Antiresonancia

En la física de osciladores acoplados , la antirresonancia , por analogía con la resonancia , es un mínimo pronunciado en la amplitud de un oscilador a una frecuencia particular , acompañado de un cambio grande y abrupto en su fase de oscilación . Tales frecuencias se conocen como frecuencias antirresonantes del sistema , y en estas frecuencias la amplitud de oscilación puede caer casi a cero. Las antirresonancias son causadas por interferencias destructivas , por ejemplo entre una fuerza impulsora externa y la interacción con otro oscilador.

Las antirresonancias pueden producirse en todo tipo de sistemas osciladores acoplados, incluidos los sistemas mecánicos , acústicos , electromagnéticos y cuánticos . Tienen aplicaciones importantes en la caracterización de sistemas acoplados complejos.

El término antiresonancia se utiliza en ingeniería eléctrica para una forma de resonancia en un solo oscilador con efectos similares.

Antirresonancia en ingeniería eléctrica

En ingeniería eléctrica , la antiresonancia es la condición en la cual la reactancia desaparece pero la impedancia resistiva de un circuito eléctrico sigue siendo muy alta, acercándose al infinito.

En un circuito eléctrico formado por un condensador y un inductor en paralelo , se produce antirresonancia cuando la tensión de línea de corriente alterna y la corriente resultante están en fase . ^[1] En estas condiciones, la corriente de línea es muy pequeña debido a la alta impedancia eléctrica del circuito en paralelo en antirresonancia. Las corrientes de rama son casi iguales en magnitud y opuestas en fase. ^[2]

Antirresonancia en osciladores acoplados

El sistema más simple en el que surge la antiresonancia es un sistema de osciladores armónicos acoplados , por ejemplo, péndulos o circuitos RLC .

Consideremos dos osciladores armónicos acoplados entre sí con una fuerza $g$ y con un oscilador impulsado por una fuerza externa oscilante $F.$ La situación se describe mediante las ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas

{\begin{aligned}{\ddot {x}}_{1}+2\gamma _{1}{\dot {x}}_{1}-2g\omega _{1}x_{2}+\omega _{1}^{2}x_{1}&=2F\cos \omega t\\{\ddot {x}}_{2}+2\gamma _{2}{\dot {x}}_{2}-2g\omega _{2}x_{1}+\omega _{2}^{2}x_{2}&=0\end{aligned}}

donde $ω i$ representa las frecuencias de resonancia de los dos osciladores y $γ i$ sus tasas de amortiguamiento . Cambiando las variables a parámetros complejos :

{\begin{aligned}\alpha _{1}&=\omega _{1}x_{1}+i{\frac {p_{1}}{m_{1}}}\\\alpha _{2}&=\omega _{2}x_{2}+i{\frac {p_{2}}{m_{1}}}\end{aligned}}

nos permite escribirlas como ecuaciones de primer orden:

{\begin{aligned}{\dot {\alpha }}_{1}&=i\omega _{1}\alpha _{1}-\gamma _{1}(\alpha _{1}-\alpha _{1}^{*})-ig{\tfrac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}(\alpha _{2}+\alpha _{2}^{*})+iF(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t})\\{\dot {\alpha }}_{2}&=i\omega _{2}\alpha _{2}-\gamma _{2}(\alpha _{2}-\alpha _{2}^{*})-ig{\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}(\alpha _{1}+\alpha _{1}^{*})\end{alineado}}

Nos transformamos en un marco que gira a la frecuencia de conducción.

\alpha _{i}\rightarrow \alpha _{i}e^{-i\omega t}

flexible

{\begin{aligned}{\dot {\alpha }}_{1}&=i\Delta _{1}\alpha _{1}-\gamma _{1}(\alpha _{1}-\alpha _{1}^{*}e^{2i\omega t})-ig{\tfrac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}(\alpha _{2}+\alpha _{2}^{*}e^{2i\omega t})+iF(1+e^{2i\omega t})\\{\dot {\alpha }}_{2}&=i\Delta _{2}\alpha _{2}-\gamma _{2}(\alpha _{2}-\alpha _{2}^{*}e^{2i\omega t})-ig{\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}(\alpha _{1}+\alpha _{1}^{*}e^{2i\omega t})\end{aligned}}

donde hemos introducido las desafinaciones $Δ i = ω - ω i$ entre las frecuencias de excitación y de resonancia de los osciladores. Finalmente, realizamos una aproximación de onda rotatoria , despreciando los términos rápidos contrarrotativos proporcionales a $e 2 iωt$ , que promedian cero en las escalas de tiempo que nos interesan (esta aproximación supone que $ω + ω i ≫ ω - ω i$ , lo cual es razonable para rangos de frecuencia pequeños alrededor de las resonancias). De este modo obtenemos:

{\begin{aligned}{\dot {\alpha }}_{1}&=i(\Delta _{1}+i\gamma _{1})\alpha _{1}-ig{\tfrac {\omega _{1}}{\omega _{2}}}\alpha _{2}+iF\\{\dot {\alpha }}_{2}&=i(\Delta _{2}+i\gamma _{2})\alpha _{2}-ig{\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\alpha _{1}\end{aligned}}

Sin amortiguamiento, conducción ni acoplamiento, las soluciones de estas ecuaciones son:

\alpha _{i}(t)=\alpha _{i}(0)e^{i\Delta t}

que representan una rotación en el plano complejo $α con$ frecuencia angular $Δ$ .

La solución de estado estable se puede encontrar estableciendo , lo que da: ${\dot {\alpha }}_{1}={\dot {\alpha }}_{2}=0$

{\begin{aligned}\alpha _{1,ss}&={\frac {-F(\Delta _{2}+i\gamma _{2})}{(\Delta _{1}+i\gamma _{1})(\Delta _{2}+i\gamma _{2})-g^{2}}}\\\alpha _{2,ss}&={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}{\dfrac {-Fg}{(\Delta _{1}+i\gamma _{1})(\Delta _{2}+i\gamma _{2})-g^{2}}}\end{aligned}}

Al examinar estas soluciones de estado estable como una función de la frecuencia de excitación, es evidente que ambos osciladores muestran resonancias (picos de amplitud acompañados de cambios de fase positivos) en las dos frecuencias de modo normal . Además, el oscilador excitado muestra una caída pronunciada en amplitud entre los modos normales que va acompañada de un cambio de fase negativo. Esta es la antirresonancia. Nótese que no hay antirresonancia en el espectro del oscilador no excitado ; aunque su amplitud tiene un mínimo entre los modos normales, no hay una caída pronunciada ni un cambio de fase negativo.

La interpretación como interferencia destructiva

La amplitud de oscilación reducida en una antiresonancia puede considerarse debida a una interferencia destructiva o a la cancelación de fuerzas que actúan sobre el oscilador.

En el ejemplo anterior, en la frecuencia de antiresonancia, la fuerza impulsora externa $F$ que actúa sobre el oscilador 1 cancela la fuerza que actúa a través del acoplamiento al oscilador 2, lo que hace que el oscilador 1 permanezca casi estacionario.

Sistemas acoplados complicados

La función de respuesta de frecuencia (FRF) de cualquier sistema dinámico lineal compuesto por muchos componentes acoplados mostrará en general un comportamiento distintivo de resonancia-antirresonancia cuando se activa. ^[3]

Como regla general, se puede afirmar que a medida que aumenta la distancia entre el componente excitado y el componente medido, disminuye el número de antirresonancias en la FRF. ^[4] Por ejemplo, en la situación de dos osciladores anterior, la FRF del oscilador no excitado no mostró antirresonancia. Las resonancias y antirresonancias solo se alternan continuamente en la FRF del propio componente excitado.

Aplicaciones

Un resultado importante de la teoría de las antirresonancias es que pueden interpretarse como las resonancias del sistema fijas en el punto de excitación. ^[4] Esto se puede ver en la animación del péndulo anterior: la situación antirresonante en estado estable es la misma que si el péndulo izquierdo estuviera fijo y no pudiera oscilar. Un corolario importante de este resultado es que las antirresonancias de un sistema son independientes de las propiedades del oscilador activado; es decir, no cambian si se modifican la frecuencia de resonancia o el coeficiente de amortiguamiento del oscilador activado.

Este resultado hace que las antirresonancias sean útiles para caracterizar sistemas acoplados complejos que no se pueden separar fácilmente en sus componentes constituyentes. Las frecuencias de resonancia del sistema dependen de las propiedades de todos los componentes y sus acoplamientos, y son independientes de cuál se activa. Las antirresonancias, por otro lado, dependen de todo excepto del componente que se activa, por lo que brindan información sobre cómo afecta al sistema total. Al activar cada componente por turno, se puede obtener información sobre todos los subsistemas individuales, a pesar de los acoplamientos entre ellos. Esta técnica tiene aplicaciones en ingeniería mecánica , análisis estructural ^[5] y el diseño de circuitos cuánticos integrados ^[6] .

En ingeniería eléctrica, la antiresonancia se utiliza en trampas de ondas , que a veces se insertan en serie con antenas de receptores de radio para bloquear el flujo de corriente alterna en la frecuencia de una estación interferente, permitiendo al mismo tiempo el paso de otras frecuencias. ^[7]^[8]

En sistemas nanomecánicos, los espectros de banda lateral de un modo no lineal activado con su frecuencia propia modulada a una frecuencia baja (<1 kHz) muestran formas de línea de antirresonancia prominentes en los espectros de potencia, que se pueden controlar a través del estado de vibración. La frecuencia de antirresonancia se puede utilizar para caracterizar la fluctuación térmica y el parámetro de compresión del sistema no lineal. ^[9]

Véase también

Referencias

^ Kinsler, Lawrence E.; et al. (1999). Fundamentos de acústica (4.ª edición, hrdbk). Wiley. pág. 46. ISBN 0-471-84789-5.
^ Balanis, Constantine A. (2005). Teoría de antenas: análisis y diseño (3.ª ed. hrdbk). Wiley Interscience. pág. 195. ISBN 0-471-66782-X.
^ Ewins, DJ (1984). Pruebas modales: teoría y práctica . Nueva York: Wiley.
^ ab Wahl, F.; Schmidt, G.; Forrai, L. (1999). "Sobre la importancia de las frecuencias de antirresonancia en el análisis estructural experimental". Journal of Sound and Vibration . 219 (3): 379. Bibcode :1999JSV...219..379W. doi :10.1006/jsvi.1998.1831.
^ Sjövall, P.; Abrahamsson, T. (2008). "Identificación de sistemas de subestructura a partir de datos de pruebas de sistemas acoplados". Sistemas mecánicos y procesamiento de señales . 22 (1): 15. Bibcode :2008MSSP...22...15S. doi :10.1016/j.ymssp.2007.06.003.
^ Sames, C.; Chibani, H.; Hamsen, C.; Altin, PA; Wilk, T.; Rempe, G. (2014). "Desplazamiento de fase antirresonancia en QED de cavidad fuertemente acoplada". Physical Review Letters . 112 (4): 043601. arXiv : 1309.2228 . Código Bibliográfico :2014PhRvL.112d3601S. doi :10.1103/PhysRevLett.112.043601. PMID 24580448. S2CID 30259173.
^ Pozar, David M. (2004). Ingeniería de microondas (edición de tapa dura). Wiley. pág. 275. ISBN 0-471-44878-8.
^ Sayre, Cotter W. (2008). Complete Wireless Design (2.ª edición de tapa dura). McGraw-Hill Professional. pág. 4. ISBN 978-0-07-154452-8.
^ Yang, Fan; Fu, Mengqi; Bosnjak, Bojan; Blick, Robert H.; Jiang, Yuxuan; Scheer, Elke (2021). "Efectos de compresión y banda lateral modulados mecánicamente de resonadores de membrana". Physical Review Letters . 127 (18) (publicado el 26 de octubre de 2021): 184301. arXiv : 2107.10355 . Código Bibliográfico :2021PhRvL.127r4301Y. doi :10.1103/PhysRevLett.127.184301. PMID 34767395. S2CID 236171156.