Elipse de Steiner

Circunmelipse de un triángulo cuyo centro es el baricentro del triángulo

La elipse de Steiner de un triángulo isósceles . Los tres segmentos de línea dentro del triángulo son las medianas del triángulo , cada una de las cuales divide un lado en dos. Las medianas coinciden en el baricentro del triángulo , que también es el centro de la elipse de Steiner.

En geometría , la elipse de Steiner de un triángulo , también llamada circunelipse de Steiner para distinguirla de la inelipse de Steiner , es la única circunelipse ( elipse que toca al triángulo en sus vértices ) cuyo centro es el baricentro del triángulo . ^[1] Llamada así en honor a Jakob Steiner , es un ejemplo de circuncónica . En comparación, la circunferencia circunscrita de un triángulo es otra circuncónica que toca al triángulo en sus vértices, pero no está centrada en el baricentro del triángulo a menos que el triángulo sea equilátero .

El área de la elipse de Steiner es igual al área del triángulo multiplicado por el área de la elipse de Steiner y, por lo tanto, es cuatro veces mayor. La elipse de Steiner tiene el área más pequeña de todas las elipses circunscritas al triángulo. ^[1] ${\displaystyle {\frac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}},}$

La elipse de Steiner es la elipse invertida de Steiner escalada (factor 2, el centro es el baricentro). Por lo tanto, ambas elipse son similares (tienen la misma excentricidad ).

Propiedades

Elipse de Steiner de un triángulo equilátero (izquierda) e isósceles

• Una elipse de Steiner es la única elipse cuyo centro es el baricentro de un triángulo y contiene los puntos . El área de la elipse de Steiner es el doble del área del triángulo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle {\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

Prueba

A) Para un triángulo equilátero, la elipse de Steiner es la circunferencia circunscrita , que es la única elipse que cumple las condiciones previas. La elipse deseada debe contener el triángulo reflejado en el centro de la elipse. Esto es cierto para la circunferencia circunscrita. Una cónica está determinada de forma única por 5 puntos. Por lo tanto, la circunferencia circunscrita es la única elipse de Steiner.

B) Debido a que un triángulo arbitrario es la imagen afín de un triángulo equilátero, una elipse es la imagen afín del círculo unitario y el centroide de un triángulo se asigna al centroide del triángulo imagen, la propiedad (una circunelipse única con el centroide como centro) es verdadera para cualquier triángulo.

El área del círculo circunscrito de un triángulo equilátero es el doblez del área del triángulo. Una función afín conserva la razón de las áreas. Por lo tanto, la afirmación sobre la razón es cierta para cualquier triángulo y su elipse de Steiner. ${\displaystyle {\tfrac {4\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

Determinación de puntos conjugados

Se puede dibujar una elipse (a mano o por ordenador) si además del centro se conocen al menos dos puntos conjugados en los diámetros conjugados. En este caso

• o bien uno determina mediante la construcción de Rytz los vértices de la elipse y dibuja la elipse con un compás de elipse adecuado
• o utiliza una representación paramétrica para dibujar la elipse.

Pasos para determinar puntos conjugados en una elipse de Steiner:
1) transformación del triángulo en un triángulo isósceles
2) determinación del punto conjugado (pasos 1 a 5) 3) dibujo de la elipse con semidiámetros conjugados ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$
${\displaystyle SC,SD}$

Sea un triángulo y su baricentro . La aplicación de cizallamiento con eje que pasa por y es paralelo a transforma el triángulo en un triángulo isósceles (ver diagrama). El punto es un vértice de la elipse de Steiner del triángulo . Un segundo vértice de esta elipse se encuentra en , porque es perpendicular a (razones de simetría). Este vértice se puede determinar a partir de los datos (elipse con centro en y , ) mediante el cálculo . Resulta que ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle A'B'C'}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle A'B'C'}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle SC'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle |A'B'|=c}$

${\displaystyle |SD|={\frac {c}{\sqrt {3}}}\ .}$

O dibujando : Utilizando el método de la Hire (ver diagrama central) se determina el vértice de la elipse de Steiner del triángulo isósceles . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A'B'C'}$

La función de corte inverso se asigna a y el punto es fijo, porque es un punto en el eje de corte. Por lo tanto, el semidiámetro es conjugado a . ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle SD}$ ${\displaystyle SC}$

Con ayuda de este par de semidiámetros conjugados se puede dibujar la elipse, a mano o por ordenador.

Representación paramétrica y ecuación

Elipse de Steiner de un triángulo que incluye los ejes y los vértices (púrpura)

Dado: Triángulo Se busca: Representación paramétrica y ecuación de su elipse de Steiner ${\displaystyle \ A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2}),\;C=(c_{1},c_{2})}$

El centroide del triángulo es ${\displaystyle \ S=({\tfrac {a_{1}+b_{1}+c_{1}}{3}},{\tfrac {a_{2}+b_{2}+c_{2}}{3}})\ .}$

Representación paramétrica:

De la investigación del apartado anterior se obtiene la siguiente representación paramétrica de la elipse de Steiner:

• ${\displaystyle \ {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{\sqrt {3}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \;.}$

• Los cuatro vértices de la elipse son de donde viene ${\displaystyle \quad {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),\ }$ ${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle \cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad }$con (ver elipse ). ${\displaystyle \quad {\vec {f}}_{1}={\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\vec {AB}}\quad }$

Se pueden cambiar los roles de los puntos para determinar la representación paramétrica.

Ejemplo (ver diagrama): . ${\displaystyle A=(-5,-5),B=(0,25),C=(20,0)}$

Elipse de Steiner como ejemplo de "ecuación"

Ecuación:

Si el origen es el centroide del triángulo (centro de la elipse de Steiner) la ecuación correspondiente a la representación paramétrica es ${\textstyle {\vec {x}}={\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t}$

• ${\displaystyle \ (xf_{2y}-yf_{2x})^{2}+(yf_{1x}-xf_{1y})^{2}-(f_{1x}f_{2y}-f_{1y}f_{2x})^{2}=0\ ,}$

con . ^[2] ${\displaystyle \ {\vec {f}}_{i}=(f_{ix},f_{iy})^{T}\ }$

Ejemplo: El centroide de un triángulo es el origen. A partir de los vectores se obtiene la ecuación de la elipse de Steiner: ${\displaystyle \quad A=(-{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}},-{\tfrac {3}{2}}),\ B=({\tfrac {\sqrt {3}}{2}},-{\tfrac {3}{2}}),\ C=({\sqrt {3}},3)\quad }$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=({\sqrt {3}},3)^{T},\ {\vec {f}}_{2}=(2,0)^{T}\ }$

${\displaystyle 9x^{2}+7y^{2}-6{\sqrt {3}}xy-36=0\ .}$

Determinación de los semiejes y excentricidad lineal

Si ya se conocen los vértices (ver arriba), se pueden determinar los semiejes. Si solo nos interesan los ejes y la excentricidad, el siguiente método es más apropiado:

Sean los semiejes de la elipse de Steiner. Del teorema de Apolonio sobre las propiedades de los semidiámetros conjugados de las elipses se obtiene: ${\displaystyle a,b,\;a>b}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}={\vec {SC}}^{2}+{\vec {SD}}^{2}\ ,\quad a\cdot b=\left|\det({\vec {SC}},{\vec {SD}})\right|\ .}$

Denotando los lados derechos de las ecuaciones por y respectivamente y transformando el sistema no lineal (respetando ) conduce a: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a>b>0}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=M,\ ab=N\quad \rightarrow \quad a^{2}+2ab+b^{2}=M+2N,\ a^{2}-2ab+b^{2}=M-2N}$

${\displaystyle \rightarrow \quad (a+b)^{2}=M+2N,\ (a-b)^{2}=M-2N\quad \rightarrow \quad a+b={\sqrt {M+2N}},\ a-b={\sqrt {M-2N}}\ .}$

Resolviendo para y se obtienen los semiejes : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

• ${\displaystyle \ a={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}})\ ,\qquad b={\frac {1}{2}}({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}})\ ,}$

con . ${\displaystyle \qquad M={\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\ ,\quad N={\frac {1}{\sqrt {3}}}|\det({\vec {SC}},{\vec {AB}})|\qquad }$

La excentricidad lineal de la elipse de Steiner es

• ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\cdots ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .}$

y el área

• ${\displaystyle F=\pi ab=\pi N={\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\left|\det({\vec {SC}},{\vec {AB}})\right|}$

¡No se debe confundir esta sección con otros significados en este artículo! ${\displaystyle a,b}$

Ecuación trilineal

La ecuación de la circunelipse de Steiner en coordenadas trilineales es ^[1]

${\displaystyle bcyz+cazx+abxy=0}$

para longitudes laterales a, b, c .

Cálculo alternativo de los semiejes y excentricidad lineal

Los semiejes mayor y semieje menor (de un triángulo con lados de longitud a, b, c) tienen longitudes ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{3}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

y distancia focal

${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {Z}}}$

dónde

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

Los focos se llaman puntos de Bickart del triángulo.

Véase también

• Triángulo cónico

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Steiner Circumellipse". mathworld.wolfram.com . Consultado el 22 de julio de 2024 .
2. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), p. 65.

• Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal: El universo de las cónicas , Springer 2016, ISBN 978-3-662-45449-7 , p.383