circuito RC

Circuito eléctrico compuesto por resistencias y condensadores.

Un circuito resistencia-condensador ( circuito RC ), o filtro RC o red RC , es un circuito eléctrico compuesto por resistencias y condensadores . Puede ser impulsado por una fuente de voltaje o corriente y estas producirán respuestas diferentes. Un circuito RC de primer orden se compone de una resistencia y un condensador y es el tipo más simple de circuito RC.

Los circuitos RC se pueden utilizar para filtrar una señal bloqueando ciertas frecuencias y pasando otras. Los dos filtros RC más comunes son los filtros de paso alto y los filtros de paso bajo ; Los filtros de paso de banda y los filtros de eliminación de banda generalmente requieren filtros RLC , aunque se pueden fabricar filtros toscos con filtros RC.

Introducción

Hay tres componentes básicos de un circuito analógico pasivo lineal concentrado : la resistencia (R), el condensador (C) y el inductor (L). Estos se pueden combinar en el circuito RC, el circuito RL , el circuito LC y el circuito RLC , indicando las siglas qué componentes se utilizan. Estos circuitos, entre ellos, exhiben una gran cantidad de tipos de comportamiento importantes que son fundamentales para gran parte de la electrónica analógica . En particular, son capaces de actuar como filtros pasivos . Este artículo considera el circuito RC, tanto en serie como en paralelo , como se muestra en los diagramas siguientes.

respuesta natural

circuito RC

El circuito RC más simple consta de una resistencia y un condensador cargado conectados entre sí en un solo bucle, sin una fuente de voltaje externa. Una vez cerrado el circuito, el condensador comienza a descargar su energía almacenada a través de la resistencia. El voltaje a través del capacitor, que depende del tiempo, se puede encontrar usando la ley de corrientes de Kirchhoff . La corriente a través de la resistencia debe ser igual en magnitud (pero de signo opuesto) a la derivada del tiempo de la carga acumulada en el capacitor. Esto da como resultado la ecuación diferencial lineal.

${\displaystyle C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0\,,}$

donde C es la capacitancia del capacitor.

Al resolver esta ecuación para V se obtiene la fórmula de decaimiento exponencial :

${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}\,,}$

donde V ₀ es el voltaje del capacitor en el momento t = 0 .

El tiempo requerido para que el voltaje caiga aV ₀/mise llama constante de tiempo RC y viene dada por, ^[1]

${\displaystyle \tau =RC\,.}$

En esta fórmula, τ se mide en segundos, R en ohmios y C en faradios.

Impedancia compleja

La impedancia compleja , Z _C (en ohmios ) de un capacitor con capacitancia C (en faradios ) es

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{sC}}}$

La frecuencia compleja s es, en general, un número complejo ,

${\displaystyle s=\sigma +j\omega \,,}$

dónde

• j representa la unidad imaginaria : j ² = −1 ,
• σ es la constante de caída exponencial (en nepers por segundo), y
• ω es la frecuencia angular sinusoidal (en radianes por segundo ).

Estado estacionario sinusoidal

El estado estacionario sinusoidal es un caso especial en el que el voltaje de entrada consiste en una sinusoide pura (sin caída exponencial). Como resultado, la impedancia se vuelve ${\displaystyle \sigma =0}$

${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}=-{\frac {j}{\omega C}}\,.}$

Circuito en serie

Circuito RC en serie

Al ver el circuito como un divisor de voltaje , el voltaje a través del capacitor es:

${\displaystyle V_{C}(s)={\frac {\frac {1}{Cs}}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {1}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)}$

y el voltaje a través de la resistencia es:

${\displaystyle V_{R}(s)={\frac {R}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

Funciones de transferencia

La función de transferencia del voltaje de entrada al voltaje a través del capacitor es

${\displaystyle H_{C}(s)={\frac {V_{C}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{1+RCs}}\,.}$

De manera similar, la función de transferencia de la entrada al voltaje a través de la resistencia es

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {RCs}{1+RCs}}\,.}$

Polos y ceros

Ambas funciones de transferencia tienen un solo polo ubicado en

${\displaystyle s=-{\frac {1}{RC}}\,.}$

Además, la función de transferencia del voltaje a través de la resistencia tiene un cero ubicado en el origen .

Ganancia y fase

Funciones de transferencia de amplitud y fase para un circuito RC en serie

La magnitud de las ganancias entre los dos componentes es

${\displaystyle G_{C}={\big |}H_{C}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}$

y

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}\,,}$

y los ángulos de fase son

${\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)}$

y

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)\,.}$

Estas expresiones juntas pueden sustituirse en la expresión habitual del fasor que representa la salida:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}&=G_{C}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{C}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\,.\end{aligned}}}$

Actual

La corriente en el circuito es la misma en todas partes ya que el circuito está en serie:

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}={\frac {Cs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

Respuesta impulsiva

La respuesta al impulso de un circuito RC en serie.

La respuesta al impulso para cada voltaje es la transformada de Laplace inversa de la función de transferencia correspondiente. Representa la respuesta del circuito a un voltaje de entrada que consta de un impulso o función delta de Dirac .

La respuesta al impulso para el voltaje del capacitor es

${\displaystyle h_{C}(t)={\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

donde u ( t ) es la función escalón de Heaviside y τ = RC es la constante de tiempo .

De manera similar, la respuesta al impulso para el voltaje de la resistencia es

${\displaystyle h_{R}(t)=\delta (t)-{\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

donde δ ( t ) es la función delta de Dirac

Consideraciones en el dominio de la frecuencia

Estas son expresiones en el dominio de la frecuencia . Su análisis mostrará qué frecuencias pasan y rechazan los circuitos (o filtros). Este análisis se basa en una consideración de lo que sucede con estas ganancias cuando la frecuencia se vuelve muy grande y muy pequeña.

Como ω → ∞ :

${\displaystyle G_{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

Como ω → 0 :

${\displaystyle G_{C}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

Esto muestra que, si la salida pasa a través del capacitor, las altas frecuencias se atenúan (cortocircuitan a tierra) y las bajas frecuencias pasan. Así, el circuito se comporta como un filtro de paso bajo . Sin embargo, si la salida pasa a través de la resistencia, se pasan las frecuencias altas y se atenúan las frecuencias bajas (ya que el capacitor bloquea la señal cuando su frecuencia se acerca a 0). En esta configuración, el circuito se comporta como un filtro de paso alto .

El rango de frecuencias por el que pasa el filtro se llama ancho de banda . El punto en el que el filtro atenúa la señal a la mitad de su potencia sin filtrar se denomina frecuencia de corte . Esto requiere que la ganancia del circuito se reduzca a

${\displaystyle G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$.

Resolver la ecuación anterior produce

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{RC}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2\pi RC}}}$

que es la frecuencia que el filtro atenuará a la mitad de su potencia original.

Claramente, las fases también dependen de la frecuencia, aunque este efecto generalmente es menos interesante que las variaciones de ganancia.

Como ω → 0 :

${\displaystyle \phi _{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

Como ω → ∞ :

${\displaystyle \phi _{C}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

Entonces, en CC (0  Hz ), el voltaje del capacitor está en fase con el voltaje de la señal, mientras que el voltaje de la resistencia lo adelanta 90 °. A medida que aumenta la frecuencia, el voltaje del capacitor llega a tener un retraso de 90° con respecto a la señal y el voltaje de la resistencia llega a estar en fase con la señal.

Consideraciones en el dominio del tiempo

Esta sección se basa en el conocimiento de e , la constante logarítmica natural .

_{La forma más sencilla de derivar el comportamiento en} el dominio del tiempo es utilizar las transformadas de Laplace de las expresiones para V _C y VR dadas anteriormente. Esto transforma efectivamente jω → s . Suponiendo una entrada escalonada (es decir, V _in = 0 antes de t = 0 y luego V _in = V después):

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{C}(s)&=V\cdot {\frac {1}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {sRC}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

Respuesta escalonada del voltaje del capacitor.

Respuesta escalonada de tensión de resistencia.

Las expansiones de fracciones parciales y la transformada inversa de Laplace dan como resultado:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}(t)&=V\left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\\V_{R}(t)&=Ve^{-{\frac {t}{RC}}}\,.\end{aligned}}}$

Estas ecuaciones sirven para calcular el voltaje a través del capacitor y la resistencia respectivamente mientras el capacitor se está cargando ; para descargar, las ecuaciones son viceversa. Estas ecuaciones se pueden reescribir en términos de carga y corriente usando las relaciones C =q/Vy V = IR (ver ley de Ohm ).

Por lo tanto, el voltaje a través del capacitor tiende a V a medida que pasa el tiempo, mientras que el voltaje a través de la resistencia tiende a 0, como se muestra en las figuras. Esto está en consonancia con el punto intuitivo de que el condensador se cargará desde el voltaje de suministro a medida que pasa el tiempo y eventualmente estará completamente cargado.

Estas ecuaciones muestran que un circuito RC en serie tiene una constante de tiempo , generalmente denotada como τ = RC , siendo el tiempo que le toma al voltaje a través del componente aumentar (a través del capacitor) o caer (a través de la resistencia) hasta dentro de1/mide su valor final. Es decir, τ es el tiempo que tarda V _C en llegar a V (1 −1/mi) y V _R para llegar a V (1/mi) .

La tasa de cambio es una fracción 1 −1/mipor τ . Por lo tanto, al pasar de t = Nτ a t = ( N + 1) τ , el voltaje se habrá desplazado aproximadamente un 63,2% del camino desde su nivel en t = Nτ hacia su valor final. Por lo tanto, el condensador se cargará aproximadamente al 63,2% después de τ , y esencialmente se cargará completamente (99,3%) después de aproximadamente 5 τ . Cuando la fuente de voltaje se reemplaza con un cortocircuito, con el capacitor completamente cargado, el voltaje a través del capacitor cae exponencialmente con t desde V hacia 0. El capacitor se descargará aproximadamente al 36,8% después de τ , y esencialmente se descargará completamente (0,7% ) después de aproximadamente 5 τ . Tenga en cuenta que la corriente, I , en el circuito se comporta como el voltaje a través de la resistencia, a través de la Ley de Ohm .

Estos resultados también se pueden derivar resolviendo las ecuaciones diferenciales que describen el circuito:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {V_{\mathrm {in} }-V_{C}}{R}}&=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{C}\,.\end{aligned}}}$

La primera ecuación se resuelve usando un factor integrante y la segunda se sigue fácilmente; las soluciones son exactamente las mismas que las obtenidas mediante transformadas de Laplace.

Integrador

Considere la salida a través del capacitor a alta frecuencia, es decir

${\displaystyle \omega \gg {\frac {1}{RC}}\,.}$

Esto significa que el condensador no tiene tiempo suficiente para cargarse y por eso su voltaje es muy pequeño. Por tanto, el voltaje de entrada es aproximadamente igual al voltaje a través de la resistencia. Para ver esto, considere la expresión dada arriba: ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}}\,,}$

pero tenga en cuenta que la condición de frecuencia descrita significa que

${\displaystyle \omega C\gg {\frac {1}{R}}\,,}$

entonces

${\displaystyle I\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}}$

que es simplemente la ley de Ohm .

Ahora,

${\displaystyle V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I\,dt\,,}$

entonces

${\displaystyle V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{\mathrm {in} }\,dt\,,}$

que es un integrador a través del capacitor .

diferenciador

Considere la salida a través de la resistencia a baja frecuencia, es decir,

${\displaystyle \omega \ll {\frac {1}{RC}}\,.}$

Esto significa que el condensador tiene tiempo de cargarse hasta que su voltaje sea casi igual al voltaje de la fuente. Considerando de nuevo la expresión para I , cuando

${\displaystyle R\ll {\frac {1}{\omega C}}\,,}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{\frac {1}{j\omega C}}}\\V_{\mathrm {in} }&\approx {\frac {I}{j\omega C}}=V_{C}\,.\end{aligned}}}$

Ahora,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{R}&=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R\\V_{R}&\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}\,,\end{aligned}}}$

que es un diferenciador a través de la resistencia .

Se puede lograr una integración y diferenciación más precisa colocando resistencias y condensadores según corresponda en el bucle de entrada y retroalimentación de los amplificadores operacionales (ver integrador de amplificador operacional y diferenciador de amplificador operacional ).

Circuito en serie PWM RC

Circuito paralelo

Circuito RC paralelo

El circuito RC en paralelo es generalmente de menos interés que el circuito en serie. Esto se debe en gran medida a que el voltaje de salida V _out es igual al voltaje de entrada V _in ; como resultado, este circuito no actúa como un filtro en la señal de entrada a menos que sea alimentado por una fuente de corriente .

Con impedancias complejas:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=j\omega CV_{\mathrm {in} }\,.\end{aligned}}}$

Esto muestra que la corriente del capacitor está desfasada 90° con la corriente de la resistencia (y la fuente). Alternativamente, se pueden utilizar las ecuaciones diferenciales gobernantes:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=C{\frac {dV_{\mathrm {in} }}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

Cuando se alimenta de una fuente de corriente, la función de transferencia de un circuito RC paralelo es:

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {out} }}{I_{\mathrm {in} }}}={\frac {R}{1+sRC}}\,.}$

Síntesis

A veces es necesario sintetizar un circuito RC a partir de una función racional dada en s . Para que la síntesis sea posible en elementos pasivos, la función debe ser una función real positiva . Para sintetizar como un circuito RC, todas las frecuencias críticas ( polos y ceros ) deben estar en el eje real negativo y alternar entre polos y ceros con un número igual de cada uno. Además, la frecuencia crítica más cercana al origen debe ser un polo, asumiendo que la función racional representa una impedancia en lugar de una admitancia.

La síntesis se puede lograr con una modificación de la síntesis de Foster o la síntesis de Cauer utilizadas para sintetizar circuitos LC . En el caso de la síntesis de Cauer, se obtendrá una red en escalera de resistencias y condensadores. ^[2]

Ver también

• Constante de tiempo RC
• circuito RL
• circuito LC
• circuito RLC
• Red eléctrica
• Lista de temas de electrónica.
• Respuesta al paso

Referencias

1. Horowitz y Hill, pag. 1.13
2. Bakshi y Bakshi, págs. 3-30–3-37

Bibliografía

• Bakshi, UA; Bakshi, AV, Análisis de circuitos - II , Publicaciones técnicas, 2009 ISBN  9788184315974 .
• Horowitz, Paul; Hill, Winfield, El arte de la electrónica (tercera edición), Cambridge University Press, 2015 ISBN 0521809266 .