Siegel cero

Contraejemplo potencial de la hipótesis generalizada de Riemann

En matemáticas , más específicamente en el campo de la teoría analítica de números , un cero de Landau-Siegel o simplemente cero de Siegel , también conocido como cero excepcional ^[1] ), llamado así por Edmund Landau y Carl Ludwig Siegel , es un tipo de contraejemplo potencial de la hipótesis generalizada de Riemann , sobre los ceros de las funciones L de Dirichlet asociadas a cuerpos de números cuadráticos . En términos generales, estos son ceros posibles muy cercanos (en un sentido cuantificable) a . (La pronunciación de "Siegel" comienza con un sonido Z). ${\displaystyle s=1}$

Motivación y definición

La forma en que aparecen los ceros de Siegel en la teoría de funciones L de Dirichlet es como excepciones potenciales a las regiones clásicas libres de ceros , que sólo pueden ocurrir cuando la función L está asociada a un carácter de Dirichlet real.

Caracteres primitivos reales de Dirichlet

Para un entero q ≥ 1 , un carácter de Dirichlet módulo q es una función aritmética que satisface las siguientes propiedades: ${\textstyle \chi \colon \mathbb {Z} \to \mathbb {C} }$

• ( Completamente multiplicativo ) para cada m , n ; ${\textstyle \chi (mn)=\chi (m)\chi (n)}$
• (Periódico) para cada n ; ${\textstyle \chi (n+q)=\chi (n)}$
• (Soporte) si y sólo si . ${\textstyle \chi (n)=0}$ ${\displaystyle \mathrm {gcd} (n,q)>1}$

Es decir, χ es el levantamiento de un homomorfismo . ${\textstyle {\widetilde {\chi }}:(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$

El carácter trivial es el carácter módulo 1, y el carácter principal módulo q , denotado , es el levantamiento del homomorfismo trivial . ${\textstyle \chi _{0}~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\ni a\mapsto 1\in \mathbb {C} ^{*}}$

Un carácter se llama imprimitivo si existe algún entero con tal que el homomorfismo inducido se factoriza como ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$ ${\textstyle d\neq q}$ ${\textstyle d\mid q}$ ${\textstyle {\widetilde {\chi }}\colon (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\to \mathbb {C} ^{*}}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }\twoheadrightarrow (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{\times }\xrightarrow {\widetilde {\chi '}} \mathbb {C} ^{*}}$

para algún carácter ; de lo contrario, se llama primitivo . ${\textstyle \chi '~(\mathrm {mod} ~{d})}$ ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~{q})}$

Un carácter es real (o cuadrático ) si es igual a su conjugado complejo (definido como ), o equivalentemente si . Los caracteres primitivos reales de Dirichlet están en correspondencia biunívoca con los símbolos de Kronecker para un discriminante fundamental (es decir, el discriminante de un cuerpo de números cuadráticos ). ^[2] Una forma de definirlo es como la función aritmética completamente multiplicativa determinada por (para p primo): ${\textstyle \chi }$ ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$ ${\displaystyle {\overline {\chi }}(n):={\overline {\chi (n)}}}$ ${\textstyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$ ${\textstyle (D|\,\cdot \,):\mathbb {Z} \to \{-1,0,1\}}$ ${\textstyle D\in \mathbb {Z} }$ ${\textstyle (D|\,\cdot \,)}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {D}{p}}{\bigg )}={\begin{cases}1,&(p){\text{ splits in }}\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}),\\-1,&(p){\text{ is inert }}\cdots ,\\0,&(p){\text{ ramifies }}\cdots ,\end{cases}}\quad {\bigg (}{\frac {D}{-1}}{\bigg )}={\text{sign of }}D.}$

Por ello es común escribir , que son caracteres primitivos reales módulo . ${\textstyle \chi _{D}:=(D|\,\cdot \,)}$ ${\textstyle |D|}$

Regiones clásicas libres de cero

La función L de Dirichlet asociada a un carácter se define como la continuación analítica de la serie de Dirichlet definida para , donde s es una variable compleja . Para no principales, esta continuación es entera ; de lo contrario, tiene un polo simple de residuo en s = 1 como su única singularidad. Para , las funciones L de Dirichlet se pueden expandir en un producto de Euler , de donde se sigue que no tiene ceros en esta región. El teorema de los números primos para progresiones aritméticas es equivalente (en cierto sentido) a ( ). Además, a través de la ecuación funcional , podemos reflejar estas regiones a través de para concluir que, con la excepción de los números enteros negativos de la misma paridad que χ , ^[3] todos los demás ceros de deben estar dentro de . Esta región se llama franja crítica , y los ceros en esta región se llaman ceros no triviales . ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle L(s,\chi )=\sum _{n\geq 1}\chi (n)n^{-s}}$ ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\textstyle \prod _{p\mid q}(1-p^{-1})}$ ${\textstyle \mathrm {Re} (s)>1}$ ${\textstyle L(s,\chi )=\prod _{p}(1-\chi (p)p^{-s})^{-1}}$ ${\textstyle L(s,\chi )}$ ${\textstyle L(1+it,\chi )\neq 0}$ ${\textstyle \forall t\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle s\mapsto 1-s}$ ${\textstyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \{0<\mathrm {Re} (s)<1\}}$

El teorema clásico sobre regiones libres de ceros (Grönwall, ^[4] Landau, ^[5] Titchmarsh ^[6] ) establece que existe un número real efectivamente computable tal que, escribiendo para la variable compleja, la función no tiene ceros en la región. ${\textstyle A>0}$ ${\displaystyle s=\sigma +it}$ ${\textstyle L(s,\chi )}$

${\displaystyle \sigma >1-{\frac {A}{(\log q(|t|+2))}}}$

Si no es real, si es real, entonces hay como máximo un cero en esta región, que necesariamente debe ser real y simple . Este cero posible es el llamado cero de Siegel . ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle \chi }$

La hipótesis de Riemann generalizada (HGR) afirma que para cada , todos los ceros no triviales de se encuentran en la línea . ${\textstyle \chi ~(\mathrm {mod} ~q)}$ ${\textstyle L(s,\chi )}$ ${\textstyle \mathrm {Re} (s)={\frac {1}{2}}}$

Definición de "ceros Siegel"

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existe algún parámetro para cada discriminante fundamental D previsto ? ${\textstyle \delta >0}$ ${\textstyle L(\sigma ,\chi _{D})\neq 0}$ ${\textstyle 1-{\frac {\delta }{\log |D|}}<\sigma <1}$

(más problemas sin resolver en matemáticas)

La definición de los ceros de Siegel tal como se presenta la vincula a la constante A en la región libre de ceros. Esto a menudo hace que sea complicado tratar con estos objetos, ya que en muchas situaciones el valor particular de la constante A es de poca importancia. ^[1] Por lo tanto, es habitual trabajar con afirmaciones más definidas, ya sea afirmando o negando la existencia de una familia infinita de tales ceros, como en:

• Conjetura ("no hay ceros de Siegel"): Si ${\textstyle \beta _{D}}$ denota el cero real más grande de , entonces ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ ${\displaystyle 1-\beta _{D}\gg {\frac {1}{\log |D|}}.}$

La posibilidad de la existencia o no de ceros de Siegel tiene un gran impacto en temas estrechamente relacionados con la teoría de números, donde la conjetura de que "no hay ceros de Siegel" sirve como un sustituto más débil (aunque poderoso y, a veces, completamente suficiente) de la GRH (ver a continuación un ejemplo que involucra el teorema de Siegel-Tatsuzawa y el problema de los números idoneos ). Una formulación equivalente de "no hay ceros de Siegel" que no hace referencia explícita a los ceros es la siguiente:

${\displaystyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=O(\log |D|).}$

La equivalencia se puede deducir, por ejemplo, utilizando las regiones libres de ceros y estimaciones clásicas para el número de ceros no triviales hasta una cierta altura. ^[7] ${\textstyle L(s,\chi )}$

Estimaciones de Landau-Siegel

El primer avance en el tratamiento de estos ceros provino de Landau, quien demostró que existe una constante efectivamente computable tal que, para cualesquiera y caracteres primitivos reales con módulos distintos, si son ceros reales de respectivamente, entonces ${\displaystyle B>0}$ ${\textstyle \chi _{D}}$ ${\textstyle \chi _{D'}}$ ${\textstyle \beta ,\beta '}$ ${\textstyle L(s,\chi _{D}),L(s,\chi _{D'})}$

${\displaystyle \min\{\beta ,\beta '\}<1-{\frac {B}{\log |DD'|}}.}$

Esto quiere decir que, si existen ceros de Siegel, no pueden ser demasiado numerosos. La forma de demostrarlo es mediante un argumento de "torsión", que eleva el problema a la función zeta de Dedekind del cuerpo bicuadrático . Esta técnica todavía se aplica ampliamente en los trabajos modernos. ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}},{\sqrt {D'}})}$

Este "efecto repelente" (véase el fenómeno de Deuring-Heilbronn ), después de un análisis más cuidadoso, llevó a Landau a su teorema de 1936, ^[8] que establece que para cada , existe tal que, si es un cero real de , entonces . Sin embargo, en el mismo año, en el mismo número de la misma revista, Siegel ^[9] mejoró directamente esta estimación a ${\textstyle \varepsilon >0}$ ${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$ ${\textstyle \beta }$ ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ ${\textstyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-{\frac {3}{8}}-\varepsilon }}$

${\displaystyle \beta <1-C(\varepsilon )|D|^{-\varepsilon }.}$

Tanto la prueba de Landau como la de Siegel no proporcionan una forma explícita de calcular , por lo que son ejemplos de un resultado ineficaz . ${\textstyle C(\varepsilon )\in \mathbb {R} _{+}}$

Teorema de Siegel-Tatsuzawa

En 1951, Tikao Tatsuzawa demostró una versión "casi" efectiva del teorema de Siegel, ^[10] mostrando que para cualquier fijo , si entonces ${\textstyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{11.2}}}$ ${\textstyle |D|>e^{1/\varepsilon }}$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})>0.655\varepsilon |D|^{-\varepsilon },}$

con la posible excepción de un solo discriminante fundamental como máximo. Utilizando la "casi efectividad" de este resultado, PJ Weinberger (1973) ^[11] demostró que la lista de 65 números idoneos de Euler está completa excepto por dos elementos como máximo. ^[12]

Relación con los campos cuadráticos

Los ceros de Siegel aparecen a menudo como algo más que un problema artificial en el argumento para deducir regiones libres de ceros, ya que las estimaciones de regiones libres de ceros disfrutan de profundas conexiones con la aritmética de cuerpos cuadráticos. Por ejemplo, la identidad puede interpretarse como una formulación analítica de la reciprocidad cuadrática (véase la ley de reciprocidad de Artin §Enunciado en términos de funciones L ). La relación precisa entre la distribución de ceros cerca de s = 1 y la aritmética proviene de la fórmula del número de clase de Dirichlet : ${\textstyle \zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}(s)=\zeta (s)L(s,\chi _{D})}$

${\displaystyle L(1,\chi _{D})={\begin{cases}{\dfrac {2\pi }{w_{D}{\sqrt {|D|}}}}\,h(D),&{\text{if }}D<0\\[.5em]{\dfrac {\log \varepsilon _{D}}{\sqrt {D}}}\,h(D),&{\text{if }}D>0,\end{cases}}}$

dónde:

• ${\textstyle h(D)}$es el número de clase ideal de ; ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$
• ${\textstyle w_{D}}$es el número de raíces de la unidad en ( D < 0 ); ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$
• ${\textstyle \varepsilon _{D}}$es la unidad fundamental de ( D > 0 ). ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

De esta manera, las estimaciones para el cero real más grande de pueden traducirse en estimaciones para (mediante, por ejemplo, el hecho de que para ), ^[13] que a su vez se convierten en estimaciones para . Los trabajos clásicos sobre el tema tratan estas tres cantidades esencialmente de manera intercambiable, aunque el caso D > 0 trae complicaciones adicionales relacionadas con la unidad fundamental. ${\textstyle L(s,\chi _{D})}$ ${\textstyle L(1,\chi _{D})}$ ${\textstyle |L'(\sigma ,\chi )|=O(\log ^{2}q)}$ ${\textstyle 1-{\frac {1}{\log q}}\leq \sigma \leq 1}$ ${\textstyle h(D)}$

Los ceros de Siegel como «fenómenos cuadráticos»

En cierto sentido, la dificultad asociada al fenómeno de los ceros de Siegel en general está completamente restringida a las extensiones cuadráticas. Una consecuencia del teorema de Kronecker-Weber , por ejemplo, es que la función zeta de Dedekind de un cuerpo de números abelianos se puede escribir como un producto de funciones L de Dirichlet. ^[14] Por lo tanto, si tiene un cero de Siegel, debe haber algún subcuerpo con tal que tenga un cero de Siegel. ${\textstyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathfrak {O}}_{K}}[{\mathfrak {O}}_{K}:I]^{-s}}$ ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ ${\textstyle \zeta _{K}(s)}$ ${\textstyle F\subseteq K}$ ${\textstyle [F:\mathbb {Q} ]=2}$ ${\textstyle \zeta _{F}(s)}$

Si bien el caso no abeliano solo se puede factorizar en funciones L de Artin más complicadas , lo mismo es cierto: ${\textstyle \zeta _{K}(s)}$

• Teorema ( Stark , 1974) . ^[15] Sea un cuerpo de números de grado n > 1. Existe una constante ( si es normal, en caso contrario) tal que, si hay un real en el rango ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ ${\textstyle c(n)}$ ${\textstyle =4}$ ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$ ${\textstyle =4n!}$ ${\textstyle \beta }$

$1-{\frac {c(n)}{\log |\Delta _{K}|}}\leq \beta <1$

con , entonces existe un subcuerpo cuadrático tal que . Aquí, es el discriminante de cuerpo de la extensión . ${\textstyle \zeta _{K}(\beta )=0}$ ${\textstyle F\subseteq K}$ ${\textstyle \zeta _{F}(\beta )=0}$ ${\textstyle \Delta _{K}}$ ${\textstyle K/\mathbb {Q} }$

"No hay ceros de Siegel" paraD< 0

Cuando se trabaja con cuerpos cuadráticos, el caso tiende a ser difícil de entender debido al comportamiento de la unidad fundamental. Por lo tanto, es común tratar los casos y por separado. Se sabe mucho más sobre el caso del discriminante negativo: ${\textstyle D>0}$ ${\textstyle D<0}$ ${\textstyle D>0}$

Límites inferiores parayo(D)

En 1918, Erich Hecke demostró que la ausencia de "ceros de Siegel" implica que ^[5] (véase el problema del número de clase para comparar). Esto se puede extender a una equivalencia, ya que es una consecuencia del Teorema 3 en Granville – Stark (2000): ^[16] ${\textstyle D<0}$ ${\textstyle h(D)\gg {\sqrt {|D|}}(\log |D|)^{-1}}$

${\displaystyle {\text{“No Siegel zeros” for }}D<0\quad \iff \quad h(D)\gg {\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}\sum _{(a,b,c)}{\frac {1}{a}},}$

donde la suma se ejecuta sobre las formas cuadráticas binarias reducidas del discriminante . Utilizando esto, Granville y Stark demostraron que una cierta formulación uniforme de la conjetura abc para cuerpos numéricos implica "ningún cero de Siegel" para discriminantes negativos. ${\textstyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\textstyle D}$

En 1976, Dorian Goldfeld ^[17] demostró el siguiente límite inferior incondicional y efectivo para : ${\textstyle h(D)}$

${\displaystyle h(D)\gg \prod _{p\mid D}{\bigg (}1-{\frac {2{\sqrt {p}}}{p+1}}{\bigg )}\,\log |D|.}$

Multiplicación compleja

Otra equivalencia para "sin ceros de Siegel" se puede dar en términos de límites superiores para alturas de módulos singulares : ${\textstyle D<0}$

${\displaystyle h(j(\tau _{D}))\ll \log |D|,}$

dónde:

• ${\textstyle h}$es la altura ingenua logarítmica absoluta para campos numéricos;
• ${\textstyle j}$es la función j-invariante ;
• ${\textstyle \tau _{D}:=(D+{\sqrt {D}})/2}$.

El número genera el cuerpo de clase de Hilbert de , que es su extensión abeliana no ramificada máxima. ^[18] Esta equivalencia es una consecuencia directa de los resultados de Granville–Stark (2000), ^[16] y se puede ver en C. Táfula (2019). ^[19] ${\textstyle j(\tau _{D})}$ ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$

Pierre Colmez (1993, ^[20] 1998 ^[21] ) obtuvo una relación precisa entre las alturas y los valores de las funciones L , y demostró que, para una curva elíptica con multiplicación compleja por , tenemos ${\textstyle E_{D}/\mathbb {C} }$ ${\textstyle \mathbb {Z} [\tau _{D}]}$

${\displaystyle -2h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})-{\frac {1}{2}}\log |D|={\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})+\log 2\pi ,}$

donde denota la altura de Faltings . ^[22] Usando las identidades ^[23] y , ^[24] el teorema de Colmez también proporciona una prueba de la equivalencia anterior. ${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }}$ ${\textstyle h_{\mathrm {Fal} }(E_{D})={\frac {1}{12}}h(j(\tau _{D}))+O(\log h(j(\tau _{D})))}$ ${\textstyle {\frac {L'}{L}}(1,\chi _{D})=-{\frac {L'}{L}}(0,\chi _{D})-\log |D|+\log 2\pi +\gamma }$

Consecuencias de la existencia de ceros de Siegel

Aunque se espera que la Hipótesis de Riemann Generalizada sea cierta, ya que la conjetura de que no existen ceros de Siegel sigue abierta, es interesante estudiar qué consecuencias implicarían contraejemplos tan severos a la Hipótesis de Riemann Generalizada. Otra razón para estudiar esta posibilidad es que la demostración de ciertos teoremas incondicionales requiere la división en dos casos: primero una demostración suponiendo que no existen ceros de Siegel, luego otra suponiendo que sí existen. Un teorema clásico de este tipo es el teorema de Linnik sobre el primo más pequeño en una progresión aritmética .

Los siguientes son algunos ejemplos de hechos que se desprenden de la existencia de ceros de Siegel.

Infinitud de primos gemelos

Un resultado sorprendente en esta dirección es el de Roger Heath-Brown de 1983 ^[25] que, siguiendo a Terence Tao , ^[26] puede enunciarse de la siguiente manera:

• Teorema (Heath-Brown, 1983) . Al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera: (1) No existen ceros de Siegel. ( 2) Hay infinitos primos gemelos .

Problema de paridad

El problema de paridad en la teoría de tamices se refiere, en líneas generales, al hecho de que los argumentos de tamizado son, en términos generales, incapaces de determinar si un número entero tiene un número par o impar de divisores primos. Esto lleva a que muchos límites superiores en las estimaciones de tamices, como el del tamiz lineal ^[27], estén desviados por un factor de 2 del valor esperado. En 2020, Granville ^[28] demostró que, bajo el supuesto de la existencia de ceros de Siegel, los límites superiores generales para el problema de los intervalos de tamizado son óptimos, lo que significa que el factor adicional de 2 proveniente del fenómeno de la paridad no sería, por lo tanto, una limitación artificial del método.

Véase también

• Hipótesis generalizada de Riemann
• Fenómeno Deuring-Heilbronn
• Problema de número de clase
• Teorema de Brauer-Siegel
• Teorema de Siegel-Walfisz

Referencias

1. Véase Iwaniec (2006).
2. Véase Satz 4, §5 de Zagier (1981).
3. χ (mod q ) es par si χ (-1) = 1 , e impar si χ (-1) = -1 .
4. Grönwall, TH (1913). "Sur les séries de Dirichlet corresponsal à des charactères complexes". Rendiconti di Palermo (en francés). 35 : 145-159. doi :10.1007/BF03015596. S2CID  121161132.
5. Landau , E. (1918). "Über die Klassenzahl imaginär-quadratischer Zahlkörper". Göttinger Nachrichten (en alemán): 285–295.
6. Titchmarsh, CE (1930). "Un problema de divisor". Rendiconti de Palermo . 54 : 414–429. doi :10.1007/BF03021203. S2CID  119578445.
7. Véase el Capítulo 16 de Davenport (1980).
8. Landau, E. (1936). "Bemerkungen zum Heilbronnschen Satz". Acta Arithmetica (en alemán): 1–18.
9. Siegel, CL (1935). "Über die Klassenzahl quadratischer Zahlkörper" [Sobre los números de clase de campos cuadráticos]. Acta Arithmetica (en alemán). 1 (1): 83–86. doi : 10.4064/aa-1-1-83-86 .
10. Tatuzawa, T. (1951). "Sobre un teorema de Siegel". Revista Japonesa de Matemáticas . 21 : 163–178. doi : 10.4099/jjm1924.21.0_163 .
11. Weinberger, PJ (1973). "Exponentes del grupo de clases de cuerpos cuadráticos complejos". Acta Arithmetica . 22 (2): 117–124. doi : 10.4064/aa-22-2-117-124 .
12. Kani, Ernst (2011). "Números ideales y algunas generalizaciones" (PDF) . Annales des Sciences Mathématiques du Québec . 35 (2). Observación 24.
13. Véase (11) en el Capítulo 14 de Davenport (1980).
14. Teorema 10.5.25 en Cohen, H. (2007). Teoría de números: Volumen II: Herramientas analíticas y modernas. Textos de posgrado en matemáticas, Teoría de números. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-49893-5..
15. Lema 8 en Stark, HM (1974-06-01). "Algunos casos efectivos del teorema de Brauer-Siegel". Inventiones Mathematicae . 23 (2): 135–152. Bibcode :1974InMat..23..135S. doi :10.1007/BF01405166. ISSN  1432-1297. S2CID  119482000.
16. Granville, A.; Stark, HM (1 de marzo de 2000). "ABC no implica "ceros de Siegel" para funciones L de caracteres con discriminante negativo". Inventiones Mathematicae . 139 (3): 509–523. Bibcode :2000InMat.139..509G. doi :10.1007/s002229900036. ISSN  1432-1297. S2CID  6901166.
17. Goldfeld, Dorian M. (1976). "El número de clase de campos cuadráticos y las conjeturas de Birch y Swinnerton-Dyer". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze (en francés). 3 (4): 623–663.
18. Teorema II.4.1 en Silverman, Joseph H. (1994), Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 151, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94325-1.
19. Táfula, C. (2021). "Sobre los ceros de Landau-Siegel y las alturas de módulos singulares". Acta Aritmética . 201 : 1–28. arXiv : 1911.07215 . doi :10.4064/aa191118-18-5. S2CID  208138549.
20. Colmez, Pierre (1993). "Periodes des Variétés Abéliennes à Multiplication Complexe". Anales de Matemáticas . 138 (3): 625–683. doi :10.2307/2946559. ISSN  0003-486X. JSTOR  2946559.
21. Colmez, Pierre (1 de mayo de 1998). "Sur la hauteur de Faltings des variétés abéliennes à multiplication complexe". Composición Matemática . 111 (3): 359–369. doi : 10.1023/A:1000390105495 . ISSN  1570-5846.
22. Véase el diagrama en la subsección 0.6 de Colmez (1993). Hay un pequeño error tipográfico en la esquina superior derecha de este diagrama, que debería decir " ". ${\textstyle -2h_{\mathrm {Fal} }(X)-{\frac {1}{2}}\log D}$
23. Proposición 2.1, Capítulo X de Cornell, G.; Silverman, JH, eds. (1986). Geometría aritmética. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96311-2.
24. Consecuencia de la ecuación funcional , donde γ = 0,57721... es la constante de Euler-Mascheroni .
25. Heath-Brown, DR (1983-09-01). "Prime Twins and Siegel Zeros". Actas de la London Mathematical Society . s3-47 (2): 193–224. doi :10.1112/plms/s3-47.2.193. ISSN  0024-6115.
26. "Teorema de Heath-Brown sobre primos gemelos y ceros de Siegel". Novedades . 2015-08-27 . Consultado el 2021-03-13 .
27. Véase el capítulo 9 de Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: bases clásicas. Textos de posgrado en matemáticas. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94656-6.
28. Granville, A. (2020). "Intervalos de tamizado y ceros de Siegel". arXiv : 2010.01211 [math.NT].

• Davenport, H. (1980). Teoría de números multiplicativos. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 74. doi :10.1007/978-1-4757-5927-3. ISBN 978-1-4757-5929-7. ISSN  0072-5285.
• Iwaniec, H. (2006), Friedlander, JB; Heath-Brown, DR; Iwaniec, H.; Kaczorowski, J. (eds.), "Conversaciones sobre el carácter excepcional", Teoría analítica de números: conferencias impartidas en la Escuela de verano del CIME celebrada en Cetraro, Italia, del 11 al 18 de julio de 2002 , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1891, Berlín, Heidelberg: Springer, págs. 97–132, doi :10.1007/978-3-540-36364-4_3, ISBN 978-3-540-36364-4
• Montgomery, HL ; Vaughan, RC (2006). Teoría de números multiplicativos I: teoría clásica. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Zagier, DB (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper: Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie. Hochschultext (en alemán). Berlín Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10603-6.