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Estructura de Weaire-Phelan

En geometría , la estructura de Weaire-Phelan es una estructura tridimensional que representa una espuma idealizada de burbujas de igual tamaño, con dos formas diferentes. En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan descubrieron que esta estructura era una mejor solución del problema de Kelvin de embaldosar el espacio mediante celdas de igual volumen con un área de superficie mínima que la solución anterior más conocida, la estructura de Kelvin. [1]

La historia y el problema de Kelvin

El panal cúbico bitruncado , un panal convexo cuyas celdas octaédricas truncadas se deforman ligeramente para formar la estructura de Kelvin.

En dos dimensiones, la subdivisión del plano en celdas de igual área con perímetro medio mínimo viene dada por el teselado hexagonal , pero aunque el primer registro de esta conjetura del panal se remonta al antiguo erudito romano Marco Terencio Varro (116-27 a. C.), no se demostró hasta el trabajo de Thomas C. Hales en 1999. [2] En 1887, Lord Kelvin planteó la pregunta correspondiente para el espacio tridimensional: ¿cómo se puede dividir el espacio en celdas de igual volumen con la menor área de superficie entre ellas? O, en resumen, ¿cuál era la espuma de burbujas de jabón más eficiente ? [3] Desde entonces, este problema se ha denominado el problema de Kelvin.

Kelvin propuso una espuma llamada estructura de Kelvin . Su espuma se basa en el panal cúbico bitruncado , un panal convexo uniforme formado por el octaedro truncado , un poliedro convexo que llena el espacio con 6 caras cuadradas y 8 caras hexagonales. Sin embargo, este panal no satisface las leyes de Plateau , formuladas por Joseph Plateau en el siglo XIX, según las cuales las superficies mínimas de espuma se encuentran en ángulos en sus bordes, y estos bordes se encuentran entre sí en grupos de cuatro con ángulos de . Los ángulos de la estructura poliédrica son diferentes; por ejemplo, sus bordes se encuentran en ángulos de en caras cuadradas o en caras hexagonales. Por lo tanto, la estructura propuesta por Kelvin utiliza bordes curvilíneos y superficies mínimas ligeramente deformadas para sus caras, obedeciendo las leyes de Plateau y reduciendo el área de la estructura en un 0,2% en comparación con la estructura poliédrica correspondiente. [1] [3]

Aunque Kelvin no lo expresó explícitamente como una conjetura, [4] la idea de que la espuma del panal cúbico bitruncado es la espuma más eficiente y resuelve el problema de Kelvin se conoció como la conjetura de Kelvin . Fue ampliamente aceptada y no se conoció ningún contraejemplo durante más de 100 años. Finalmente, en 1993, el físico del Trinity College de Dublín Denis Weaire y su estudiante Robert Phelan descubrieron la estructura Weaire-Phelan mediante simulaciones por computadora de espuma y demostraron que era más eficiente, refutando la conjetura de Kelvin. [1]

Desde el descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan, se han encontrado otros contraejemplos de la conjetura de Kelvin, pero la estructura de Weaire-Phelan sigue teniendo la menor área superficial conocida por celda de estos contraejemplos. [5] [6] [7] Aunque los experimentos numéricos sugieren que la estructura de Weaire-Phelan es óptima, esto sigue sin demostrarse. [8] En general, ha sido muy difícil demostrar la optimalidad de las estructuras que involucran superficies mínimas . La minimalidad de la esfera como superficie que encierra un solo volumen no se demostró hasta el siglo XIX, y el siguiente problema más simple de este tipo, la conjetura de la doble burbuja sobre la inclusión de dos volúmenes, permaneció abierta durante más de 100 años hasta que se demostró en 2002. [9]

Descripción

La estructura de Weaire-Phelan se diferencia de la de Kelvin en que utiliza dos tipos de celdas, aunque tienen el mismo volumen. Al igual que las celdas de la estructura de Kelvin, estas celdas son combinatoriamente equivalentes a los poliedros convexos . Uno es un piritoedro , un dodecaedro irregular con caras pentagonales, que posee simetría tetraédrica ( T h ). El segundo es una forma de trapezoedro hexagonal truncado , una especie de tetracaidecaedro con dos caras hexagonales y doce pentagonales, que en este caso solo posee dos planos de simetría y una simetría de rotorreflexión . Al igual que los hexágonos en la estructura de Kelvin, los pentágonos en ambos tipos de celdas son ligeramente curvados. El área superficial de la estructura de Weaire-Phelan es un 0,3% menor que la de la estructura de Kelvin. [1]

Tetrastix , modelado de las cadenas cara a cara de las células del tetracaidecaedro en la estructura de Weaire-Phelan

Las células del tetracaidecaedro, unidas en cadenas de células enfrentadas a lo largo de sus caras hexagonales, forman cadenas en tres direcciones perpendiculares. Una estructura combinatoriamente equivalente a la estructura de Weaire-Phelan se puede hacer como un mosaico de espacio por cubos unitarios, alineados cara a cara en prismas cuadrados infinitos de la misma manera para formar una estructura de prismas entrelazados llamados tetrastix . Estos prismas rodean huecos cúbicos que forman una cuarta parte de las células del mosaico cúbico; las tres cuartas partes restantes de las células llenan los prismas, desplazados por media unidad de la cuadrícula entera alineada con las paredes del prisma. De manera similar, en la propia estructura de Weaire-Phelan, que tiene las mismas simetrías que la estructura tetrastix, 1/4 de las células son dodecaedros y 3/4 son tetracaidecaedros. [10]

El panal poliédrico asociado con la estructura Weaire-Phelan (obtenida al aplanar las caras y enderezar los bordes) también se conoce vagamente como estructura Weaire-Phelan. Se conocía mucho antes de que se descubriera la estructura Weaire-Phelan, pero se pasó por alto su aplicación al problema de Kelvin. [11]

Aplicaciones

En sistemas físicos

Un primer plano del molde utilizado para el crecimiento de espumas líquidas ordenadas.

Los experimentos han demostrado que, con condiciones de contorno favorables , las burbujas de igual volumen se autoensamblan espontáneamente en la estructura Weaire-Phelan. [12] [13]

El panal poliédrico asociado se encuentra en dos geometrías relacionadas de la estructura cristalina en química . Cuando los componentes del cristal se encuentran en los centros de los poliedros, se forma una de las fases de Frank-Kasper , la fase A15 . [14]

Cuando los componentes del cristal se encuentran en las esquinas de los poliedros, se conoce como " estructura de clatrato de tipo I ". Los hidratos de gas formados por metano, propano y dióxido de carbono a bajas temperaturas tienen una estructura en la que las moléculas de agua se encuentran en los nodos de la estructura de Weaire-Phelan y están unidas por enlaces de hidrógeno , y las moléculas de gas más grandes están atrapadas en las jaulas poliédricas. [11] Algunos hidruros de metales alcalinos, siliciuros y germanuros también forman esta estructura, con silicio o germanio en los nodos y metales alcalinos en las jaulas. [1] [15] [16]

En arquitectura

Centro Acuático Nacional de Beijing

La estructura Weaire-Phelan es la inspiración para el diseño de Tristram Carfrae del Centro Acuático Nacional de Beijing , el «Cubo de Agua», para los Juegos Olímpicos de Verano de 2008. [17]

Véase también

Referencias

  1. ^ abcde Weaire, D. ; Phelan, R. (1994), "Un contraejemplo a la conjetura de Kelvin sobre superficies mínimas", Phil. Mag. Lett. , 69 (2): 107–110, Bibcode :1994PMagL..69..107W, doi :10.1080/09500839408241577.
  2. ^ Hales, TC (2001), "La conjetura del panal", Geometría discreta y computacional , 25 (1): 1–22, doi : 10.1007/s004540010071 , hdl : 2027.42/42423 , MR  1797293
  3. ^ de Lord Kelvin (Sir William Thomson) (1887), "Sobre la división del espacio con un área de partición mínima" (PDF) , Philosophical Magazine , 24 (151): 503, doi :10.1080/14786448708628135, archivado desde el original (PDF) el 2021-11-26 , consultado el 2012-06-15.
  4. ^ Weaire y Phelan (1994) escriben que esto está "implícito en lugar de directamente establecido en los artículos originales de Kelvin".
  5. ^ Sullivan, John M. (1999), "La geometría de las burbujas y las espumas", Espumas y emulsiones (Cargèse, 1997) , NATO Advanced Science Institutes Series E: Applied Sciences, vol. 354, Kluwer, págs. 379–402, MR  1688327
  6. ^ Gabbrielli, Ruggero (1 de agosto de 2009), "Un nuevo contraejemplo a la conjetura de Kelvin sobre superficies mínimas", Philosophical Magazine Letters , 89 (8): 483–491, Bibcode :2009PMagL..89..483G, doi :10.1080/09500830903022651, ISSN  0950-0839, S2CID  137653272
  7. ^ Freiberger, Marianne (24 de septiembre de 2009), "La burbuja de Kelvin volvió a estallar", Plus Magazine , Universidad de Cambridge , consultado el 4 de julio de 2017
  8. ^ Oudet, Édouard (2011), "Aproximación de particiones de menor perímetro por Γ-convergencia: en torno a la conjetura de Kelvin", Experimental Mathematics , 20 (3): 260–270, doi :10.1080/10586458.2011.565233, MR  2836251, S2CID  2945749
  9. ^ Morgan, Frank (2009), "Capítulo 14. Prueba de la conjetura de la doble burbuja", Teoría de la medida geométrica: una guía para principiantes (4.ª ed.), Academic Press.
  10. ^ Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008), "Entendiendo las burbujas irlandesas", The Symmetries of Things , Wellesley, Massachusetts: AK Peters, pág. 351, ISBN 978-1-56881-220-5, Sr.  2410150
  11. ^ ab Pauling, Linus (1960), La naturaleza del enlace químico (3.ª ed.), Cornell University Press, pág. 471
  12. ^ Gabbrielli, R.; Meagher, AJ; Weaire, D.; Brakke, KA; Hutzler, S. (2012), "Una realización experimental de la estructura de Weaire-Phelan en espuma líquida monodispersa" (PDF) , Phil. Mag. Lett. , 92 (1): 1–6, Bibcode :2012PMagL..92....1G, doi :10.1080/09500839.2011.645898, S2CID  25427974.
  13. ^ Ball, Philip (2011), "Los científicos crean la espuma 'perfecta': espuma teórica de bajo consumo energético hecha realidad", Nature , doi :10.1038/nature.2011.9504, S2CID  136626668.
  14. ^ Frank, FC; Kasper, JS (1958), "Estructuras de aleación complejas consideradas como empaquetaduras de esferas. I. Definiciones y principios básicos" (PDF) , Acta Crystallogr. , 11 (3): 184–190, doi : 10.1107/s0365110x58000487Frank, FC; Kasper, JS (1959), "Estructuras de aleación complejas consideradas como empaquetaduras de esferas. II. Análisis y clasificación de estructuras representativas", Acta Crystallogr. , 12 (7): 483–499, doi : 10.1107 /s0365110x59001499.
  15. ^ Kasper, JS; Hagenmüller, P.; Bolsard, M.; Cros, C. (diciembre de 1965), "Estructura de clatrato de silicio Na 8 Si 46 y Na x Si 136 (x < 11)", Science , 150 (3704): 1713–1714, Bibcode :1965Sci...150.1713K, doi :10.1126/ciencia.150.3704.1713, PMID  17768869, S2CID  21291705
  16. ^ Cruz, cristiano; Bolsard, Michel; Hagenmuller, Paul (diciembre de 1970), "Sur une nouvelle famille de clathrates minéraux isotypes des hidratos de gaz et de liquides, interprétation des résultats obtenus", Journal of Solid State Chemistry , 2 (4): 570–581, Bibcode :1970JSSCh. ..2..570C, doi :10.1016/0022-4596(70)90053-8
  17. ^ Fountain, Henry (5 de agosto de 2008), "Un problema de burbujas enmarca un diseño olímpico", New York Times

Enlaces externos