases de datos relacionales. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-4922-1.
^ Date, CJ (28 de agosto de 2006). Diccionario de bases de datos relacionales: un glosario completo de términos y conceptos relacionales, con ejemplos ilustrativos. "O'Reilly Media, Inc." ISBN 978-1-4493-9115-7.
^ "Álgebra relacional". www.cs.rochester.edu . Archivado desde el original el 30 de enero de 2004. Consultado el 29 de agosto de 2021 .
^ Sidoli, Nathan; Berggren, JL (2007). "La versión árabe del Planisferio de Ptolomeo o el aplanamiento de la superficie de la esfera: texto, traducción, comentario" (PDF) . Sciamvs . 8 . Consultado el 11 de agosto de 2021 .
^ "Proyección estereográfica - Enciclopedia de matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 11 de agosto de 2021 .
^ "Proyección - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 11 de agosto de 2021 .
^ Roman, Steven (20 de septiembre de 2007). Álgebra lineal avanzada. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72831-5.
^ "Retractación - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 11 de agosto de 2021 .
^ "Producto de una familia de objetos de una categoría - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 11 de agosto de 2021 .

Lectura adicional

Thomas Craig (1882) Un tratado sobre proyecciones de la colección histórica de matemáticas de la Universidad de Michigan .