circuito RLC

Un circuito RLC es un circuito eléctrico que consta de una resistencia (R), un inductor (L) y un condensador (C), conectados en serie o en paralelo. El nombre del circuito se deriva de las letras que se utilizan para indicar los componentes constituyentes de este circuito, donde la secuencia de los componentes puede variar de RLC.

El circuito forma un oscilador armónico de corriente y resuena de manera similar a un circuito LC . La introducción de la resistencia aumenta la caída de estas oscilaciones, lo que también se conoce como amortiguación . La resistencia también reduce la frecuencia de resonancia máxima. Alguna resistencia es inevitable incluso si no se incluye específicamente una resistencia como componente.

Los circuitos RLC tienen muchas aplicaciones como circuitos osciladores . Los receptores de radio y los televisores los utilizan para sintonizar y seleccionar un rango de frecuencia estrecho de las ondas de radio ambientales. En esta función, el circuito a menudo se denomina circuito sintonizado. Un circuito RLC se puede utilizar como filtro de paso de banda , filtro de eliminación de banda , filtro de paso bajo o filtro de paso alto . La aplicación de sintonización, por ejemplo, es un ejemplo de filtrado de paso de banda. El filtro RLC se describe como un circuito de segundo orden , lo que significa que cualquier voltaje o corriente en el circuito puede describirse mediante una ecuación diferencial de segundo orden en el análisis de circuitos.

Los tres elementos del circuito, R, L y C, se pueden combinar en varias topologías diferentes . Los tres elementos en serie o los tres elementos en paralelo son los más simples en concepto y los más sencillos de analizar. Sin embargo, existen otras disposiciones, algunas de ellas con importancia práctica en circuitos reales. Un problema que se encuentra a menudo es la necesidad de tener en cuenta la resistencia del inductor. Los inductores generalmente se construyen a partir de bobinas de alambre, cuya resistencia no suele ser deseable, pero a menudo tiene un efecto significativo en el circuito.

Conceptos básicos

Resonancia

Una propiedad importante de este circuito es su capacidad de resonar a una frecuencia específica, la frecuencia de resonancia , $f 0$ . Las frecuencias se miden en unidades de hercios . En este artículo, se utiliza la frecuencia angular , $ω 0$ , porque es más conveniente matemáticamente. Esto se mide en radianes por segundo. Están relacionados entre sí por una simple proporción,

\omega _ {0}=2\pi f_ {0}\,.

La resonancia ocurre porque la energía para esta situación se almacena de dos maneras diferentes: en un campo eléctrico cuando se carga el capacitor y en un campo magnético cuando la corriente fluye a través del inductor. La energía se puede transferir de uno a otro dentro del circuito y esto puede ser oscilatorio. Una analogía mecánica es un peso suspendido de un resorte que oscilará hacia arriba y hacia abajo cuando se suelta. Ésta no es una metáfora pasajera; un peso sobre un resorte se describe exactamente mediante la misma ecuación diferencial de segundo orden que un circuito RLC y para todas las propiedades de un sistema se encontrará una propiedad análoga del otro. La propiedad mecánica que responde a la resistencia en el circuito es la fricción en el sistema resorte-peso. La fricción detendrá lentamente cualquier oscilación si no hay una fuerza externa que la impulse. Del mismo modo, la resistencia en un circuito RLC "amortiguará" la oscilación, disminuyéndola con el tiempo si no hay una fuente de alimentación de CA en el circuito.

La frecuencia resonante se define como la frecuencia a la que la impedancia del circuito es mínima. De manera equivalente, se puede definir como la frecuencia a la que la impedancia es puramente real (es decir, puramente resistiva). Esto ocurre porque las impedancias del inductor y del capacitor en resonancia son iguales pero de signo opuesto y se cancelan. Los circuitos donde L y C están en paralelo en lugar de en serie tienen en realidad una impedancia máxima en lugar de una impedancia mínima. Por este motivo se les suele describir como antiresonadores ; Sin embargo, todavía es habitual denominar la frecuencia a la que esto ocurre como frecuencia de resonancia.

Frecuencia natural

La frecuencia de resonancia se define en términos de la impedancia presentada a una fuente impulsora. Todavía es posible que el circuito continúe oscilando (durante un tiempo) después de que se haya eliminado la fuente de excitación o se haya sometido a un aumento de voltaje (incluido un paso hacia cero). Esto es similar a la forma en que un diapasón seguirá sonando después de haber sido golpeado, y el efecto a menudo se llama timbre. Este efecto es la frecuencia de resonancia natural máxima del circuito y, en general, no es exactamente la misma que la frecuencia de resonancia impulsada, aunque las dos normalmente estarán bastante cercanas entre sí. Diferentes autores utilizan varios términos para distinguir los dos, pero frecuencia de resonancia no calificada generalmente significa la frecuencia de resonancia impulsada. La frecuencia activada puede denominarse frecuencia de resonancia no amortiguada o frecuencia natural no amortiguada y la frecuencia máxima puede denominarse frecuencia de resonancia amortiguada o frecuencia natural amortiguada. La razón de esta terminología es que la frecuencia de resonancia activada en un circuito resonante en serie o en paralelo tiene el valor. ^[1]

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {L\,C~}}}\,~.

Esto es exactamente lo mismo que la frecuencia de resonancia de un circuito LC sin pérdidas, es decir, uno sin resistencia presente. La frecuencia de resonancia de un circuito RLC activado es la misma que la de un circuito en el que no hay amortiguación, por lo tanto, la frecuencia de resonancia no amortiguada. La amplitud máxima de la frecuencia de resonancia, por otro lado, depende del valor de la resistencia y se describe como frecuencia de resonancia amortiguada. Un circuito muy amortiguado no resonará en absoluto cuando no se utilice. Un circuito con un valor de resistencia que hace que esté justo al borde del timbre se llama críticamente amortiguado . Cualquier lado de la amortiguación crítica se describe como subamortiguado (se produce un zumbido) y sobreamortiguado (se suprime el zumbido).

Los circuitos con topologías más complejas que las simples en serie o en paralelo (algunos ejemplos se describen más adelante en el artículo) tienen una frecuencia de resonancia impulsada que se desvía de , y para aquellos, la frecuencia de resonancia no amortiguada, la frecuencia de resonancia amortiguada y la frecuencia de resonancia impulsada pueden ser diferentes. $\ \omega _ {0}=1/{\sqrt {L\,C~}}\$

Mojadura

La amortiguación es causada por la resistencia en el circuito. Determina si el circuito resonará naturalmente o no (es decir, sin una fuente impulsora). Los circuitos que resonarán de esta manera se describen como subamortiguados y los que no, sobreamortiguados. La atenuación de la amortiguación (símbolo $α$ ) se mide en nepers por segundo. Sin embargo, el factor de amortiguamiento sin unidades (símbolo $ζ$ , zeta) es a menudo una medida más útil, que está relacionada con $α$ por

\ \zeta ={\frac {\alpha }{\ \omega _{0}\ }}\ .

El caso especial de $ζ = 1$ se llama amortiguamiento crítico y representa el caso de un circuito que está justo en el borde de la oscilación. Es la amortiguación mínima que se puede aplicar sin provocar oscilaciones.

Banda ancha

El efecto de resonancia se puede utilizar para filtrar, el cambio rápido de impedancia cerca de la resonancia se puede utilizar para pasar o bloquear señales cercanas a la frecuencia de resonancia. Se pueden construir filtros de paso de banda y filtros de eliminación de banda y algunos circuitos de filtro se muestran más adelante en el artículo. Un parámetro clave en el diseño de filtros es el ancho de banda . El ancho de banda se mide entre las frecuencias de corte , definidas con mayor frecuencia como las frecuencias en las que la potencia que pasa a través del circuito ha caído a la mitad del valor pasado en resonancia. Hay dos de estas frecuencias de media potencia, una por encima y otra por debajo de la frecuencia de resonancia.

\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,,

donde $Δ ω$ es el ancho de banda, $ω 1$ es la frecuencia de mitad de potencia inferior y $ω 2$ es la frecuencia de mitad de potencia superior. El ancho de banda está relacionado con la atenuación por

\Delta \omega =2\alpha \,,

donde las unidades son radianes por segundo y nepers por segundo respectivamente. ^{[ cita necesaria ]} Otras unidades pueden requerir un factor de conversión. Una medida más general de ancho de banda es el ancho de banda fraccionario, que expresa el ancho de banda como una fracción de la frecuencia de resonancia y viene dado por

B_{\mathrm {f} }={\frac {\Delta \omega }{\omega _{0}}}\,.

El ancho de banda fraccionario también suele expresarse como porcentaje. La amortiguación de los circuitos de filtro se ajusta para dar como resultado el ancho de banda requerido. Un filtro de banda estrecha, como un filtro de muesca , requiere una amortiguación baja. Un filtro de banda ancha requiere una alta amortiguación.

factor q

El factor Q es una medida muy utilizada para caracterizar resonadores. Se define como la energía máxima almacenada en el circuito dividida por la energía promedio disipada en él por radianes en resonancia. $Por lo tanto, los circuitos de Q$ baja están amortiguados y tienen pérdidas, y los circuitos $de Q$ alta están subamortiguados y son propensos a amplitudes extremas si se accionan a la frecuencia de resonancia. ^[a] $Q$ está relacionado con el ancho de banda; $Los circuitos de Q$ baja son de banda ancha y los circuitos $de Q$ alta son de banda estrecha. De hecho, sucede que $Q$ es la inversa del ancho de banda fraccionario.

Q={\frac {1}{\,B_{\mathrm {f} }\,}}={\frac {\omega _{\text{o}}}{\,\operatorname {\Delta } \omega \,}}\;.

^[2]

$El factor Q$ es directamente proporcional a la selectividad , ya que el factor $Q$ depende inversamente del ancho de banda.

Para un circuito resonante en serie (como se muestra a continuación), el factor $Q$ se puede calcular de la siguiente manera: ^[2]

Q={\frac {X}{\,R\;}}={\frac {1}{\,\omega _{\text{o}}R\,C\,}}={\frac {\,\omega _{\text{o}}L\,}{R}}={\frac {1}{\,R\;}}{\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}={\frac {\,Z_{\text{o}}\,}{R\;}}\;,

^[2]

¿ Dónde está la reactancia de o de en resonancia, y $\,X\,$ $\,L\,$ $\,C\,$ $\,Z_{\text{o}}\equiv {\sqrt {{\frac {L}{\,C\,}}\,}}\;.$

Parámetros escalados

Los parámetros $ζ$ , $B f$ y $Q$ están todos escalados a $ω 0$ . Esto significa que los circuitos que tienen parámetros similares comparten características similares independientemente de si operan o no en la misma banda de frecuencia.

El siguiente artículo ofrece en detalle el análisis del circuito RLC en serie. Otras configuraciones no se describen con tanto detalle, pero se dan las diferencias clave con el caso de la serie. La forma general de las ecuaciones diferenciales dadas en la sección del circuito en serie es aplicable a todos los circuitos de segundo orden y puede usarse para describir el voltaje o la corriente en cualquier elemento de cada circuito.

Circuito en serie

En este circuito, los tres componentes están todos en serie con la fuente de voltaje . La ecuación diferencial gobernante se puede encontrar sustituyendo en la ley de voltaje de Kirchhoff (KVL) la ecuación constitutiva de cada uno de los tres elementos. Desde el KVL,

V_{\mathrm {R} }+V_{\mathrm {L} }+V_{\mathrm {C} }=V(t)\,,

donde $V R$ , $V L$ y $V C$ son los voltajes en $R$ , $L$ y $C$ , respectivamente, y $V (t)$ es el voltaje variable en el tiempo de la fuente.

Sustituyendo y en la ecuación anterior se obtiene: $V_{R}=R\ I(t)\,,$ $\,V_{\mathrm {L} }=L{\frac {\mathrm {d} I(t)}{\mathrm {d} t}}\,$ $\,V_{\mathrm {C} }=V(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau \,$

RI(t)+L{\frac {\,\mathrm {d} I(t)\,}{\mathrm {d} t}}+V(0)+{\frac {1}{\,C\,}}\int _{0}^{t}I(\tau )\,\mathrm {d} \tau =V(t)\;.

Para el caso en el que la fuente es un voltaje invariable, tomar la derivada del tiempo y dividir por $L$ conduce a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {R}{\,L\,}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+{\frac {1}{\,L\,C\,}}I(t)=0\;.

Esto puede ser útil expresarlo de una forma más general:

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+2\alpha {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0\;.

$α$ y $ω 0$ están ambos en unidades de frecuencia angular . $α$ se llama frecuencia neper , o atenuación , y es una medida de qué tan rápido desaparecerá la respuesta transitoria del circuito después de que se haya eliminado el estímulo. Neper aparece en el nombre porque las unidades también pueden considerarse nepers por segundo, siendo neper una unidad logarítmica de atenuación. $ω 0$ es la frecuencia de resonancia angular. ^[3]

Para el caso del circuito RLC en serie estos dos parámetros vienen dados por: ^[4]

{\begin{aligned}\alpha &={\frac {R}{\,2L\,}}\\\omega _{0}&={\frac {1}{\,{\sqrt {L\,C\,}}\,}}\;.\end{aligned}}

Un parámetro útil es el factor de amortiguamiento , $ζ$ , que se define como la relación de estos dos; aunque, a veces, no se utiliza $ζ$ y, en su lugar , se hace referencia a $α como$ factor de amortiguación ; por lo tanto, se requiere una especificación cuidadosa del uso que se le da a ese término. ^[5]

\zeta \equiv {\frac {\alpha }{\,\omega _{0}\,}}\;.

En el caso del circuito RLC en serie, el factor de amortiguación viene dado por

\zeta ={\frac {\,R\,}{2}}{\sqrt {{\frac {C}{\,L\,}}\,}}={\frac {1}{\ 2Q\ }}~.

El valor del factor de amortiguación determina el tipo de transitorio que exhibirá el circuito. ^[6]

Respuesta transitoria

La ecuación diferencial tiene la ecuación característica , ^[7]

s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0\,.

Las raíces de la ecuación en el dominio $s$ son, ^[7]

{\begin{aligned}s_{1}&=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)={\frac {-\omega _{0}}{\ \zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\ }}\ }}\ ,\\s_{2}&=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}=-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1\,}}\right)\;.\end{aligned}}

La solución general de la ecuación diferencial es exponencial en raíz o una superposición lineal de ambas,

I(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t}\;.

Los coeficientes $A 1$ y $A 2$ están determinados por las condiciones de contorno del problema específico que se analiza. Es decir, están establecidos por los valores de las corrientes y voltajes en el circuito al inicio del transitorio y el valor supuesto al que se estabilizarán después de un tiempo infinito. ^[8] La ecuación diferencial del circuito se resuelve de tres formas diferentes dependiendo del valor de $ζ$ . Estos están sobreamortiguados ( $ζ > 1$ ), subamortiguados ( $ζ < 1$ ) y críticamente amortiguados ( $ζ = 1$ ).

Respuesta sobreamortiguada

La respuesta sobreamortiguada ( $ζ > 1$ ) es ^[9]

I(t)=A_{1}e^{-\omega _{0}\left(\zeta +{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}+A_{2}e^{-\omega _{0}\left(\zeta -{\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)t}\;.

La respuesta sobreamortiguada es una caída de la corriente transitoria sin oscilación. ^[10]

Respuesta subamortiguada

La respuesta subamortiguada ( $ζ < 1$ ) es ^[11]

I(t)=B_{1}e^{-\alpha t}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+B_{2}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t)\,.

Al aplicar identidades trigonométricas estándar , las dos funciones trigonométricas se pueden expresar como una sola sinusoide con cambio de fase, ^[12]

I(t)=B_{3}e^{-\alpha t}\sin(\omega _{\mathrm {d} }t+\varphi )\;.

La respuesta subamortiguada es una oscilación decreciente en la frecuencia $ω d$ . La oscilación decae a una velocidad determinada por la atenuación $α$ . La exponencial en $α$ describe la envolvente de la oscilación. $B 1$ y $B 2$ (o $B 3$ y el cambio de fase $φ$ en la segunda forma) son constantes arbitrarias determinadas por condiciones de contorno. La frecuencia $ω d$ viene dada por ^[11]

\omega _{\mathrm {d} }={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}\,}}\;.

Esto se llama frecuencia de resonancia amortiguada o frecuencia natural amortiguada. Es la frecuencia a la que el circuito oscilará naturalmente si no es impulsado por una fuente externa. La frecuencia de resonancia, $ω 0$ , que es la frecuencia a la que el circuito resuena cuando es impulsado por una oscilación externa, a menudo puede denominarse frecuencia de resonancia no amortiguada para distinguirla. ^[13]

Respuesta críticamente amortiguada

La respuesta críticamente amortiguada ( $ζ = 1$ ) es ^[14]

I(t)=D_{1}te^{-\alpha t}+D_{2}e^{-\alpha t}\;.

La respuesta críticamente amortiguada representa la respuesta del circuito que decae en el tiempo más rápido posible sin entrar en oscilación. Esta consideración es importante en los sistemas de control donde se requiere alcanzar el estado deseado lo más rápido posible sin sobrepasarse. $D 1$ y $D 2$ son constantes arbitrarias determinadas por condiciones de contorno. ^[15]

Dominio de Laplace

La serie RLC se puede analizar para determinar el comportamiento en estado de CA tanto transitorio como estable utilizando la transformada de Laplace . ^{[16] Si la fuente de voltaje anterior produce una forma de onda con} $V (s)$ transformada de Laplace (donde $s$ es la frecuencia compleja $s = σ + jω$ ), el KVL se puede aplicar en el dominio de Laplace:

V(s)=I(s)\left(R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\right)\,,

donde $I (s)$ es la corriente transformada de Laplace a través de todos los componentes. Resolviendo para $I (s)$ :

I(s)={\frac {1}{\,R+L\,s+{\frac {1}{\,C\,s\,}}\,}}V(s)\;.

Y reordenando tenemos

I(s)={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}V(s)\;.

admitancia de Laplace

Resolviendo para la admitancia de Laplace $Y (s)$ :

Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+{\frac {R}{\,L\,}}s+{\frac {1}{\,L\,C\,}}\right)\,}}\,.

Simplificando usando los parámetros $α$ y $ω 0$ definidos en la sección anterior, tenemos

Y(s)={\frac {I(s)}{\,V(s)\,}}={\frac {s}{\,L\ \left(s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}\right)\,}}\;.

Polos y ceros

Los ceros de $Y (s)$ son aquellos valores de $s$ donde $Y (s) = 0$ :

s=0\quad {\mbox{and}}\quad |s|\rightarrow \infty \;.

Los polos de $Y (s)$ son aquellos valores de $s$ donde $Y (s) \to \infty$ . Por la fórmula cuadrática , encontramos

s=-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}\,}}\;.

Los polos de $Y (s)$ son idénticos a las raíces $s 1$ y $s 2$ del polinomio característico de la ecuación diferencial de la sección anterior.

solución general

$Para un V (t)$ arbitrario , la solución obtenida por transformada inversa de $I (s)$ es:

En el caso subamortiguado, $ω 0 > α$ :
$I(t)={\frac {1}{\,L\,}}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cos(\omega _{\mathrm {d} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {d} }\ }}\sin(\omega _{\mathrm {d} }\tau )\right]\,d\tau \,,$
En el caso críticamente amortiguado, $ω 0 = α$ :
$\ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\ \left[\ 1-\alpha \tau \ \right]\ \mathrm {d} \tau \ ,$
En el caso sobreamortiguado, $ω 0 < α$ :
$\ I(t)={\frac {1}{\ L\ }}\ \int _{0}^{t}V(t-\tau )e^{-\alpha \tau }\left[\cosh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )-{\frac {\alpha }{\ \omega _{\mathrm {r} }\ }}\sinh(\omega _{\mathrm {r} }\tau )\right]\,d\tau \ ,$

donde $ω r = \sqrt α 2 - ω 02$ , y $cosh$ y $sinh$ son las funciones hiperbólicas habituales .

Estado estacionario sinusoidal

El estado estacionario sinusoidal se representa dejando $s = jω$ , donde $j$ es la unidad imaginaria . Tomando la magnitud de la ecuación anterior con esta sustitución:

{\big |}Y(j\omega ){\big |}={\frac {1}{{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\,\omega C\,}}\right)^{2}}}\,}}\;.

y la corriente en función de $ω$ se puede encontrar a partir de

{\big |}I(j\omega ){\big |}={\big |}Y(j\omega ){\big |}\cdot {\bigl |}V(j\omega ){\bigr |}\;.

Hay un valor máximo de $| Yo (jω) |$ . El valor de $ω$ en este pico es, en este caso particular, igual a la frecuencia de resonancia natural no amortiguada. ^[17] Esto significa que el voltaje máximo a través de la resistencia y, por lo tanto, la máxima disipación de calor, se produce en la frecuencia natural.

\omega _{0}={\frac {1}{\,{\sqrt {L\ C\ }}\,}}\;.

A partir de la respuesta de frecuencia de la corriente, también se puede determinar la respuesta de frecuencia de los voltajes en los distintos elementos del circuito (ver figura). Además, el voltaje máximo a través del capacitor ocurre a una frecuencia

\omega _{C}={\frac {\ {\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}}}\ }{L}}\;,

mientras que el voltaje máximo a través del inductor ocurre en

\omega _{L}={\frac {1}{\ C{\sqrt {{\tfrac {L}{\ C\ }}-{\tfrac {1}{2}}R^{2}\ }}\ }}\;.

Se mantiene: . $\omega _{C}<\omega _{0}<\omega _{L}$

Circuito paralelo

Las propiedades del circuito RLC en paralelo se pueden obtener a partir de la relación de dualidad de los circuitos eléctricos y considerando que el RLC en paralelo es la impedancia dual de un RLC en serie. Teniendo esto en cuenta, queda claro que las ecuaciones diferenciales que describen este circuito son idénticas a la forma general de las que describen un RLC en serie.

Para el circuito en paralelo, la atenuación $α$ viene dada por ^[18]

\alpha ={\frac {1}{\,2\,R\,C\,}}

y el factor de amortiguamiento es en consecuencia

\zeta ={\frac {1}{\,2\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\,~.

Asimismo, los otros parámetros escalados, el ancho de banda fraccionario y $Q$ también son recíprocos entre sí. Esto significa que un circuito de banda ancha y $Q$ bajo en una topología se convertirá en un circuito de banda estrecha y $Q$ alto en la otra topología cuando se construya a partir de componentes con valores idénticos. El ancho de banda fraccionario y $Q$ del circuito paralelo están dados por

{\begin{aligned}B_{\mathrm {f} }&={\frac {1}{\,R\,}}{\sqrt {{\frac {L}{C}}~}}\\Q&=R{\sqrt {{\frac {C}{L}}~}}\,~.\end{aligned}}

Observe que las fórmulas aquí son los recíprocos de las fórmulas para el circuito en serie, dadas anteriormente.

Dominio de la frecuencia

La admitancia compleja de este circuito se obtiene sumando las admitancias de los componentes:

{\begin{aligned}{\frac {1}{\,Z\,}}&={\frac {1}{\,Z_{L}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{C}\,}}+{\frac {1}{\,Z_{R}\,}}\\&={\frac {1}{\,j\,\omega \,L\,}}+j\,\omega \,C+{\frac {1}{\,R\,}}\,.\end{aligned}}

El cambio de una disposición en serie a una disposición en paralelo da como resultado que el circuito tenga un pico de impedancia en resonancia en lugar de un mínimo, por lo que el circuito es un antiresonador.

El gráfico de al lado muestra que hay un mínimo en la respuesta de frecuencia de la corriente a la frecuencia de resonancia cuando el circuito funciona con un voltaje constante. Por otro lado, si es impulsado por una corriente constante, habría un máximo en el voltaje que seguiría la misma curva que la corriente en el circuito en serie. $~\omega _{0}=1/{\sqrt {\,L\,C~}}~$

Otras configuraciones

Una resistencia en serie con el inductor en un circuito LC paralelo como se muestra en la Figura 4 es una topología que se encuentra comúnmente cuando es necesario tener en cuenta la resistencia del devanado de la bobina y su autocapacitancia. Los circuitos LC paralelos se utilizan con frecuencia para el filtrado de paso de banda y la $Q$ se rige en gran medida por esta resistencia. La frecuencia de resonancia de este circuito es ^[19]

\ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-\left({\frac {R}{\ L\ }}\right)^{2}~}}\ .

Ésta es la frecuencia de resonancia del circuito definida como la frecuencia a la que la admitancia tiene parte imaginaria cero. La frecuencia que aparece en la forma generalizada de la ecuación característica (que es la misma para este circuito que antes)

\ s^{2}+2\alpha s+{\omega '_{0}}^{2}=0\

no es la misma frecuencia. En este caso se trata de la frecuencia de resonancia natural no amortiguada : ^[20]

\ \omega '_{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {LC~}}\ }}\ .

La frecuencia $ω max$ , en la que la magnitud de la impedancia es máxima, viene dada por ^[21]

\ \omega _{\mathrm {max} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{L}^{2}\ ~}}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{L}^{2}\ }}~}}~}}\ ,

donde $Q L ≡.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ω′ 0 L/R$ es el factor de calidad de la bobina. Esto se puede aproximar bien mediante ^[21]

\ \omega _{\mathrm {max} }\approx \omega '_{0}\ {\sqrt {1-{\frac {1}{\ 2Q_{L}^{4}\ }}~}}\ .

Además, la magnitud exacta de la impedancia máxima viene dada por ^[21]

\ |Z|_{\mathrm {max} }={\frac {RQ_{L}^{2}}{\ {\sqrt {2Q_{L}{\sqrt {Q_{L}^{2}+2\ }}-\left(2Q_{L}^{2}+1\right)~}}\ }}={\frac {RQ_{L}}{\ {\sqrt {2{\sqrt {1+2/Q_{L}^{2}\ }}-\left(2+1/Q_{L}^{2}\right)~}}\ }}\ .

Para valores de esto se pueden aproximar bien mediante ^[21] $\ Q_{L}\gg 1\ ,$

\ |Z|_{\mathrm {max} }\approx RQ_{L}^{2}\ .

Del mismo modo, se puede utilizar una resistencia en paralelo con el condensador en un circuito LC en serie para representar un condensador con un dieléctrico con pérdidas. Esta configuración se muestra en la Figura 5. La frecuencia de resonancia (frecuencia a la que la impedancia tiene parte imaginaria cero) en este caso viene dada por ^[22]

\ \omega _{0}={\sqrt {{\frac {1}{\ LC\ }}-{\frac {1}{\ (RC)^{2}\ }}\ }}\ ,

mientras que la frecuencia $ω m$ a la que la magnitud de la impedancia es mínima está dada por

\ \omega _{\mathrm {m} }=\omega '_{0}\ {\sqrt {-{\frac {1}{\ Q_{C}^{2}\ }}+{\sqrt {1+{\frac {2}{\ Q_{C}^{2}\ }}\ }}\ }}\ ,

donde $Q C = ω' 0 RC$ .

Historia

La primera evidencia de que un condensador podía producir oscilaciones eléctricas fue descubierta en 1826 por el científico francés Felix Savary . ^[23]^[24] Descubrió que cuando se descargaba una jarra de Leyden a través de un alambre enrollado alrededor de una aguja de hierro, a veces la aguja quedaba magnetizada en una dirección y otras veces en la dirección opuesta. Dedujo correctamente que esto era causado por una corriente de descarga oscilante amortiguada en el cable, que invertía la magnetización de la aguja hacia adelante y hacia atrás hasta que era demasiado pequeña para tener efecto, dejando la aguja magnetizada en una dirección aleatoria.

El físico estadounidense Joseph Henry repitió el experimento de Savary en 1842 y llegó a la misma conclusión, aparentemente de forma independiente. ^[25]^[26] El científico británico William Thomson (Lord Kelvin) demostró matemáticamente en 1853 que la descarga de una jarra de Leyden a través de una inductancia debería ser oscilatoria y derivó su frecuencia de resonancia. ^[23]^[25]^[26]

El investigador de radio británico Oliver Lodge , al descargar una gran batería de frascos de Leyden a través de un cable largo, creó un circuito sintonizado con su frecuencia resonante en el rango de audio, que producía un tono musical a partir de la chispa cuando se descargaba. ^[25] En 1857, el físico alemán Berend Wilhelm Feddersen fotografió la chispa producida por un circuito resonante de jarra de Leyden en un espejo giratorio, proporcionando evidencia visible de las oscilaciones. ^[23]^[25]^[26] En 1868, el físico escocés James Clerk Maxwell calculó el efecto de aplicar una corriente alterna a un circuito con inductancia y capacitancia, demostrando que la respuesta es máxima en la frecuencia de resonancia. ^[23]

El primer ejemplo de una curva de resonancia eléctrica fue publicado en 1887 por el físico alemán Heinrich Hertz en su artículo pionero sobre el descubrimiento de las ondas de radio, mostrando la longitud de la chispa que se puede obtener de sus detectores resonadores LC de chispa en función de la frecuencia. ^[23]

Una de las primeras demostraciones de resonancia entre circuitos sintonizados fue el experimento de los "vasos sintónicos" de Lodge alrededor de 1889 ^[23]^[25] . Colocó dos circuitos resonantes uno al lado del otro, cada uno de los cuales consistía en un vaso de Leyden conectado a una bobina ajustable de una vuelta con una chispa. Cuando se aplicó un alto voltaje de una bobina de inducción a un circuito sintonizado, creando chispas y, por tanto, corrientes oscilantes, las chispas se excitaron en el otro circuito sintonizado sólo cuando los inductores se ajustaron a la resonancia. Lodge y algunos científicos ingleses prefirieron el término " sinotonía " para este efecto, pero el término " resonancia " finalmente se mantuvo. ^[23]

El primer uso práctico de los circuitos RLC fue en la década de 1890 en transmisores de radio de chispa para permitir que el receptor se sintonizara con el transmisor. La primera patente para un sistema de radio que permitía la sintonización fue presentada por Lodge en 1897, aunque los primeros sistemas prácticos fueron inventados en 1900 por el pionero de la radio angloitaliana Guglielmo Marconi . ^[23]

Aplicaciones

Circuitos sintonizados variables

Un uso muy frecuente de estos circuitos es en los circuitos de sintonización de radios analógicas. La sintonización ajustable se logra comúnmente con un capacitor variable de placas paralelas que permite cambiar el valor de $C$ y sintonizar estaciones en diferentes frecuencias. Para la etapa IF de la radio donde la sintonización está preestablecida de fábrica, la solución más habitual es un núcleo ajustable en el inductor para ajustar $L.$ En este diseño, el núcleo (hecho de un material de alta permeabilidad que tiene el efecto de aumentar la inductancia) está roscado de modo que pueda atornillarse más hacia adentro o hacia afuera del devanado del inductor según sea necesario.

Filtros

En la aplicación de filtrado, la resistencia se convierte en la carga en la que trabaja el filtro. El valor del factor de amortiguación se elige en función del ancho de banda deseado del filtro. Para un ancho de banda más amplio, se requiere un valor mayor del factor de amortiguación (y viceversa). Los tres componentes dan al diseñador tres grados de libertad. Se requieren dos de estos para configurar el ancho de banda y la frecuencia de resonancia. Al diseñador todavía le queda uno que puede usarse para escalar $R$ , $L$ y $C$ a valores prácticos convenientes. Alternativamente, $R$ puede estar predeterminado por el circuito externo que utilizará el último grado de libertad.

Filtro de paso bajo

Se puede utilizar un circuito RLC como filtro de paso bajo. La configuración del circuito se muestra en la Figura 6. La frecuencia de esquina, es decir, la frecuencia del punto de 3 dB, está dada por

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.

Este es también el ancho de banda del filtro. El factor de amortiguación viene dado por ^[27]

\zeta ={\frac {1}{2R_{L}}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}\,.

Filtro de paso alto

En la Figura 7 se muestra un filtro de paso alto. La frecuencia de esquina es la misma que la del filtro de paso bajo:

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,.

El filtro tiene una banda de tope de este ancho. ^[28]

Filtro de paso de banda

Se puede formar un filtro de paso de banda con un circuito RLC colocando un circuito LC en serie en serie con la resistencia de carga o colocando un circuito LC paralelo en paralelo con la resistencia de carga. Estas disposiciones se muestran en las Figuras 8 y 9 respectivamente. La frecuencia central está dada por

\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\,,

y el ancho de banda para el circuito en serie es ^[29]

\Delta \omega ={\frac {R_{L}}{L}}\,.

La versión en derivación del circuito está destinada a ser impulsada por una fuente de alta impedancia, es decir, una fuente de corriente constante. En esas condiciones el ancho de banda es ^[29]

\Delta \omega ={\frac {1}{CR_{L}}}\,.

Filtro de parada de banda

La Figura 10 muestra un filtro eliminador de banda formado por un circuito LC en serie en derivación a través de la carga. La figura 11 es un filtro eliminador de banda formado por un circuito LC paralelo en serie con la carga. El primer caso requiere una fuente de alta impedancia para que la corriente se desvíe hacia el resonador cuando se vuelve de baja impedancia en resonancia. El segundo caso requiere una fuente de baja impedancia para que el voltaje caiga a través del antiresonador cuando se vuelve de alta impedancia en resonancia. ^[30]

Osciladores

Para aplicaciones en circuitos osciladores, generalmente es deseable hacer que la atenuación (o equivalentemente, el factor de amortiguación) sea lo más pequeña posible. En la práctica, este objetivo requiere hacer que la resistencia del circuito $R$ sea lo más pequeña posible físicamente para un circuito en serie o, alternativamente, aumentar $R$ al máximo posible para un circuito en paralelo. En cualquier caso, el circuito RLC se convierte en una buena aproximación a un circuito LC ideal . Sin embargo, para circuitos de muy baja atenuación ( factor $Q$ alto ), cuestiones como las pérdidas dieléctricas de bobinas y condensadores pueden volverse importantes.

En un circuito oscilador

\alpha \ll \omega _{0}\,,

o equivalente

\zeta \ll 1\,.

Como resultado,

\omega _{\mathrm {d} }\approx \omega _{0}\,.

Multiplicador de voltaje

En un circuito RLC en serie en resonancia, la corriente está limitada únicamente por la resistencia del circuito.

I={\frac {V}{R}}\,.

Si $R$ es pequeño y consiste únicamente en la resistencia del devanado del inductor, entonces esta corriente será grande. Caerá un voltaje a través del inductor de

V_{L}={\frac {V}{R}}\omega _{0}L\,.

También se verá un voltaje de igual magnitud a través del capacitor pero en antifase con respecto al inductor. Si $R$ puede hacerse lo suficientemente pequeño, estos voltajes pueden ser varias veces el voltaje de entrada. La relación de voltaje es, de hecho, la $Q$ del circuito,

{\frac {V_{L}}{V}}=Q\,.

Se observa un efecto similar con las corrientes en el circuito paralelo. Aunque el circuito parece tener una alta impedancia para la fuente externa, hay una gran corriente circulando en el bucle interno del inductor y condensador paralelos.

Circuito de descarga de impulsos

Se puede utilizar un circuito RLC en serie sobreamortiguado como circuito de descarga de impulsos. A menudo resulta útil conocer los valores de los componentes que podrían usarse para producir una forma de onda. Esto se describe en la forma

I(t)=I_{0}\left(\,e^{-\alpha \,t}-e^{-\beta \,t}\right)\,.

Un circuito de este tipo podría consistir en un condensador de almacenamiento de energía, una carga en forma de resistencia, alguna inductancia del circuito y un interruptor, todo en serie. Las condiciones iniciales son que el capacitor tenga un voltaje $V 0$ y que no fluya corriente por el inductor. Si se conoce la inductancia $L , entonces los parámetros restantes vienen dados por lo siguiente: capacitancia:$

C={\frac {1}{~L\,\alpha \,\beta \,~}}\,,

resistencia (total del circuito y carga):

R=L\,(\,\alpha +\beta \,)\,,

voltaje terminal inicial del capacitor:

V_{0}=-I_{0}L\,\alpha \,\beta \,\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.

Reordenando para el caso donde se conoce $R$ – capacitancia:

C={\frac {~\alpha +\beta ~}{R\,\alpha \,\beta }}\,,

Inductancia (total del circuito y carga):

L={\frac {R}{\,\alpha +\beta ~}}\,,

voltaje terminal inicial del capacitor:

V_{0}={\frac {\,-I_{0}R\,\alpha \,\beta ~}{\alpha +\beta }}\left({\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{\alpha }}\right)\,.

Ver también

Notas a pie de página

^ La respuesta del RLC al voltaje impulsor se produce a la frecuencia para una oscilación sin pérdidas, aunque pueda estar presente una resistencia a la pérdida $R.$ La resonancia impulsada no ocurre en la frecuencia de oscilación libre amortiguada, con una fórmula más complicada (ver más abajo) que produce un valor reducido debido a la amortiguación ( $R$ ) que solo se aplica a las oscilaciones libres (sin señal de conducción). $\ {\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\ }}\ }}\ ,$

Referencias

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^ Esta sección se basa en el ejemplo 4.2.13 de Debnath, Lokenath; Bhatta, Dambaru (2007). Transformaciones integrales y sus aplicaciones (2ª ed.). Chapman y Hall/CRC. págs. 198-202. ISBN 978-1-58488-575-7.(Algunas notaciones se han cambiado para adaptarse al resto de este artículo).
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Bibliografía

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Káiser, Kenneth L. (2004). Manual de compatibilidad electromagnética . Prensa CRC. ISBN 0-8493-2087-9.
Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). Circuitos eléctricos . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-198925-2.