La aceleración transversal ( perpendicular a la velocidad) provoca un cambio de dirección. Si su magnitud es constante y cambia de dirección con la velocidad, se produce un movimiento circular . Tomando dos derivadas de las coordenadas de la partícula con respecto al tiempo se obtiene la aceleración centrípeta .
La fórmula no tiene dimensiones y describe una proporción verdadera para todas las unidades de medida aplicadas uniformemente en toda la fórmula. Si el valor numérico de se mide en metros por segundo por segundo, entonces los valores numéricos de estarán en metros por segundo, en metros y en radianes por segundo.
Velocidad
La rapidez (o la magnitud de la velocidad) relativa al objeto central es constante: [1] : 30
, es la masa de ambos cuerpos en órbita , aunque en la práctica común, si la masa mayor es significativamente mayor, la masa menor a menudo se ignora, con un cambio mínimo en el resultado.
En el cuadrante superior izquierdo de este diagrama se representa una órbita circular, donde el pozo de potencial gravitacional de la masa central muestra la energía potencial y la energía cinética de la velocidad orbital se muestra en rojo. La altura de la energía cinética permanece constante a lo largo de la órbita circular de velocidad constante.
la energía cinética del sistema es igual al valor absoluto de la energía total
la energía potencial del sistema es igual al doble de la energía total
La velocidad de escape desde cualquier distancia es √ 2 veces la velocidad en una órbita circular a esa distancia: la energía cinética es el doble, por lo tanto, la energía total es cero. [ cita necesaria ]
En la métrica de Schwarzschild , la velocidad orbital para una órbita circular con radio viene dada por la siguiente fórmula:
¿ Dónde está el radio de Schwarzschild del cuerpo central?
Derivación
Por conveniencia, la derivación se escribirá en unidades en las que .
Las cuatro velocidades de un cuerpo en una órbita circular vienen dadas por:
( es constante en una órbita circular y las coordenadas se pueden elegir de modo que ). El punto encima de una variable indica derivación con respecto al tiempo adecuado .
Para una partícula masiva, los componentes de las cuatro velocidades satisfacen la siguiente ecuación:
Usamos la ecuación geodésica:
La única ecuación no trivial es la de . Da:
De esto obtenemos:
Sustituyendo esto en la ecuación de una partícula masiva se obtiene:
Por eso:
Supongamos que tenemos un observador en un radio , que no se mueve con respecto al cuerpo central, es decir, su velocidad de cuatro es proporcional al vector . La condición de normalización implica que es igual a:
El producto escalar de las cuatro velocidades del observador y el cuerpo en órbita es igual al factor gamma del cuerpo en órbita en relación con el observador, por lo tanto:
En la parte superior del diagrama, un satélite en una órbita circular en el sentido de las agujas del reloj (punto amarillo) lanza objetos de masa insignificante: (1 - azul) hacia la Tierra, (2 - rojo) lejos de la Tierra, (3 - gris) en la dirección de viaje, y (4 - negro) hacia atrás de la dirección de viaje.
Las elipses discontinuas son órbitas relativas a la Tierra. Las curvas sólidas son perturbaciones relativas al satélite: en una órbita, (1) y (2) regresan al satélite después de haber realizado un bucle en el sentido de las agujas del reloj a cada lado del satélite. De manera no intuitiva, (3) gira en espiral cada vez más atrás, mientras que (4) avanza en espiral.
^ abc Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Ciencias Planetarias Fundamentales: física, química y habitabilidad . Nueva York, NY, Estados Unidos: Cambridge University Press. pag. 604.ISBN 9781108411981.