Ceviano

Línea que interseca tanto un vértice como un borde opuesto de un triángulo

En geometría , una ceviana es un segmento de línea que une un vértice de un triángulo con un punto en el lado opuesto del triángulo. ^{[1] [2]} Las medianas y las bisectrices de ángulos son casos especiales de cevianas. El nombre "ceviana" proviene del matemático italiano Giovanni Ceva , quien demostró un conocido teorema sobre cevianas que también lleva su nombre. ^[3]

Longitud

Un triángulo con una ceviana de longitud d

Teorema de Stewart

La longitud de un ceviano se puede determinar mediante el teorema de Stewart : en el diagrama, la longitud d del ceviano se da mediante la fórmula

${\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

Con menor frecuencia, esto también se representa (con alguna modificación) mediante el siguiente mnemónico :

${\displaystyle {\underset {{\text{A }}man{\text{ and his }}dad}{man\ +\ dad}}=\!\!\!\!\!\!{\underset {{\text{put a }}bomb{\text{ in the }}sink.}{bmb\ +\ cnc}}}$^[4]

Mediana

Si la ceviana resulta ser una mediana (es decir, que divide en dos un lado ), su longitud se puede determinar a partir de la fórmula

${\displaystyle \,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})}$

o

${\displaystyle \,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}$

desde

${\displaystyle \,a=2m.}$

Por lo tanto, en este caso

${\displaystyle d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.}$

Bisectriz de un ángulo

Si la ceviana resulta ser una bisectriz de un ángulo , su longitud obedece a las fórmulas

${\displaystyle \,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),}$

y ^[5]

${\displaystyle d^{2}+mn=bc}$

y

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}$

donde el semiperímetro ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}.}$

El lado de longitud a se divide en la proporción b  : c .

Altitud

Si la ceviana resulta ser una altura y por tanto perpendicular a un lado, su longitud obedece a las fórmulas

${\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}}$

y

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},}$

donde el semiperímetro ${\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}.}$

Propiedades de proporción

Tres cevianos pasando por un punto común

Existen varias propiedades de las relaciones de longitudes formadas por tres cevianas que pasan todas por el mismo punto interior arbitrario: ^{[6] : 177–188} Refiriéndonos al diagrama de la derecha,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {OD}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}+{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}};\\&\\&{\frac {\overline {OD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {OE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {OF}}{\overline {CF}}}=1;\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BO}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CO}}{\overline {CF}}}=2.\end{aligned}}}$

La primera propiedad se conoce como teorema de Ceva . Las dos últimas propiedades son equivalentes porque al sumar las dos ecuaciones se obtiene la identidad 1 + 1 + 1 = 3 .

Disidente

Un divisor de un triángulo es una ceviana que divide en dos el perímetro . Los tres divisores coinciden en el punto de Nagel del triángulo.

Bisectrices del área

Tres de las bisectrices de un triángulo son sus medianas, que conectan los vértices con los puntos medios de los lados opuestos. Por lo tanto, un triángulo de densidad uniforme se equilibraría en principio sobre una navaja que sostuviera cualquiera de las medianas.

Trisectrices de ángulos

Si de cada vértice de un triángulo se dibujan dos cevianas de manera que trisequen el ángulo (lo dividan en tres ángulos iguales), entonces las seis cevianas se intersecan de dos en dos para formar un triángulo equilátero , llamado triángulo de Morley .

Área del triángulo interior formado por cevianas

El teorema de Routh determina la relación entre el área de un triángulo dado y la de un triángulo formado por las intersecciones por pares de tres cevianas, una de cada vértice.

Véase también

• Geometría del punto de masa
• Teorema de Menelao

Notas

1. Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967). Geometría revisitada . Washington, DC: Asociación Matemática de Estados Unidos . p. 4. ISBN 0-883-85619-0.
2. Algunos autores excluyen los otros dos lados del triángulo, véase Eves (1963, p.77)
3. Lightner, James E. (1975). "Una nueva mirada a los 'centros' de un triángulo". The Mathematics Teacher . 68 (7): 612–615. JSTOR  27960289.
4. "El arte de resolver problemas". artofproblemsolving.com . Consultado el 22 de octubre de 2018 .
5. Johnson, Roger A., ​​Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., 2007 (orig. 1929), pág. 70.
6. Alfred S. Posamentier y Charles T. Salkind, Problemas desafiantes en geometría , Dover Publishing Co., segunda edición revisada, 1996.

Referencias

• Eves, Howard (1963), Un estudio de geometría (Vol. Uno) , Allyn y Bacon
• Ross Honsberger (1995). Episodios de la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX , páginas 13 y 137. Asociación Matemática de América.
• Vladimir Karapetoff (1929). “Algunas propiedades de las líneas de vértice correlativas en un triángulo plano”. American Mathematical Monthly 36: 476–479.
• Indika Shameera Amarasinghe (2011). “Un nuevo teorema sobre cualquier triángulo ceviano rectángulo”. Revista de la Federación Mundial de Competencias Nacionales de Matemáticas , vol. 24 (02) , págs. 29–37.