120 celdas

Four-dimensional analog of the dodecahedron

Neto

En geometría , la celda 120 es el politopo regular convexo de 4 dimensiones (análogo de un sólido platónico ) con símbolo de Schläfli {5,3,3}. También se le llama C ₁₂₀ , dodecaplex (abreviatura de "complejo dodecaédrico"), hiperdodecaedro , polidodecaedro , hecatonicosachoron , dodecacontachoron ^[1] y hecatonicosaedro . ^[2]

El límite del politopo de 120 celdas está compuesto por 120 celdas dodecaédricas , de las cuales 4 se encuentran en cada vértice. Juntas forman 720 caras pentagonales , 1200 aristas y 600 vértices. Es el análogo en 4 dimensiones del dodecaedro regular , ya que, así como un dodecaedro tiene 12 facetas pentagonales, con 3 alrededor de cada vértice, el dodecaplex tiene 120 facetas dodecaédricas, con 3 alrededor de cada arista. ^[a] Su politopo dual es el politopo de 600 celdas .

Geometría

El politopo de 120 celdas incorpora las geometrías de cada politopo regular convexo en las primeras cuatro dimensiones (excepto los polígonos {7} y ​​superiores). ^[b] Como el sexto y más grande politopo regular convexo de 4 celdas, ^[c] contiene instancias inscritas de sus cuatro predecesores (de forma recursiva). También contiene 120 instancias inscritas del primero en la secuencia, el politopo de 5 celdas , ^[d] que no se encuentra en ninguno de los otros. ^{[4] El} politopo de 120 celdas es una navaja suiza de cuatro dimensiones : contiene uno de cada cosa.

Resulta desalentador, pero instructivo, estudiar el sistema de 120 celdas, porque contiene ejemplos de todas las relaciones entre todos los politopos regulares convexos que se encuentran en las primeras cuatro dimensiones. Por el contrario, solo se puede entender si primero se comprende cada uno de sus predecesores y la secuencia de simetrías cada vez más complejas que exhiben. ^[5] Por eso Stillwell tituló su artículo sobre los 4-politopos y la historia de las matemáticas ^[6] de más de 3 dimensiones La historia del sistema de 120 celdas . ^[7]

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas naturales para un 4-politopo centrado en el origen del 4-espacio aparecen en diferentes marcos de referencia, dependiendo del radio largo (de centro a vértice) elegido.

√8 coordenadas de radio

La celda de 120 con un radio largo √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2,828 tiene una longitud de arista de 4−2φ = 3− √ 5 ≈ 0,764.

En este marco de referencia, sus 600 coordenadas de vértice son las { permutaciones } y [ permutaciones pares ] de las siguientes: ^[8]

donde φ (también llamado 𝝉) ^[f] es la proporción áurea , ⁠1 + √ 5/2⁠ ≈ 1.618.

Coordenadas del radio unitario

La celda de radio unitario de 120 tiene una longitud de borde de ⁠1/φ2√2^​​​⁠ ≈ 0,270.

En este marco de referencia, la celda 120 se encuentra con el vértice hacia arriba en la orientación estándar, y sus coordenadas ^[9] son ​​las { permutaciones } y [ permutaciones pares ] en la columna de la izquierda a continuación:

La tabla muestra las coordenadas de al menos una instancia de cada 4-politopo, pero el de 120 celdas contiene múltiplos de cinco instancias inscritas de cada uno de sus 4-politopos precursores, que ocupan diferentes subconjuntos de sus vértices. El de 120 celdas (de 600 puntos) es la envoltura convexa de 5 600 celdas disjuntas (de 120 puntos). Cada 600 celdas (de 120 puntos) es la envoltura convexa de 5 24 celdas disjuntas (de 24 puntos), por lo que el de 120 celdas es la envoltura convexa de 25 24 celdas disjuntas. Cada 24 celdas es la envoltura convexa de 3 16 celdas disjuntas (de 8 puntos), por lo que el de 120 celdas es la envoltura convexa de 75 16 celdas disjuntas. De manera única, la celda 120 (de 600 puntos) es la envoltura convexa de 120 celdas 5 (de 5 puntos) disjuntas. ^[k]

Acordes

Polígonos de círculo máximo de la celda de 120, que se encuentran en los planos centrales invariantes de sus rotaciones isoclínicas ^{[o] . Las aristas de la celda de 120 de longitud} 𝜁 ≈ 0,270 aparecen solo en el gran hexágono irregular rojo , que también tiene aristas de longitud √ 2,5 . Las 1200 aristas de la celda de 120 no forman polígonos de círculo máximo por sí mismas, sino que al alternarlas con aristas de √ 2,5 de celdas regulares inscritas de 5 ^[d] forman 400 grandes hexágonos irregulares. ^[p] La celda de 120 también contiene un compuesto de varios de estos polígonos de círculo máximo en el mismo plano central, ilustrado por separado. ^[q] Una implicación de la composición es que los bordes y las rotaciones características ^[t] del cubo regular de 5 celdas, el hipercubo de 8 celdas, el de 24 celdas y el de 120 celdas se encuentran todos en los mismos planos de rotación, los planos centrales hexagonales del de 24 celdas. ^[u]

El poliedro de 120 puntos y 600 celdas tiene las 8 longitudes de cuerdas distintas del poliedro de 120 puntos y 600 celdas, más dos cuerdas importantes adicionales: sus propios bordes más cortos y los bordes de sus 120 celdas regulares de 5 inscritas. ^[d] Estas dos cuerdas adicionales le dan al poliedro de 120 celdas su rotación isoclínica característica , ^[ac] además de todas las rotaciones de los otros politopos regulares de 4 que hereda. ^[14] También le dan al poliedro de 120 celdas un polígono circular máximo característico: un gran hexágono irregular en el que tres bordes de 120 celdas se alternan con tres bordes de 5 celdas. ^[p]

Los bordes del teseracto de 120 celdas no forman polígonos circulares regulares en un único plano central, como lo hacen los bordes del teseracto de 600 celdas, el de 24 celdas y el de 16 celdas. Al igual que los bordes del teseracto de 5 celdas y el de 8 celdas , forman polígonos de Petrie en zigzag . ^[r] El polígono de Petrie del teseracto de 120 celdas es un polígono inclinado en zigzag triacontágono {30} . ^[ad]

Como la celda 120 tiene una circunferencia de 30 aristas, tiene 15 longitudes de cuerda distintas, que van desde la longitud de su arista hasta su diámetro. ^[ah] Cada 4-politopo convexo regular está inscrito en la celda 120, y las 15 cuerdas enumeradas en las filas de la siguiente tabla son todas las cuerdas distintas que forman los 4-politopos regulares y sus polígonos de círculo máximo. ^[ak]

Lo primero que hay que notar en esta tabla es que tiene ocho columnas, no seis; además de los seis 4-politopos convexos regulares, dos 4-politopos irregulares aparecen naturalmente en la secuencia de 4-politopos anidados: el snub de 24 celdas de 96 puntos y el disminuido de 120 celdas de 480 puntos. ^[c]

La segunda cosa a notar es que cada fila numerada (cada cuerda) está marcada con un triángulo △ , cuadrado ☐, símbolo phi 𝜙 o pentagrama ✩. Las 15 cuerdas forman polígonos de cuatro tipos: grandes cuadrados ☐ característicos del de 16 celdas , grandes hexágonos y grandes triángulos △ característicos del de 24 celdas , grandes decágonos y grandes pentágonos 𝜙 característicos del de 600 celdas , y pentagramas oblicuos ✩ o decagramas característicos del de 5 celdas , que son polígonos de Petrie que giran alrededor de un conjunto de planos centrales y forman polígonos de cara pero no grandes polígonos. ^[u]

Los acordes mayores ^[ak] #1 - #15 unen pares de vértices que están separados por 1 - 15 aristas en un polígono de Petrie.

La tabla de acordes anotada es una lista completa de materiales para construir el sistema de 120 celdas. Todos los 2-politopos, 3-politopos y 4-politopos del sistema de 120 celdas están hechos a partir de los 15 1-politopos de la tabla.

Los números enteros negros en las celdas de la tabla son los recuentos de incidencia de la cuerda de la fila en el politopo de 4 de la columna. Por ejemplo, en la fila de la cuerda n.° 3 , los 72 grandes decágonos de la celda 600 contienen 720 cuerdas n. ° 3 en total.

Los números enteros en rojo son la cantidad de politopos de 4 elementos disjuntos que se muestran arriba (la etiqueta de la columna) y que, combinados, forman un conjunto de 120 celdas. Por ejemplo, el conjunto de 120 celdas es un compuesto de 25 politopos de 24 elementos disjuntos (25 * 24 vértices = 600 vértices).

Los números enteros verdes son la cantidad de politopos de 4 elementos distintos que se muestran arriba (la etiqueta de la columna) y que se pueden distinguir en la celda de 120 elementos. Por ejemplo, la celda de 120 elementos contiene 225 celdas de 24 elementos distintos que comparten componentes.

Los números enteros azules en la columna de la derecha son los recuentos de incidencia de la cuerda de la fila en cada vértice de 120 celdas. Por ejemplo, en la fila de la cuerda n.° 3 , 24 cuerdas n.° 3 convergen en cada uno de los 600 vértices de las 120 celdas, formando una figura de vértice icosaédrico doble 2{3,5}. En total, 300 cuerdas mayores ^[ak] de 15 longitudes distintas se encuentran en cada vértice de las 120 celdas.

Relaciones entre politopos interiores

El modelo de 120 celdas es el compuesto de los otros cinco politopos cuatridimensionales convexos regulares. ^[20] Todas las relaciones entre los politopos 1, 2, 3 y 4 regulares se dan en el modelo de 120 celdas. ^[b] Es un rompecabezas de cuatro dimensiones en el que todos esos politopos son las partes. ^[21] Aunque hay muchas secuencias en las que se puede construir el modelo de 120 celdas juntando esas partes, en última instancia solo encajan de una manera. El modelo de 120 celdas es la solución única para la combinación de todos estos politopos. ^[7]

El 1-politopo regular se presenta en solo 15 longitudes distintas en cualquiera de los politopos componentes de las 120 celdas. ^[ak] Según el teorema de unicidad de Alexandrov , los poliedros convexos con formas distintas entre sí también tienen espacios métricos distintos de distancias superficiales, por lo que cada 4-politopo regular tiene su propio subconjunto único de estas 15 cuerdas.

Sólo 4 de esos 15 acordes se dan en los sistemas de 16 celdas, 8 celdas y 24 celdas. Los cuatro acordes hipercúbicos √ 1 , √ 2 , √ 3 y √ 4 son suficientes para construir el sistema de 24 celdas y todas sus partes componentes. El sistema de 24 celdas es la única solución a la combinación de estos 4 acordes y todos los politopos regulares que se pueden construir a partir de ellos.

Se requieren 4 de las 15 cuerdas adicionales para construir la celda de 600. Las cuatro cuerdas áureas son raíces cuadradas de fracciones irracionales que son funciones de √ 5 . La celda de 600 es la solución única para la combinación de estas 8 cuerdas y todos los politopos regulares que se pueden construir a partir de ellas. Entre las nuevas partes que se encuentran en la celda de 600 y que no aparecen en la de 24 celdas, se destacan los pentágonos y los icosaedros.

Las 15 cuerdas y otras 15 distancias cordales distintas enumeradas a continuación se dan en la celda de 120. Entre las nuevas partes que se encuentran en la celda de 120 y que no se dan en la de 600 se destacan las celdas de 5 regulares y los acordes √ 5/2 . ^[ba] Las relaciones entre la celda de 5 regulares (el 4-politopo regular simplex ) y los otros 4-politopos regulares se manifiestan directamente solo en la celda de 120. ^[i] La celda de 120 de 600 puntos es un compuesto de 120 celdas de 5 puntos 5 disjuntas, y también es un compuesto de 5 celdas de 600 puntos 120 disjuntas (de dos maneras diferentes). Cada 5-celda tiene un vértice en cada una de las 5 celdas disjuntas de 600 y, por lo tanto, en cada una de las 5 celdas disjuntas de 24, 5 celdas disjuntas de 8 y 5 celdas disjuntas de 16. ^[be] Cada 5-celda es un anillo (de dos maneras diferentes) que une 5 instancias disjuntas de cada uno de los otros 4-politopos regulares. ^[y]

Rectángulos geodésicos

Las 30 cuerdas distintas ^[ak] que se encuentran en la celda de 120 se presentan como 15 pares de complementos de 180°. Forman 15 tipos distintos de polígonos circulares máximos que se encuentran en planos centrales de varios tipos: △ planos que intersecan {12} vértices en un dodecágono irregular, ^[q] 𝜙 planos que intersecan {10} vértices en un decágono regular y ☐ planos que intersecan {4} vértices en varios tipos de rectángulos, incluido un cuadrado.

Cada polígono circular máximo se caracteriza por su par de cuerdas complementarias de 180°. Los pares de cuerdas forman polígonos circulares máximos con bordes opuestos y paralelos, por lo que cada polígono circular máximo es un rectángulo o un compuesto de un rectángulo, con las dos cuerdas como bordes del rectángulo.

Cada uno de los 15 pares de cuerdas complementarias corresponde a un par distinto de secciones poliédricas opuestas de la celda de 120, comenzando con un vértice, la sección 0 _0. La correspondencia es que cada vértice de la celda de 120 está rodeado por los vértices de cada sección poliédrica a una distancia uniforme (la longitud de la cuerda), de la misma manera que los vértices de un poliedro rodean su centro a la distancia de su radio largo. ^[bf] La cuerda #1 es el "radio" de la sección 1 ₀ , la figura del vértice tetraédrico de la celda de 120. ^[av] La cuerda #14 es el "radio" de su sección opuesta congruente 29 _0. La cuerda #7 es el "radio" de la sección central de la celda de 120, en la que coinciden dos secciones opuestas 15 _{0 .}

Cascos concéntricos

La proyección ortogonal de las 120 celdas utilizando 3 de estas dimensiones de coordenadas cartesianas forma una envoltura exterior de un dodecaedro achaflanado de norma = √ 8.
Las envolturas 1, 2 y 7 son pares superpuestos de dodecaedros .
La envoltura 3 es un par de icosidodecaedros .
Las envolturas 4 y 5 son pares de icosaedros truncados . Las envolturas 6
y 8 son pares de rombicosidodecaedros .

Grafo poliédrico

Considerando la matriz de adyacencia de los vértices que representan el grafo poliédrico de 120 celdas de radio unitario, el diámetro del grafo es 15, conectando cada vértice con su negación de coordenadas a una distancia euclidiana de 2 (su circundiámetro), y hay 24 caminos diferentes para conectarlos a lo largo de las aristas del politopo. Desde cada vértice, hay 4 vértices a la distancia 1, 12 a la distancia 2, 24 a la distancia 3, 36 a la distancia 4, 52 a la distancia 5, 68 a la distancia 6, 76 a la distancia 7, 78 a la distancia 8, 72 a la distancia 9, 64 a la distancia 10, 56 a la distancia 11, 40 a la distancia 12, 12 a la distancia 13, 4 a la distancia 14 y 1 a la distancia 15. La matriz de adyacencia tiene 27 valores propios distintos que van desde ⁠1/φ2√2^​​​≈ 0,270, con una multiplicidad de 4, a 2, con una multiplicidad de 1. La multiplicidad del valor propio 0 es 18 y el rango de la matriz de adyacencia es 582.

Los vértices del gráfico poliédrico de 120 celdas son 3-coloreables .

El grafo es euleriano y tiene grado 4 en cada vértice. Su conjunto de aristas se puede descomponer en dos ciclos hamiltonianos . ^[24]

Construcciones

El politopo de 120 celdas es el sexto en la secuencia de 6 politopos regulares convexos de 4 celdas (en orden de tamaño y complejidad). ^[c] Puede deconstruirse en diez instancias distintas (o cinco instancias disjuntas) de su predecesor (y dual) el politopo de 600 celdas , ^[h] así como el politopo de 600 celdas puede deconstruirse en veinticinco instancias distintas (o cinco instancias disjuntas) de su predecesor el politopo de 24 celdas , ^[bj] el politopo de 24 celdas puede deconstruirse en tres instancias distintas de su predecesor el teseracto (de 8 celdas), y el politopo de 8 celdas puede deconstruirse en dos instancias disjuntas de su predecesor (y dual) el politopo de 16 celdas . ^[27] El politopo de 120 celdas contiene 675 instancias distintas (75 instancias disjuntas) del politopo de 16 celdas. ^[j]

El procedimiento inverso para construir cada uno de estos a partir de una instancia de su predecesor conserva el radio del predecesor, pero generalmente produce un sucesor con una longitud de arista más pequeña. La longitud de arista de la celda de 600 es ~0,618 veces su radio (la proporción áurea inversa ), pero la longitud de arista de la celda de 120 es ~0,270 veces su radio.

Doble 600 celdas

Cinco tetraedros inscritos en un dodecaedro. También pueden inscribirse cinco tetraedros opuestos (no se muestran).

Como la celda 120 es dual de la celda 600, se puede construir a partir de la celda 600 colocando sus 600 vértices en el centro del volumen de cada una de las 600 celdas tetraédricas. A partir de una celda 600 de radio largo unitario, esto da como resultado una celda 120 de radio largo ligeramente menor ( ⁠φ2^​/√ 8⁠ ≈ 0,926) y una longitud de arista de exactamente 1/4. Por lo tanto, la celda de 120 con una longitud de arista unitaria (con un radio largo φ ² √ 2 ≈ 3,702) se puede construir de esta manera justo dentro de una celda de 600 con un radio largo de 4. La celda de 120 con un radio unitario (con una longitud de arista ⁠1/φ2√2^​​​⁠ ≈ 0,270) se puede construir de esta manera justo dentro de una celda de 600 de radio largo .√ 8/φ2^​⁠ ≈ 1.080.

Uno de los cinco cubos distintos inscritos en el dodecaedro (líneas discontinuas). En cada cubo hay inscritos dos tetraedros opuestos (no se muestran), por lo que en el dodecaedro hay inscritos diez tetraedros distintos (uno de cada 600 celdas del conjunto de 120 celdas). ^[at]

Recíprocamente, la unidad de radio de 120 celdas se puede construir justo afuera de una unidad de 600 celdas con un radio ligeramente más pequeño .φ2^​/√ 8⁠ ≈ 0,926, colocando el centro de cada celda dodecaédrica en uno de los 120 vértices de 600 celdas. Las 120 celdas cuyas coordenadas se dan arriba tienen un radio largo √ 8 = 2 √ 2 ≈ 2,828 y una longitud de arista ⁠2/φ2^​⁠ = 3− √ 5 ≈ 0,764 se puede construir de esta manera justo fuera de una celda de 600 con un radio largo φ ² , que es menor que √ 8 en la misma razón de ≈ 0,926; está en la proporción áurea con respecto a la longitud de la arista de la celda de 600, por lo que debe ser φ. La celda de 120 con una longitud de arista de 2 y un radio largo φ ² √ 8 ≈ 7,405 dada por Coxeter ^[3] se puede construir de esta manera justo fuera de una celda de 600 con un radio largo φ ⁴ y una longitud de arista φ ³ .

Por lo tanto, la celda de radio unitario de 120 se puede construir a partir de su predecesora, la celda de radio unitario de 600, en tres pasos de reciprocidad.

Rotaciones de celdas de duales inscritos

Como la celda 120 contiene celdas 600 inscritas, contiene su propio dual del mismo radio. La celda 120 contiene cinco celdas 600 disjuntas (diez celdas 600 inscritas superpuestas de las cuales podemos distinguir cinco celdas 600 disjuntas de dos maneras diferentes), por lo que puede verse como un compuesto de cinco de sus propios duales (de dos maneras). Los vértices de cada celda 600 inscrita son vértices de la celda 120 y (dualmente) cada centro de celda dodecaédrica es un centro de celda tetraédrica en cada una de las celdas 600 inscritas.

Las celdas dodecaédricas del modelo de 120 celdas tienen inscritas en ellas celdas tetraédricas del modelo de 600 celdas. ^[29] Así como el modelo de 120 celdas es un compuesto de cinco celdas de 600 celdas (de dos maneras), el dodecaedro es un compuesto de cinco tetraedros regulares (de dos maneras). Así como en un cubo se pueden inscribir dos tetraedros opuestos y en un dodecaedro se pueden inscribir cinco cubos, en un dodecaedro se pueden inscribir diez tetraedros en cinco cubos: dos conjuntos opuestos de cinco, cada conjunto cubriendo los 20 vértices y cada vértice en dos tetraedros (uno de cada conjunto, pero no el par opuesto de un cubo, obviamente). ^[30] Esto demuestra que las 120 celdas contienen, entre sus muchas características interiores, 120 compuestos de diez tetraedros , cada uno de los cuales es dimensionalmente análogo a las 120 celdas completas como un compuesto de diez 600 celdas. ^[h]

Los diez tetraedros se pueden generar mediante dos rotaciones quirales de cinco clics de cualquier tetraedro. En cada celda dodecaédrica, una celda tetraédrica proviene de cada una de las diez celdas de 600 inscritas en la celda de 120. ^[bk] Por lo tanto, la celda completa de 120, con las diez celdas de 600 inscritas, se puede generar a partir de una sola celda de 600 rotando sus celdas.

Aumento

Otra consecuencia de que el sistema de 120 celdas contenga 600 celdas inscritas es que es posible construirlo colocando 4 pirámides de algún tipo sobre las celdas del sistema de 600 celdas. Estas pirámides tetraédricas deben ser bastante irregulares en este caso (con el vértice romo en cuatro "vértices"), pero podemos discernir su forma en la forma en que un tetraedro se encuentra inscrito en un dodecaedro . ^[bl]

Solo 120 celdas tetraédricas de cada 600 celdas pueden inscribirse en los dodecaedros de 120 celdas; sus otros 480 tetraedros abarcan celdas dodecaédricas. Cada tetraedro inscrito en un dodecaedro es la celda central de un grupo de cinco tetraedros , y las otras cuatro que lo rodean están unidas por sus caras y se encuentran solo parcialmente dentro del dodecaedro. El tetraedro central está unido por sus aristas a otras 12 celdas tetraédricas, que también se encuentran solo parcialmente dentro del dodecaedro. ^[bm] La celda central está unida por sus vértices a otras 40 celdas tetraédricas que se encuentran completamente fuera del dodecaedro.

Órbitas de Weyl

Otro método de construcción utiliza cuaterniones y la simetría icosaédrica de las órbitas del grupo de Weyl de orden 120. ^[32] A continuación se describen 24 celdas como pesos de órbitas de cuaterniones de D4 bajo el grupo de Weyl W(D4): O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2} O(1000) : V1 O(0010) : V2 O(0001) : V3 ${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T'}$

$${\displaystyle T'={\sqrt {2}}\{V1\oplus V2\oplus V3\}={\begin{pmatrix}{\frac {-1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{1}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{2}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{3}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {-e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}-e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {e_{1}+e_{2}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1-e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {-1+e_{3}}{\sqrt {2}}}&{\frac {1+e_{3}}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}};}$$

Con cuaterniones donde es el conjugado de y y , entonces el grupo de Coxeter es el grupo de simetría de las 600 celdas y las 120 celdas de orden 14400. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\bar {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$ ${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ ${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$

Dado que y como un intercambio de dentro de , podemos construir: ${\displaystyle p\in T}$ ${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$ ${\displaystyle p^{\dagger }}$ ${\displaystyle -1/\varphi \leftrightarrow \varphi }$ ${\displaystyle p}$

• El snub de 24 celdas ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• Las 600 celdas ${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• Las 120 celdas ${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$
• El snub alternativo de 24 celdas ${\displaystyle S'=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger i}T'}$
• El snub doble de 24 celdas = . ${\displaystyle T\oplus T'\oplus S'}$

Como configuración

Esta matriz de configuración representa las 120 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada una de las 120 celdas existen. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna existen en el elemento de la fila o en él. ^{[33] [34]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Aquí se muestra la configuración ampliada con elementos de k -caras y k -figuras. Los recuentos de elementos diagonales son la relación entre el orden completo del grupo de Coxeter , 14400, dividido por el orden del subgrupo con eliminación del espejo.

Visualización

El dodecaedro de 120 celdas está formado por 120 celdas dodecaédricas. Para fines de visualización, es conveniente que el dodecaedro tenga caras paralelas opuestas (un rasgo que comparte con las celdas del teseracto y el dodecaedro de 24 celdas ). Se pueden apilar dodecaedros cara a cara en una línea recta doblada en la cuarta dirección hasta formar un gran círculo con una circunferencia de 10 celdas. A partir de esta construcción inicial de diez celdas, hay dos visualizaciones comunes que se pueden utilizar: una proyección estereográfica en capas y una estructura de anillos entrelazados ( fibración de Hopf discreta ). ^[35]

Proyección estereográfica en capas

La ubicación de las células se presta a una descripción hiperesférica. ^[36] Elija un dodecaedro arbitrario y etiquételo como "polo norte". Doce meridianos del círculo máximo (de cuatro células de largo) irradian en tres dimensiones y convergen en la quinta célula del "polo sur". Este esqueleto representa 50 de las 120 células (2 + 4 × 12).

Partiendo del Polo Norte, podemos construir las 120 celdas en 9 capas latitudinales, con alusiones a la topografía terrestre de 2 esferas en la tabla siguiente. Con excepción de los polos, los centroides de las celdas de cada capa se encuentran en una 2 esfera separada, y los centroides ecuatoriales se encuentran en una gran 2 esfera. Los centroides de las 30 celdas ecuatoriales forman los vértices de un icosidodecaedro , y los meridianos (como se describió anteriormente) pasan por el centro de cada cara pentagonal. Las celdas etiquetadas como "intersticiales" en la tabla siguiente no se encuentran en círculos máximos de meridianos.

Las celdas de las capas 2, 4, 6 y 8 se encuentran sobre las caras de la celda polar. Las celdas de las capas 3 y 7 se encuentran directamente sobre los vértices de la celda polar. Las celdas de la capa 5 se encuentran sobre los bordes de la celda polar.

Anillos entrelazados

Dos anillos entrelazados de 120 celdas.

Dos anillos ortogonales en una proyección centrada en la celda

Las 120 celdas se pueden dividir en 12 anillos de gran círculo disjuntos de 10 celdas, formando una fibración de Hopf discreta/cuantizada . ^{[37] [38] [39] [40] [35]} Comenzando con un anillo de 10 celdas, se puede colocar otro anillo a su lado que gira en espiral alrededor del anillo original una revolución completa en diez celdas. Se pueden colocar cinco de estos anillos de 10 celdas adyacentes al anillo original de 10 celdas. Aunque los anillos externos "giran en espiral" alrededor del anillo interno (y entre sí), en realidad no tienen torsión helicoidal . Todos son equivalentes. La espiral es el resultado de la curvatura de 3 esferas. El anillo interno y los cinco anillos externos forman ahora un toro sólido de seis anillos y 60 celdas. Se pueden seguir agregando anillos de 10 celdas adyacentes a los anteriores, pero es más instructivo construir un segundo toro, disjunto del anterior, a partir de las 60 celdas restantes, que se entrelaza con el primero. La de 120 celdas, al igual que la de 3 esferas, es la unión de estos dos toros ( de Clifford ). Si el anillo central del primer toro es un círculo máximo meridiano como se definió anteriormente, el anillo central del segundo toro es el círculo máximo ecuatorial que está centrado en el círculo meridiano. ^[41] Observe también que la envoltura espiral de 50 celdas alrededor de un anillo central puede ser zurda o diestra. Es solo una cuestión de dividir las celdas en la envoltura de manera diferente, es decir, elegir otro conjunto de círculos máximos disjuntos ( paralelos de Clifford ).

Otras construcciones de gran círculo

Hay otra trayectoria de círculo máximo de interés que pasa alternativamente a través de vértices de celdas opuestas, luego a lo largo de un borde. Esta trayectoria consta de 6 aristas que se alternan con 6 cuerdas de diámetro de celda, formando un dodecágono irregular en un plano central. ^[q] Ambas trayectorias de círculo máximo tienen trayectorias de círculo máximo duales en la celda de 600. La trayectoria de cara a cara de 10 celdas anterior se asigna a una trayectoria de 10 vértices que atraviesa únicamente a lo largo de los bordes en la celda de 600, formando un decágono . ^[v] La trayectoria alternada de celda/borde se asigna a una trayectoria que consta de 12 tetraedros que se encuentran alternativamente cara a cara y luego vértice a vértice (seis bipirámides triangulares ) en la celda de 600. Esta última trayectoria corresponde a un anillo de seis icosaedros que se encuentran cara a cara en la celda de 24 (o pirámides icosaédricas en la celda de 600), formando un hexágono .

Existe otro camino de polígono de círculo máximo que es exclusivo del dodecágono de 120 celdas y no tiene contraparte dual en el dodecágono de 600 celdas. Este camino consta de 3 aristas de 120 celdas que se alternan con 3 aristas inscritas de 5 celdas (cuerdas n.° 8), formando el gran hexágono irregular con aristas alternadas cortas y largas ilustrado arriba. ^[p] Cada arista de 5 celdas recorre el volumen de tres celdas dodecaédricas (en un anillo de diez celdas dodecaédricas unidas por sus caras), hasta la cara pentagonal opuesta del tercer dodecaedro. Este gran hexágono irregular se encuentra en el mismo plano central (en el mismo círculo máximo) que el gran dodecágono irregular descrito arriba, pero interseca solo {6} de los {12} vértices del dodecágono. Hay dos grandes hexágonos irregulares inscritos en cada gran dodecágono irregular, en posiciones alternadas. ^[q]

Proyecciones en perspectiva

Como en todas las ilustraciones de este artículo, en estas representaciones sólo aparecen los bordes de las 120 celdas. No se muestran todos los demás acordes. Las complejas partes interiores de las 120 celdas, es decir, todas sus 600 celdas, 24 celdas, 8 celdas, 16 celdas y 5 celdas inscritas, son completamente invisibles en todas las ilustraciones. El espectador debe imaginarlas.

Estas proyecciones utilizan la proyección en perspectiva , desde un punto de vista específico en cuatro dimensiones, proyectando el modelo como una sombra 3D. Por lo tanto, las caras y las celdas que se ven más grandes simplemente están más cerca del punto de vista 4D.

Una comparación de las proyecciones en perspectiva del dodecaedro 3D con respecto a 2D (abajo a la izquierda) y las proyecciones del dodecaedro 4D de 120 celdas con respecto a 3D (abajo a la derecha) demuestra dos métodos de proyección en perspectiva relacionados, por analogía dimensional. Los diagramas de Schlegel utilizan la perspectiva para mostrar la profundidad en la dimensión que se ha aplanado, eligiendo un punto de vista sobre una celda específica, haciendo así que esa celda sea la envoltura del modelo, con otras celdas que aparecen más pequeñas dentro de ella. Las proyecciones estereográficas utilizan el mismo enfoque, pero se muestran con bordes curvos, representando el politopo esférico como un mosaico de una esfera tridimensional . Ambos métodos distorsionan el objeto, porque las celdas en realidad no están anidadas una dentro de la otra (se encuentran cara a cara) y todas tienen el mismo tamaño. Existen otros métodos de proyección en perspectiva, como las animaciones rotatorias anteriores, que no exhiben este tipo particular de distorsión, sino algún otro tipo de distorsión (como deben hacerlo todas las proyecciones).

Proyecciones ortogonales

Las proyecciones ortogonales de la celda 120 se pueden realizar en 2D definiendo dos vectores de base ortonormales para una dirección de vista específica. La proyección 30-gonal fue realizada en 1963 por BL Chilton. ^[43]

La proyección decagonal H3 muestra el plano del polígono de van Oss .

También se pueden realizar proyecciones ortogonales tridimensionales con tres vectores base ortonormales y mostrarlas como un modelo 3D, para luego proyectar una determinada perspectiva en 3D para obtener una imagen 2D.

Poliedros y panales relacionados

yo4politopos

El polinomio de 120 células es uno de los 15 politopos regulares y uniformes con la misma simetría H ₄ [3,3,5]: ^[45]

{p,3,3} politopos

El politopo de 120 celdas es similar a tres politopos de 4 celdas regulares : el politopo de 5 celdas {3,3,3} y el teseracto {4,3,3} del espacio de 4 celdas euclidiano, y el panal de teselas hexagonales {6,3,3} del espacio hiperbólico. Todos ellos tienen una figura de vértice tetraédrica {3,3}:

politopos {5,3,p}

La celda de 120 es parte de una secuencia de 4 politopos y panales con celdas dodecaédricas :

120 células tetraédricamente disminuidas

Dado que el politopo de 120 puntos y 600 celdas tiene 5 celdas de 600 inscritas disjuntas, se puede reducir mediante la eliminación de una de esas celdas de 600 puntos y 120 celdas, creando un politopo irregular de 480 puntos y 480 celdas. ^[bp]

En el dodecaedro tetraédricamente disminuido , 4 vértices se truncan en triángulos equiláteros. Las 12 caras del pentágono pierden un vértice y se convierten en trapecios.

Cada celda dodecaédrica del poliedro de 120 celdas se reduce al eliminar 4 de sus 20 vértices, lo que crea un poliedro irregular de 16 puntos llamado dodecaedro tetraédricamente disminuido porque los 4 vértices eliminados forman un tetraedro inscrito en el dodecaedro. Como la figura del vértice del dodecaedro es el triángulo, cada vértice truncado se reemplaza por un triángulo. Las 12 caras del pentágono se reemplazan por 12 trapecios, ya que se elimina un vértice de cada pentágono y dos de sus aristas se reemplazan por la cuerda diagonal del pentágono. ^[au] El dodecaedro tetraédricamente disminuido tiene 16 vértices y 16 caras: 12 caras de trapecio y cuatro caras de triángulo equilátero.

Como la figura del vértice de la celda de 120 es el tetraedro, ^[bl] cada vértice truncado se reemplaza por un tetraedro, lo que deja 120 celdas de dodecaedro tetraédricamente disminuido y 120 celdas de tetraedro regular. El dodecaedro regular y el dodecaedro tetraédricamente disminuido tienen ambos 30 aristas, y el dodecaedro regular de 120 celdas y el dodecaedro tetraédricamente disminuido tienen ambos 1200 aristas.

La celda de 120 disminuida de 480 puntos puede llamarse celda de 120 disminuida tetraédricamente porque sus celdas están disminuidas tetraédricamente, o celda de 120 disminuida de 600 celdas porque los vértices eliminados formaron una celda de 600 inscrita en la celda de 120, o incluso celda de 120 disminuida regular de 5 celdas porque al eliminar los 120 vértices se elimina un vértice de cada una de las 120 celdas regulares de 5 inscritas, dejando 120 tetraedros regulares. ^[d]

Davis de 120 celdas

La celda de 120 de Davis , introducida por Davis (1985), es una variedad hiperbólica compacta de 4 dimensiones obtenida mediante la identificación de las caras opuestas de la celda de 120, cuya cubierta universal da el panal regular {5,3,3,5} del espacio hiperbólico de 4 dimensiones.

Véase también

• Familia uniforme de 4 politopos con simetría [5,3,3]
• 57 celdas : un politopo abstracto regular de 4 elementos construido a partir de 57 hemidodecaedros.
• 600 celdas : el doble politopo de 4 celdas para 120 celdas

Notas

1. En el modelo de 120 celdas, 3 dodecaedros y 3 pentágonos se encuentran en cada arista. 4 dodecaedros, 6 pentágonos y 4 aristas se encuentran en cada vértice. El ángulo diedro (entre hiperplanos dodecaédricos) es de 144°. ^[3]
2. La celda de 120 contiene instancias de todos los politopos 1, 2, 3 y 4 regulares convexos, excepto los polígonos regulares {7} y ​​superiores, la mayoría de los cuales no aparecen. {10} es una excepción notable que sí aparece. Varios polígonos oblicuos regulares {7} y ​​superiores aparecen en la celda de 120, en particular {11}, ^[am] {15} ^[ac] y {30}. ^[v]
3. Los 4-politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida del contenido cuatridimensional (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, encierra más contenido cuatridimensional dentro del mismo radio. El 4-símplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño, y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de denominación numérica alternativo para los politopos regulares en los que el de 120 celdas es el 4-politopo de 600 puntos: sexto y último en la secuencia ascendente que comienza con el 4-politopo de 5 puntos.

4. 

   En el triacontagrama {30/12}=6{5/2} ,
   seis de las 120 celdas de 5 celdas regulares disjuntas con una longitud de arista de √ 2,5 que están inscritas en la celda de 120 aparecen como seis pentagramas, el polígono de Clifford de la celda de 5. Los 30 vértices comprenden un polígono de Petrie de la celda de 120, ^[v] con 30 aristas en zigzag (no se muestran) y 3 grandes decágonos inscritos (aristas no se muestran) que se encuentran en paralelo a Clifford con respecto al plano de proyección. ^[x]

   En la celda de radio unitario de 120 celdas se inscriben 120 celdas de 5 celdas regulares disjuntas, ^[12] con una longitud de arista de √ 2,5 . Ningún politopo de 4 celdas regular, excepto la celda de 5 celdas y la celda de 120 celdas, contiene cuerdas de √ 2,5 (la cuerda n.° 8). ^[e] La celda de 120 celdas contiene 10 celdas de 600 celdas inscritas distintas que pueden tomarse como 5 celdas de 600 celdas disjuntas de dos maneras diferentes. Cada cuerda de √ 2,5 conecta dos vértices en celdas de 600 celdas disjuntas y, por lo tanto, en celdas de 24, 8 y 16 celdas disjuntas. ^[i] Tanto las aristas de la celda de 5 celdas como las aristas de la celda de 120 celdas conectan vértices en celdas de 600 celdas disjuntas. Los politopos correspondientes del mismo tipo en celdas disjuntas de 600 elementos son paralelos a Clifford y están separados por una distancia de √ 2,5 . Cada celda de 5 elementos contiene un vértice de cada una de las 5 celdas disjuntas de 600 elementos. ^[y] .
5. Múltiples instancias de cada uno de los 4-politopos convexos regulares se pueden inscribir en cualquiera de sus 4-politopos sucesores más grandes, excepto el más pequeño, el regular de 5 celdas, que aparece inscrito solo en el más grande, el de 120 celdas. ^[i] Para entender la forma en que los 4-politopos se anidan unos dentro de otros, es necesario distinguir cuidadosamente las instancias múltiples disjuntas de las instancias múltiples meramente distintas de 4-politopos inscritos. Por ejemplo, la celda 120 de 600 puntos es la envoltura convexa de un compuesto de 75 celdas 16 de 8 puntos que son completamente disjuntas: no comparten vértices y 75 * 8 = 600. Pero también es posible seleccionar 675 celdas 16 distintas dentro de las 120 celdas, la mayoría de los pares de las cuales comparten algunos vértices, porque dos celdas 16 concéntricas de radio igual pueden rotarse entre sí de modo que compartan 2 vértices (un eje), o incluso 4 vértices (un gran plano cuadrado), mientras que sus vértices restantes no son coincidentes. ^[j] En el espacio 4, dos politopos 4 regulares congruentes cualesquiera pueden ser concéntricos pero rotarse entre sí de modo que compartan solo un subconjunto común de sus vértices. Sólo en el caso del 4-símplex (el 5-cell regular de 5 puntos) ese subconjunto común de vértices debe estar siempre vacío, a menos que sean los 5 vértices. Es imposible rotar dos 4-símplex concéntricos uno con respecto al otro de modo que algunos, pero no todos, de sus vértices sean coincidentes: sólo pueden ser completamente coincidentes, o completamente disjuntos. Sólo el 4-símplex tiene esta propiedad; el 16-cell, y por extensión cualquier 4-politopo regular más grande, puede estar rotado con respecto a sí mismo de modo que el par comparta algunos, pero no todos, de sus vértices. Intuitivamente podemos ver cómo esto se sigue del hecho de que sólo el 4-símplex no posee ningún vértice opuesto (ningún eje central de 2 vértices) que pueda ser invariante después de una rotación. Las 120 celdas contienen 120 5 celdas regulares completamente disjuntas, que son sus únicas 5 celdas regulares inscritas distintas, pero cualquier otra anidación de 4 politopos regulares presenta cierta cantidad de 4 politopos inscritos disjuntos y una cantidad mayor de 4 politopos inscritos distintos.
6. (Coxeter 1973) utiliza la letra griega 𝝓 (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Debido a que 𝝓 se utiliza comúnmente para representar la constante de proporción áurea ≈ 1,618, para la que Coxeter utiliza 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y utilizamos 𝝉 para representar el ángulo característico.
7. Para obtener las 600 coordenadas mediante la multiplicación cruzada de cuaterniones de las coordenadas de estos tres 4-politopos con menos redundancia, es suficiente incluir sólo un vértice de las 24 celdas: ( √ 1/2 , √ 1/2 , 0, 0). ^[9]
8. Los 600 vértices de la celda de 120 pueden dividirse en los de 5 celdas de 600 vértices inscritas disjuntas de 120 de dos maneras diferentes. ^[31] La geometría de esta partición 4D es dimensionalmente análoga a la partición 3D de los 20 vértices del dodecaedro en 5 tetraedros inscritos disjuntos, que también puede hacerse de dos maneras diferentes porque cada celda dodecaédrica contiene dos conjuntos opuestos de 5 celdas tetraédricas inscritas disjuntas. La celda de 120 puede dividirse de manera análoga al dodecaedro porque cada una de sus celdas dodecaédricas contiene una celda tetraédrica de cada una de las 10 celdas de 600 inscritas.
9. Existe una relación geométrica entre el 5-celda regular (4-símplex) y el 16-celda regular (4-ortoplex), pero se manifiesta solo indirectamente a través del 3-símplex y el 5-ortoplex . Un -símplex está limitado por vértices y facetas ( -1)-símplex, y tiene diámetros largos (sus aristas) de radios de longitud. Un -ortoplex está limitado por vértices y facetas ( -1)-símplex, y tiene diámetros largos (sus ejes ortogonales) de radios de longitud. Un -cubo está limitado por vértices y facetas ( -1)-cubo, y tiene diámetros largos de radios de longitud. ^[bb] Los diámetros largos del 3-cubo son más cortos que los ejes del 3-ortoplex. Las coordenadas del 4-ortoplex son las permutaciones de , y las coordenadas del 4-espacio de una de sus 16 facetas (un 3-símplex) son las permutaciones de . ^[bc] Los diámetros largos del 4-cubo tienen la misma longitud que los ejes del 4-ortoplex. Las coordenadas del 5-ortoplex son las permutaciones de , y las coordenadas del 5-espacio de una de sus 32 facetas (un 4-símplex) son las permutaciones de . ^[bd] Los diámetros largos del 5-cubo son más largos que los ejes del 5-ortoplex. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\sqrt {n+1}}/{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n-1}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle (0,0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,1)}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle (0,0,0,0,\pm 1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,0,1)}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$
10. La celda de 120 tiene 600 vértices distribuidos simétricamente en la superficie de una esfera tridimensional en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones. Los vértices se encuentran en pares antípodas, y las líneas que pasan por pares antípodas de vértices definen los 300 rayos [o ejes] de la celda de 120. Llamaremos base a cualquier conjunto de cuatro rayos (o direcciones) mutuamente ortogonales . Los 300 rayos forman 675 bases, y cada rayo se encuentra en 9 bases y es ortogonal a sus 27 compañeros distintos en estas bases y a ningún otro rayo. Los rayos y las bases constituyen una configuración geométrica , que en el lenguaje de las configuraciones se escribe como 300 ₉ 675 ₄ para indicar que cada rayo pertenece a 9 bases, y cada base contiene 4 rayos. ^[28] Cada base corresponde a una celda de 16 distinta que contiene cuatro ejes ortogonales y seis grandes cuadrados ortogonales. Se pueden seleccionar 75 celdas de 16 celdas completamente disjuntas que contienen los 600 vértices de las 120 celdas de las 675 celdas de 16 celdas distintas. ^[e]
11. La celda 120 puede construirse como un compuesto de 5 celdas 600 disjuntas, ^[h] o 25 celdas 24 disjuntas, o 75 celdas 16 disjuntas, o 120 celdas 5 disjuntas. Excepto en el caso de las 120 celdas 5, ^[e] estos no son recuentos de todos los 4-politopos regulares distintos que se pueden encontrar inscritos en la celda 120, solo los recuentos de 4-politopos inscritos completamente disjuntos que cuando se componen forman la envoltura convexa de la celda 120. La celda 120 contiene 10 celdas 600 distintas, 225 celdas 24 distintas y 675 celdas 16 distintas. ^[j]
12. Todas las isoclinas de 3 esferas de la misma circunferencia son círculos directamente congruentes. Un círculo máximo ordinario es una isoclina de circunferencia ; las rotaciones simples de politopos de radio unitario tienen lugar en isoclinas de 2𝝅. Las rotaciones dobles pueden tener isoclinas de otras que no sean de circunferencia. La rotación característica de un 4-politopo regular es la rotación isoclínica en la que los planos centrales que contienen sus aristas son planos de rotación invariantes. El de 16 y 24 celdas rota en las aristas sobre isoclinas de 4𝝅 de circunferencia. El de 600 celdas rota en las aristas sobre isoclinas de 5𝝅 de circunferencia. ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle 2\pi r}$
13. Una isoclina es un círculo máximo cerrado, curvo y helicoidal a través de las cuatro dimensiones. A diferencia de un círculo máximo ordinario, no se encuentra en un solo plano central, sino que como cualquier círculo máximo, cuando se ve dentro del espacio tridimensional curvo de la superficie límite del 4-politopo, es una línea recta , una geodésica . Tanto los círculos máximos ordinarios como los círculos máximos isoclinas son helicoidales en el sentido de que los haces paralelos de círculos máximos están vinculados y giran en espiral uno alrededor del otro, pero ninguno está realmente torcido (no tienen torsión inherente). Su curvatura no es propia, sino una propiedad de la curvatura natural de la 3-esfera, dentro de cuyo espacio curvo son segmentos de línea recta finitos (cerrados). ^[l] Para evitar confusiones, siempre nos referimos a una isoclina como tal, y reservamos el término círculo máximo para un círculo máximo ordinario en el plano.
14. Una rotación isoclínica ^{[o] es una} rotación doble con ángulo de equirotación en dos planos centrales de rotación invariantes completamente ortogonales al mismo tiempo. Cada rotación isoclínica discreta tiene dos ángulos de arco característicos (longitudes de cuerda), su ángulo de rotación y su ángulo isoclino . ^[t] En cada paso de rotación incremental desde el vértice al vértice vecino, cada plano de rotación invariante gira por el ángulo de rotación, y también se inclina lateralmente (como una moneda lanzada) por un ángulo de rotación igual. ^[an] Por lo tanto, cada vértice gira en un círculo máximo en un incremento de ángulo de rotación, mientras que simultáneamente todo el círculo máximo gira con el círculo máximo completamente ortogonal en un incremento de ángulo de rotación igual. ^[aq] El producto de estos dos incrementos de rotación de círculo máximo simultáneos e iguales es un desplazamiento general de cada vértice por el incremento del ángulo isoclino (la longitud de la cuerda isoclina). Por lo tanto, el ángulo de rotación mide el desplazamiento del vértice en el marco de referencia de un círculo máximo en movimiento, y también el desplazamiento lateral del círculo máximo en movimiento (la distancia entre el polígono del círculo máximo y el polígono del círculo máximo paralelo de Clifford adyacente al que lo lleva la rotación) en el marco de referencia estacionario. La longitud de la cuerda isoclina es el desplazamiento total del vértice en el marco de referencia estacionario, que es una cuerda oblicua entre los dos polígonos de círculo máximo adyacentes (la distancia entre sus vértices correspondientes en la rotación).
15. Se requieren dos ángulos para especificar la separación entre dos planos en el espacio cuatridimensional. ^[11] Si los dos ángulos son idénticos, los dos planos se denominan isoclínicos (también paralelos de Clifford ) y se intersecan en un único punto. En rotaciones dobles , los puntos rotan dentro de planos centrales de rotación invariantes en algún ángulo, y todo el plano central de rotación invariante también se inclina lateralmente (en un plano central de rotación invariante ortogonal) en algún ángulo. Por lo tanto, cada vértice atraviesa una curva suave helicoidal llamada isoclina ^[m] entre dos puntos en diferentes planos centrales, mientras atraviesa un círculo máximo ordinario en cada uno de los dos planos centrales ortogonales (a medida que los planos se inclinan con respecto a sus planos originales). Si los dos ángulos ortogonales son idénticos, la distancia recorrida a lo largo de cada círculo máximo es la misma, y ​​la rotación doble se denomina isoclínica (también un desplazamiento de Clifford ). Una rotación que lleva planos centrales isoclínicos entre sí es una rotación isoclínica. ^[n]
16. El plano central invariante de la rotación isoclínica característica de las 120 celdas ^[ac] contiene un gran hexágono irregular {6} con aristas alternas de dos longitudes diferentes: 3 aristas de 120 celdas de longitud 𝜁 = √ 0.𝜀 (cuerdas n.° 1) y 3 aristas regulares inscritas de 5 celdas de longitud √ 2,5 (cuerdas n.° 8). Estas son, respectivamente, las aristas más cortas y más largas de cualquier 4-politopo regular. ^[ae] Cada gran hexágono irregular se encuentra completamente ortogonal a otro gran hexágono irregular. ^[af] Las 120 celdas contienen 400 grandes hexágonos irregulares distintos (200 pares completamente ortogonales), que se pueden dividir en 100 grandes hexágonos irregulares disjuntos (una fibración discreta de las 120 celdas) de cuatro formas diferentes. Cada fibración tiene su rotación isoclínica izquierda (y derecha) distintiva en 50 pares de planos centrales invariantes completamente ortogonales. Dos grandes hexágonos irregulares ocupan el mismo plano central, en posiciones alternadas, de la misma manera que dos grandes pentágonos ocupan un gran plano decágono. Los dos grandes hexágonos irregulares forman un gran dodecágono irregular, un polígono circular compuesto de 120 celdas que se ilustra por separado. ^[q]

17. 

    El dodecágono de 120 celdas tiene 200 planos centrales que intersecan 12 vértices cada uno, formando un dodecágono irregular con aristas alternadas de dos longitudes diferentes. En el dodecágono están inscritos dos grandes hexágonos regulares (negro), ^[ax] dos grandes hexágonos irregulares ( rojo ), ^[p] y cuatro grandes triángulos equiláteros (solo se muestra uno, en verde ).

    El dodecágono irregular de 120 celdas tiene un polígono circular máximo de 6 aristas (cuerdas n.° 1 marcadas con 𝜁 ) alternadas con 6 diámetros de celdas dodecaédricas ( cuerdas n.° 4 ). ^[at] El dodecágono irregular máximo contiene dos hexágonos irregulares máximos ( rojo ) inscritos en posiciones alternas. ^[p] Dos hexágonos regulares máximos con aristas de un tercer tamaño ( √ 1 , la cuerda n.° 5) también están inscritos en el dodecágono. ^[ax] Las doce aristas regulares del hexágono (cuerdas n.° 5), las seis aristas del diámetro de la celda del dodecágono (cuerdas n.° 4) y las seis aristas de 120 celdas del dodecágono (cuerdas n.° 1) son todas cuerdas del mismo círculo máximo, pero las otras 24 aristas en zigzag (cuerdas n.° 1, no mostradas) que unen las seis aristas n.° 4 del dodecágono no se encuentran en este plano del círculo máximo. Los planos irregulares del gran dodecágono de 120 celdas, sus planos irregulares del gran hexágono, sus planos regulares del gran hexágono y sus planos equiláteros del gran triángulo son el mismo conjunto de planos del dodecágono. La celda de 120 contiene 200 de estos {12} planos centrales (100 pares completamente ortogonales), los mismos 200 planos centrales que contienen cada uno un hexágono que se encuentran en cada una de las 10 celdas inscritas de 600. ^[aw]
18. Los politopos de 5, 8 y 120 celdas tienen figuras de vértices tetraédricas. En un politopo de 4 celdas con una figura de vértices tetraédricos, un camino a lo largo de las aristas no se encuentra en un círculo máximo ordinario en un único plano central: cada arista sucesiva se encuentra en un plano central diferente al de la arista anterior. En el politopo de 120 celdas, el camino circunferencial de 30 aristas a lo largo de las aristas sigue un polígono de Petrie en zigzag, que no es un círculo máximo. Sin embargo, existe un camino circunferencial de 15 cuerdas que es un verdadero círculo máximo geodésico a través de esos 15 vértices: pero no es un círculo máximo "plano" ordinario de circunferencia 2𝝅𝑟, es una isoclina helicoidal ^[m] que se dobla en un círculo en dos planos centrales completamente ortogonales a la vez, circulando a través de cuatro dimensiones en lugar de confinar a un plano bidimensional. ^[ab] El conjunto de cuerdas oblicuas de una isoclina se denomina polígono de Clifford . ^[ag]
19. En las rotaciones isoclínicas de las 120 celdas, el ángulo de arco de rotación es de 12° (1/30 de un círculo), no el arco de 15,5~° de la cuerda de la arista n.° 1. Independientemente de qué planos centrales sean los planos de rotación invariantes, cualquier rotación isoclínica de 12° en las 120 celdas llevará al gran polígono de cada plano central a un gran polígono congruente en un plano central paralelo de Clifford que está a 12° de distancia. Los grandes polígonos paralelos de Clifford adyacentes (de todo tipo) son completamente disjuntos, y sus vértices más cercanos están conectados por dos aristas de las 120 celdas (cuerdas n.° 1 de longitud de arco de 15,5~°). El ángulo de rotación de 12° no es el arco de ninguna cuerda de vértice a vértice en las 120 celdas. Se presenta únicamente como los dos ángulos iguales entre planos centrales paralelos de Clifford adyacentes , ^[o] y es la separación entre planos de rotación adyacentes en todas las diversas rotaciones isoclínicas de las 120 celdas (no sólo en su rotación característica).
20. Cada clase de rotación isoclínica discreta ^[n] se caracteriza por sus ángulos de rotación e isoclina y por qué conjunto de planos centrales paralelos de Clifford son sus planos invariantes de rotación. La rotación isoclínica característica de un 4-politopo es la clase de rotación isoclínica discreta en la que el conjunto de planos de rotación invariantes contiene las aristas del 4-politopo; hay una rotación izquierda (y derecha) distinta para cada conjunto de planos centrales paralelos de Clifford (cada fibración de Hopf de los planos de las aristas). Si las aristas del 4-politopo forman círculos máximos regulares, el ángulo de rotación de la rotación característica es simplemente el ángulo de arco de la arista (la cuerda de la arista es simplemente la cuerda de rotación). Pero en un 4-politopo regular con una figura de vértice tetraédrica ^[r] las aristas no forman círculos máximos regulares, forman círculos máximos irregulares en combinación con otra cuerda. Por ejemplo, los bordes de la cuerda n.° 1 de la celda 120 son bordes de un gran dodecágono irregular que también tiene bordes de cuerda n.° 4. ^[q] En un politopo de 4 elementos, el ángulo de rotación no es el ángulo del arco de la arista; de hecho, no es necesariamente el arco de ninguna cuerda del vértice. ^[s]
21. Las √ 2 aristas y 4𝝅 rotaciones características ^[l] de la celda de 16 yacen en los planos centrales del gran cuadrado ☐ ; las rotaciones de este tipo son una expresión del grupo de simetría ${\displaystyle B_{4}}$ . Las √ 1 aristas, √ 3 cuerdas y 4𝝅 rotaciones características de la celda de 24 yacen en los planos centrales del gran triángulo (gran hexágono) △ ; las rotaciones de este tipo son una expresión del grupo de simetría. Las aristas y 5𝝅 rotaciones características de la celda de 600 yacen en los planos centrales del gran pentágono (gran decágono) 𝜙 ; estas cuerdas son funciones de √ 5 , y las rotaciones de este tipo son una expresión del grupo de simetría . Los polígonos y las rotaciones características de la celda regular de 5 no yacen en un solo plano central; describen un pentagrama oblicuo ✩ o un poligrama oblicuo más grande y solo forman polígonos frontales, no polígonos centrales; las rotaciones de este tipo son expresiones del grupo de simetría. ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle H_{4}}$ ${\displaystyle A_{4}}$

22. 

    En el triacontagrama {30/9}=3{10/3} vemos el polígono de Petrie de 120 celdas (en la circunferencia del 30-gono, con aristas de 120 celdas no mostradas) como un compuesto de tres grandes decágonos de 600 celdas paralelos de Clifford (vistos como tres decagramos disjuntos {10/3}) que se enroscan en espiral uno alrededor del otro. Las aristas de 600 celdas (cuerdas n.° 3) conectan vértices que están separados por 3 aristas de 600 celdas (en un círculo máximo) y 9 aristas de 120 celdas (en un polígono de Petrie). Los tres grandes decágonos disjuntos {10/3} de aristas de 600 celdas delinean un solo anillo de 30 tetraedros de hélice de Boerdijk-Coxeter de un tetraedro inscrito de 600 celdas.

    Tanto la hélice de 120 celdas como la de 600 celdas tienen polígonos de Petrie de 30 ágonos. ^[ai] Son dos hélices oblicuas de 30 ágonos distintas, compuestas por 30 aristas de 120 celdas (cuerdas n.° 1) y 30 aristas de 600 celdas (cuerdas n.° 3) respectivamente, pero se presentan en pares completamente ortogonales que giran en espiral alrededor del mismo eje del gran círculo de 0 ágonos. La hélice de Petrie de la de 120 celdas se acerca más al eje que la de la de 600 celdas , porque sus 30 aristas son más cortas que las 30 aristas de la de 600 celdas (y zigzaguean en ángulos menos agudos). Un par dual ^[ai] de estas hélices de Petrie de diferentes radios que comparten un eje no tienen ningún vértice en común; son completamente disjuntas. ^[al] La hélice de Petrie de 120 celdas (en comparación con la hélice de Petrie de 600 celdas) gira alrededor del eje 0-gon 9 veces (en comparación con 11 veces) en el curso de una órbita circular, formando un poligrama sesgado {30/9}=3{10/3} (en comparación con un poligrama sesgado {30/11} ). ^[am]
23. En 600 celdas § Decágonos y pentadecagramas , véase la ilustración del triacontagrama {30/6}=6{5} .
24. Inscritos en los 3 grandes decágonos paralelos de Clifford de cada polígono helicoidal de Petrie de 120 celdas ^[d] hay 6 grandes pentágonos ^[w] en los que los 6 pentagramas (de 5 celdas regulares) parecen estar inscritos, pero los pentagramas están sesgados (no paralelos al plano de proyección); cada 5 celdas en realidad tiene vértices en 5 planos centrales decágono-pentágono diferentes en 5 600 celdas completamente disjuntas.
25. Las 120 celdas regulares de 5 están completamente disjuntas. Cada celda de 5 contiene dos pentágonos de Petrie distintos de sus aristas #8, circuitos pentagonales que unen entre sí 5 celdas de 600 disjuntas en una rotación isoclínica característica de la celda de 5. Pero los vértices de dos celdas de 5 disjuntas no están unidos por aristas de 5 celdas, por lo que cada circuito distinto de cuerdas #8 está confinado a una sola celda de 5, y no hay otros circuitos de aristas de 5 celdas (cuerdas #8) en las 120 celdas.
26. Cada isoclina del pentadecagrama blanco o negro actúa como isoclina derecha en una rotación isoclínica derecha distinta y como isoclina izquierda en una rotación isoclínica izquierda distinta, pero las isoclinas no tienen quiralidad inherente. ^[m] Ninguna isoclina es a la vez una isoclina derecha e izquierda de la misma rotación izquierda-derecha discreta (la misma fibración).
27. La rotación isoclínica característica de la celda 120, en los planos invariantes en los que se encuentran sus aristas (cuerdas n.° 1), lleva esas aristas a aristas similares en planos centrales paralelos de Clifford. Dado que una rotación isoclínica ^[n] es una rotación doble (en dos planos centrales invariantes completamente ortogonales a la vez), en cada paso de rotación incremental desde el vértice al vértice vecino, los vértices se desplazan entre planos centrales en isoclinas helicoidales de círculo máximo, no en círculos máximos ordinarios, ^[m] sobre una cuerda isoclina que en esta rotación particular es una cuerda n.° 4 de 44,5~° de longitud de arco. ^[ar]
28. La isoclina característica ^[m] de las 120 celdas es un pentadecagrama oblicuo de 15 cuerdas #4. Las cuerdas #4 sucesivas de cada pentadecagrama se encuentran en diferentes planos centrales △ que están inclinados isoclínicamente entre sí a 12°, que es 1/30 de un círculo máximo (pero no el arco de una arista de 120 celdas, la cuerda #1). ^[s] Esto significa que los dos planos están separados por dos ángulos iguales de 12°, ^[o] y están ocupados por grandes polígonos paralelos de Clifford adyacentes (grandes hexágonos irregulares) cuyos vértices correspondientes están unidos por cuerdas #4 oblicuas. Los vértices sucesivos de cada pentadecagrama son vértices en 5 celdas completamente disjuntas. Cada pentadecagrama es un camino de cuerda #4 ^[r] que visita 15 vértices que pertenecen a tres 5 celdas diferentes. Los dos pentadecagramas que se muestran en la proyección {30/8}=2{15/4} ^[ac] visitan las seis celdas de 5 que aparecen como seis pentagramas disjuntos en la proyección {30/12}=6{5/2}. ^[d]

29. 

    En el triacontagrama {30/8}=2{15/4} , se ven
    dos isoclinas disjuntas del pentadecagrama : una isoclina negra y una blanca (mostradas aquí en naranja y amarillo tenue) de la rotación isoclínica característica de 120 celdas. ^[z] Los bordes del pentadecagrama son cuerdas n.° 4 ^[aa] que unen vértices que están separados por 8 vértices en la circunferencia de 30 vértices de esta proyección, el polígono de Petrie en zigzag. ^[ab]

    La rotación isoclínica característica ^[t] de la celda de 120 tiene lugar en los planos invariantes de sus 1200 aristas ^[r] y las 1200 aristas opuestas de sus celdas regulares inscritas de 5. ^[p] Hay cuatro rotaciones isoclínicas derechas (e izquierdas) características distintas, cada par izquierda-derecha corresponde a una fibración de Hopf discreta . ^[13] En cada rotación, los 600 vértices circulan sobre isoclinas helicoidales de 15 vértices, siguiendo un círculo geodésico ^[m] con 15 cuerdas #4 que forman un pentadecagrama {15/4}. ^[ab]

30. 

    El polígono de Petrie de la celda 120 es un triacontágono regular oblicuo {30}. ^[ah] Los 30 bordes de la cuerda n.° 1 no se encuentran todos en el mismo polígono de círculo máximo {30}, sino que se encuentran en grupos de 6 (igualmente espaciados alrededor de la circunferencia) en 5 polígonos de círculo máximo {12} paralelos de Clifford. ^[q]

    El polígono de Petrie de 120 celdas contiene 80 polígonos de Petrie de 30 ágonos distintos de sus 1200 aristas, y se puede dividir en 20 polígonos de Petrie de 30 ágonos disjuntos. ^[ai] El polígono de Petrie de 30 ágonos gira alrededor de su eje del gran círculo de 0 ágonos 9 veces en el curso de una órbita circular, y se puede ver como un triacontagrama compuesto {30/9}=3{10/3} de aristas de 600 celdas (cuerdas n.° 3) que unen pares de vértices que están separados por 9 vértices en el polígono de Petrie. ^[v] El {30/9}-grama (con sus aristas de cuerda n.° 3) es una secuencia alternativa de los mismos 30 vértices que el polígono de Petrie de 30 ágonos (con sus aristas de cuerda n.° 1).
31. Cada cuerda √ 2,5 está atravesada por 8 aristas en zigzag de un 30-gono de Petrie, ^[ad] ninguna de las cuales se encuentra en el círculo máximo del hexágono irregular. Alternativamente, la cuerda √ 2,5 está atravesada por 9 aristas en zigzag, una de las cuales (sobre su punto medio) se encuentra en el mismo círculo máximo. ^[p]
32. Aunque perpendiculares y vinculados (como eslabones adyacentes de una cadena tensa), los grandes polígonos completamente ortogonales también son paralelos y se encuentran exactamente opuestos entre sí en el 4-politopo, en planos que no se intersecan excepto en un punto, el centro común de los dos círculos vinculados.
33. La trayectoria de la cuerda de una isoclina ^[m] puede llamarse el polígono de Clifford del 4-politopo , ya que es la forma del poligrama oblicuo de los círculos rotacionales atravesados ​​por los vértices del 4-politopo en su desplazamiento característico de Clifford . ^[o]
34. La circunferencia de 30 aristas del anillo de 120 celdas sigue un polígono de Petrie oblicuo, no un polígono de círculo máximo. El polígono de Petrie de cualquier politopo de 4 es una hélice en zigzag que se desvía en espiral a través del espacio tridimensional curvo de la superficie del politopo de 4. ^[aj] Las 15 cuerdas numeradas del anillo de 120 celdas se dan como la distancia entre dos vértices en ese anillo helicoidal de 30 vértices. ^[ak] Esas 15 distancias pitagóricas distintas a través del espacio tridimensional varían desde la longitud de arista del anillo de 120 celdas que une dos vértices cualesquiera más cercanos en el anillo (la cuerda n.° 1), hasta la longitud del eje (diámetro) del anillo de 120 celdas que une dos vértices antípodas (más distantes) en el anillo (la cuerda n.° 15).
35. El 30-gono oblicuo regular es el polígono de Petrie de la celda de 600 y su dual de la celda de 120. Los polígonos de Petrie de la celda de 120 aparecen en la celda de 600 como duales de los anillos helicoidales de Boerdijk-Coxeter de 30 celdas (los polígonos de Petrie de la celda de 600): ^[am] conectar sus 30 centros de celdas tetraédricas produce los polígonos de Petrie de la celda dual de 120, como observó Rolfdieter Frank (circa 2001). Así descubrió que el conjunto de vértices de la celda de 120 se divide en 20 polígonos de Petrie que no se intersecan. Este conjunto de 20 polígonos oblicuos paralelos de Clifford disjuntos es una fibración de Hopf discreta de la celda de 120 (así como sus 20 anillos duales de 30 celdas son una fibración discreta de la celda de 600 ). ^[v]
36. El polígono de Petrie de un politopo de 3 caras (poliedro) con caras triangulares (por ejemplo, un icosaedro) puede verse como una tira lineal de caras unidas por las aristas dobladas en un anillo. Dentro de esa tira circular de triángulos unidos por las aristas (10 en el caso del icosaedro), el polígono de Petrie puede distinguirse como un polígono oblicuo de aristas que zigzaguean (no giran) a través del espacio de 2 caras de la superficie del poliedro: se doblan alternativamente hacia la izquierda y la derecha y se mueven en eslalon alrededor de un eje de círculo máximo que pasa por los triángulos pero no interseca ningún vértice. El polígono de Petrie de un politopo de 4 caras (policorone) con celdas tetraédricas (por ejemplo, una celda de 600) puede verse como una hélice lineal de celdas unidas por las caras dobladas en un anillo: un anillo de hélice de Boerdijk-Coxeter . Dentro de esa hélice circular de tetraedros unidos por caras (30 en el caso de la celda de 600), el polígono de Petrie oblicuo se puede distinguir como una hélice de aristas que zigzaguean (no giran) a través del espacio tridimensional de la superficie del policoronte: se doblan alternativamente hacia la izquierda y la derecha y giran en espiral alrededor de un eje de gran círculo que pasa a través de los tetraedros pero no interseca ningún vértice.
37. La celda 120 en sí contiene más cuerdas que las 15 cuerdas numeradas del #1 al #15, pero las cuerdas adicionales ocurren solo en el interior de la celda 120, no como bordes de ninguno de los seis 4-politopos convexos regulares o sus anillos de círculo máximo característicos. Las 15 cuerdas mayores están numeradas así porque la cuerda # n conecta dos vértices que están separados por n longitudes de borde en un polígono de Petrie. Hay 30 distancias cordales de 4 espacios distintas entre los vértices de la celda 120 (15 pares de complementos de 180°), incluido el #15, el diámetro de 180° (y su complemento, la cuerda de 0°). En este artículo, nombramos las 15 cuerdas menores no numeradas por sus ángulos de arco, por ejemplo, 41,4~° que, con una longitud de √ 0,5 , cae entre las cuerdas #3 y #4.
38. "En un punto de contacto, [los elementos de un politopo regular y los elementos de su dual en el que está inscrito de alguna manera] se encuentran en subespacios completamente ortogonales del hiperplano tangente a la esfera [de reciprocidad], por lo que su único punto común es el punto de contacto mismo.... De hecho, los [diversos] radios ₀ 𝑹, ₁ 𝑹, ₂ 𝑹, ... determinan los politopos... cuyos vértices son los centros de los elementos 𝐈𝐈 ₀ , 𝐈𝐈 ₁ , 𝐈𝐈 ₂ , ... del politopo original." ^[16]

39. 

    El polígono de Petrie de las 600 celdas inscritas se puede ver en esta proyección al plano de un triacontagrama {30/11}, un 30-gramo de cuerdas #11. El Petrie de 600 celdas es un anillo helicoidal que gira alrededor de su propio eje 11 veces. Esta proyección a lo largo del eje del cilindro del anillo muestra los 30 vértices separados 12° alrededor de la sección transversal circular del cilindro, con cuerdas #11 que conectan cada 11.° vértice en el círculo. Las aristas de las 600 celdas (cuerdas #3) que son las aristas del polígono de Petrie no se muestran en esta ilustración, pero podrían dibujarse alrededor de la circunferencia, conectando cada 3.° vértice.

    El polígono de Petrie de 600 celdas es un anillo helicoidal que gira alrededor de su eje de círculo máximo de 0-gonos 11 veces en el curso de una órbita circular. Proyectado al plano completamente ortogonal al plano de 0-gonos, el polígono de Petrie de 600 celdas puede verse como un triacontagrama {30/11} de 30 cuerdas #11 que unen pares de vértices que están separados por 11 vértices en la circunferencia de la proyección. ^[17] El {30/11}-grama (con sus aristas de cuerda #11) es una secuencia alternativa de los mismos 30 vértices que el 30-gono de Petrie (con sus aristas de cuerda #3).
40. En una rotación isoclínica , cada plano invariante es paralelo al plano al que se mueve, y no se intersecan en ningún momento (excepto en el punto central). En una rotación simple , el plano invariante interseca el plano al que se mueve en una línea y se mueve hacia él rotando alrededor de esa línea.
41. El plano en el que un plano invariante entero gira (se inclina lateralmente) es (incompletamente) ortogonal a ambos planos invariantes completamente ortogonales, y también paralelo en el sentido de Clifford a ambos. ^[af]
42. La rotación isoclínica de 90 grados de dos planos completamente ortogonales los lleva uno hacia el otro. En tal rotación de un 4-politopo rígido, los 6 planos ortogonales rotan 90 grados y también se inclinan lateralmente 90 grados con respecto a su plano completamente ortogonal (paralelo a Clifford). ^[18] Los vértices correspondientes de los dos grandes polígonos completamente ortogonales están separados √ 4 (180°); los grandes polígonos (politopos paralelos a Clifford) están separados √ 4 (180°); pero los dos planos completamente ortogonales están separados 90°, en los dos ángulos ortogonales que los separan. ^[o] Si se continúa la rotación isoclínica otros 90°, cada vértice completa una rotación de 360° y cada gran polígono vuelve a su plano original, pero con una orientación diferente (ejes intercambiados): ha sido girado "al revés" sobre la superficie del 4-politopo (que ahora está "al revés"). Si se continúa con una segunda rotación isoclínica de 360° (a través de cuatro pasos isoclínicos de 90° por 90°, una rotación de 720°), todo vuelve a su lugar y orientación originales.
43. Es más fácil visualizar esto incorrectamente , porque los círculos máximos completamente ortogonales son paralelos de Clifford y no se intersecan (excepto en el punto central). Tampoco lo hacen el plano invariante y el plano al que se mueve. Un plano invariante se inclina lateralmente en un plano central ortogonal que no es su plano completamente ortogonal, sino paralelo de Clifford a él. Gira con su plano completamente ortogonal, pero no en él. Es paralelo de Clifford a su plano completamente ortogonal y al plano al que se mueve, y no los interseca; el plano en el que gira es ortogonal a todos estos planos y los interseca a todos. ^[ao] En la rotación característica de 120 celdas, ^[ac] cada plano de rotación invariante es paralelo de Clifford a su plano completamente ortogonal, pero no adyacente a él; alcanza primero algún otro plano paralelo (más cercano). Pero si la rotación isoclínica que la lleva a través de sucesivos planos paralelos de Clifford continúa a través de 90°, los vértices se habrán movido 180° y el plano de rotación inclinado alcanzará su plano (original) completamente ortogonal. ^[ap]
44. La cuerda isoclina de la rotación característica de 120 celdas ^[ac] es la cuerda #4 de ángulo de arco de 44,5~° (el borde más grande del gran dodecágono irregular), porque en esa rotación isoclina por dos ángulos de rotación iguales de 12° ^[s] cada vértice se mueve a otro vértice a 4 longitudes de borde de distancia en un polígono de Petrie, y la trayectoria geodésica circular en la que gira (su isoclina) ^[m] no interseca ningún vértice más cercano.
45. Las longitudes de las cuerdas de raíz cuadrada fraccionaria se dan como fracciones decimales donde:
           𝚽 ≈ 0,618 es la proporción áurea inversa .1/φ⁠
           𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 ² = ⁠1/φ2^​⁠ ≈ 0.382
           𝜀 = 𝚫 ² /2 = ⁠1/2φ4^​⁠ ≈ 0,073
    y la longitud del borde de 120 celdas es:
           𝛇 = √ 𝜀 = ⁠1/√ 2 φ ²⁠ ≈ 0.270
    Por ejemplo:
           𝛇 = √ 0.𝜀 = √ 0.073~ ≈ 0.270
46. En la celda dodecaédrica de la celda de radio unitario de 120, la longitud del borde (la cuerda n.° 1 de la celda de 120) es1/φ2√2^​​​⁠ ≈ 0,270. Ocho vértices naranjas se encuentran en las coordenadas cartesianas (±φ ³ √ 8 , ±φ ³ √ 8 , ±φ ³ √ 8 ) con respecto al origen en el centro de la celda. Forman un cubo (líneas discontinuas) con una longitud de arista de ⁠1/φ √ 2⁠ ≈ 0,437 (la diagonal del pentágono y la cuerda n.° 2 de la celda de 120). Las diagonales de las caras del cubo (no se muestran) tienen una longitud de arista de ⁠1/φ⁠ ≈ 0,618 son las aristas de las celdas tetraédricas inscritas en el cubo (aristas de 600 celdas y la cuerda n.° 3 de las 120 celdas). El diámetro del dodecaedro es ⁠√ 3/φ √ 2≈ 0,757 (la diagonal del cubo y la cuerda n.° 4 de la celda 120).
47. La diagonal del pentágono de la cara (la cuerda n.° 2) está en la proporción áurea φ ≈ 1,618 con respecto a la arista del pentágono de la cara (la arista de 120 celdas, la cuerda n.° 1). ^[at]
48. La cuerda n.° 2 une vértices que están separados por 2 longitudes de arista: los vértices de la figura de vértice tetraédrica de 120 celdas, la segunda sección de las 120 celdas que comienza con un vértice, denotado 1 ₀ . Las cuerdas n.° 2 son las aristas de este tetraedro y las cuerdas n.° 1 son sus radios largos. Las cuerdas n.° 2 también son cuerdas diagonales de las caras del pentágono de 120 celdas. ^[au]
49. La celda de 120 contiene diez celdas de 600 que se pueden dividir en cinco celdas de 600 completamente disjuntas de dos maneras diferentes. ^[h] Las diez celdas de 600 ocupan el mismo conjunto de 200 planos centrales irregulares del gran dodecágono. ^[q] Hay exactamente 400 hexágonos regulares en la celda de 120 (dos en cada plano central del dodecágono), y cada una de las diez celdas de 600 contiene su propio subconjunto distinto de 200 de ellos (uno de cada plano central del dodecágono). Cada celda de 600 contiene solo uno de los dos hexágonos regulares opuestos inscritos en cualquier plano central del dodecágono, así como contiene solo uno de los dos tetraedros opuestos inscritos en cualquier celda dodecaédrica. Cada celda de 600 es disjunta de otras 4 celdas de 600 y comparte hexágonos con otras 5 celdas de 600. ^[bo] Cada par disjunto de 600 celdas ocupa el par opuesto de grandes hexágonos disjuntos en cada plano central del dodecágono. Cada par no disjunto de 600 celdas se interseca en 16 hexágonos que forman un dodecágono de 24 celdas. El dodecágono de 120 celdas contiene 9 veces más celdas de 24 distintas (225) que celdas de 24 disjuntas (25). ^[j] Cada celda de 24 celdas se encuentra en 9 celdas de 600, está ausente en una sola celda de 600 y es compartida por dos celdas de 600.

50. 

    Triacontagrama {30/5}=5{6} , el triangulo de Petrie sesgado de 120 celdas como un compuesto de 5 grandes hexágonos.

    Cada arista mayor del hexágono es el eje de un zigzag de 5 aristas de 120 celdas. El polígono de Petrie de 120 celdas es un zigzag helicoidal de 30 aristas de 120 celdas, que se despliega en espiral alrededor de un eje de círculo máximo de 0 polígonos que no interseca ningún vértice. ^[v] Hay 5 grandes hexágonos inscritos en cada polígono de Petrie, en cinco planos centrales diferentes. ^[aw]
51. El polígono de Petrie de la celda de 5 es el pentagrama {5/2}. El polígono de Petrie de la celda de 120 es el triacontágono {30}, y una de sus muchas proyecciones al plano es el triacontagrama {30/12}=6{5/2}. ^[ad] Cada 6{5/2}-gramo de Petrie de 120 celdas se encuentra completamente ortogonal a seis {5/2}-gramos de Petrie de 5 celdas, que pertenecen a seis de las 120 celdas regulares disjuntas de 5 celdas inscritas en la celda de 120. ^[d]
52. La suma de las longitudes al cuadrado de todas las cuerdas distintas de cualquier n-politopo convexo regular de radio unitario es el cuadrado del número de vértices. ^[19]
53. Los dodecaedros surgen como características visibles en el grupo de 120 células, pero también aparecen en el grupo de 600 células como politopos interiores . ^[22]
54. Las facetas del -símplex son más grandes que las facetas del -ortoplex. Para , las longitudes de las aristas de los sistemas de 5, 16 y 8 celdas están en la razón de a a . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
55. Cada 3-cara del 4-ortoplex, un tetraedro que permuta , y su 3-cara completamente ortogonal que permuta , comprenden los 8 vértices del 4-ortoplex. De manera única, el 4-ortoplex es también el 4- demicubeo , la mitad de los vértices del 4-cubo. Esta relación entre el 4-símplex, el 4-ortoplex y el 4-cubo es exclusiva de . Las facetas 3-símplex completamente ortogonales del 4-ortoplex son un par de 3-demicubeos que ocupan vértices alternos de 3-cubos completamente ortogonales en el mismo 4-cubo. Proyectados ortogonalmente en el mismo 3-hiperplano, los dos 3-caras serían dos tetraedros inscritos en el mismo 3-cubo. (De manera más general, los politopos completamente ortogonales son reflejos especulares entre sí). ${\displaystyle (0,0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,-1)}$ ${\displaystyle n=4}$
56. Cada 4-caras del 5-ortoplex, un 4-símplex (de 5 celdas) permutando y su 4-caras permutando completamente ortogonal , comprenden los 10 vértices del 5-ortoplex. ${\displaystyle (0,0,0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,0,0,0,-1)}$
57. Ningún par de vértices de ninguna de las 120 celdas de 5 (ningún gran plano central digónico de una celda de 5 ) aparece en ninguna de las 675 celdas de 16 (los 675 conjuntos de bases cartesianas de 6 planos centrales ortogonales ). ^[j]
58. En el espacio tridimensional curvo de la superficie de 120 celdas, cada uno de los 600 vértices está rodeado por 15 pares de secciones poliédricas, cada una de las cuales se encuentra a la distancia "radial" de una de las 30 cuerdas distintas. El vértice no está en realidad en el centro del poliedro, porque está desplazado en la cuarta dimensión fuera del hiperplano de la sección, de modo que el vértice del vértice y el poliedro de la base que lo rodea forman una pirámide poliédrica . La cuerda característica es radial alrededor del vértice, como los bordes laterales de la pirámide.
59. Las rotaciones isoclínicas toman planos paralelos de Clifford entre sí, ya que los planos de rotación se inclinan lateralmente como monedas al lanzarse. ^[n] El puente de cuerda #4 ^[aa] es significativo en una rotación isoclínica en grandes hexágonos regulares (la rotación característica de 24 celdas ), en la que los planos de rotación invariantes son un subconjunto de los mismos planos centrales del dodecágono 200 que la rotación característica de 120 celdas (en grandes hexágonos irregulares ). ^[ac] En cada arco de 12° ^[ar] de la rotación característica de 24 celdas de las 120 celdas, cada vértice del gran hexágono regular se desplaza a otro vértice, en un gran hexágono regular paralelo de Clifford que está a una cuerda #4 de distancia. Los grandes hexágonos regulares paralelos de Clifford adyacentes tienen seis pares de vértices correspondientes unidos por cuerdas #4. Los seis acordes #4 son aristas de seis grandes rectángulos distintos en seis planos centrales dodecágonos disjuntos que son mutuamente paralelos en el sentido de Clifford.
60. Esta ilustración muestra sólo uno de los tres grandes dodecágonos irregulares relacionados que se encuentran en tres planos centrales △ distintos. Dos de ellos (no se muestran) se encuentran en planos dodecágonos paralelos de Clifford (disjuntos) y no comparten vértices. El rectángulo central azul de las aristas n.° 4 y n.° 11 se encuentra en un tercer plano dodecágono, no paralelo de Clifford a ninguno de los dos planos dodecágonos disjuntos y que los interseca a ambos; comparte dos vértices (un eje √ 4 del rectángulo) con cada uno de ellos. Cada plano dodecágono contiene dos grandes hexágonos irregulares en posiciones alternadas (no se muestran). ^[q] Por lo tanto, cada cuerda n.° 4 del gran rectángulo mostrado es un puente entre dos grandes hexágonos irregulares paralelos de Clifford que se encuentran en los dos planos dodecágonos que no se muestran. ^[bg]
61. La celda regular de 5 celdas tiene solo planos centrales de digones que intersecan dos vértices. La celda de 120 con 120 celdas regulares de 5 celdas inscritas contiene grandes rectángulos cuyos bordes más largos son estos digones, los bordes de las celdas de 5 celdas inscritas de longitud √ 2,5 . Tres rectángulos disjuntos ocurren en un plano central {12}, donde las seis cuerdas #8 √ 2,5 pertenecen a seis celdas de 5 celdas disjuntas. Las secciones 12 ₀ y 18 ₀ son tetraedros regulares de longitud de borde √ 2,5 , las celdas de las celdas regulares de 5 celdas. Las diez caras triangulares de las celdas regulares de 5 celdas se encuentran en esas secciones; cada una de las tres aristas √ 2,5 de una cara se encuentra en un plano central {12} diferente.
62. En el grupo de 120 celdas, cada celda de 24 pertenece a dos celdas de 600 diferentes. ^[25] El grupo de 120 celdas contiene 225 celdas de 24 distintas y se puede dividir en 25 celdas de 24 disjuntas, por lo que es la envoltura convexa de un compuesto de 25 celdas de 24. ^[26]
63. Los 10 tetraedros de cada dodecaedro se superponen; pero los 600 tetraedros de cada 600 celdas no, por lo que cada uno de los 10 debe pertenecer a una celda 600 diferente.
64. Cada figura de vértice de 120 celdas es en realidad una pirámide tetraédrica baja, una pirámide irregular de 5 celdas con una base tetraédrica regular.
65. Como vimos en las 600 celdas , estos 12 tetraedros pertenecen (en pares) a los 6 grupos icosaédricos de veinte celdas tetraédricas que rodean cada grupo de cinco celdas tetraédricas.
66. Un sistema de 24 celdas contiene 16 hexágonos. En el sistema de 600 celdas, con 25 celdas de 24 celdas, cada celda de 24 celdas es disjunta de 8 celdas de 24 celdas e interseca cada una de las otras 16 celdas de 24 celdas en seis vértices que forman un hexágono. ^[42] Un sistema de 600 celdas contiene 25・16/2 = 200 de estos hexágonos.
67. Cada gran hexágono regular es compartido por dos celdas de 24 en las mismas celdas de 600, ^[bn] y cada celda de 24 es compartida por dos celdas de 600. ^[bj] Cada hexágono regular es compartido por cuatro celdas de 600.
68. La disminución del politopo de 120 celdas de 600 puntos a un politopo de 480 puntos mediante la eliminación de una de sus 600 celdas es análoga a la disminución del politopo de 600 celdas de 120 puntos mediante la eliminación de una de sus 5 celdas de 24 inscritas disjuntas, creando el politopo de 24 celdas romo de 96 puntos. De manera similar, el teseracto de 8 celdas puede verse como un politopo de 24 celdas disminuido de 16 puntos del que se ha eliminado una celda de 16 de 8 puntos.

Citas

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5. Dechant 2021, Abstract; "[E]very 3D root system allows the construction of a corresponding 4D root system via an ‘induction theorem’. In this paper, we look at the icosahedral case of H3 → H4 in detail and perform the calculations explicitly. Clifford algebra is used to perform group theoretic calculations based on the versor theorem and the Cartan-Dieudonné theorem ... shed[ding] light on geometric aspects of the H4 root system (the 600-cell) as well as other related polytopes and their symmetries ... including the construction of the Coxeter plane, which is used for visualising the complementary pairs of invariant polytopes.... This approach therefore constitutes a more systematic and general way of performing calculations concerning groups, in particular reflection groups and root systems, in a Clifford algebraic framework."
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    $${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}}$$
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15. Coxeter 1973, pp. 300–301, Table V:(v) Simplified sections of {5,3,3} (edge 2φ⁻²√2 [radius 4]) beginning with a vertex; Coxeter's table lists 16 non-point sections labelled 1₀ − 16₀, polyhedra whose successively increasing "radii" on the 3-sphere (in column 2la) are the following chords in our notation:^[ak] #1, #2, #3, 41.4~°, #4, 49.1~°, 56.0~°, #5, 66.1~°, 69.8~°, #6, 75.5~°, 81.1~°, 84.5~°, #7, 95.5~°, ..., #15. The remaining distinct chords occur as the longer "radii" of the second set of 16 opposing polyhedral sections (in column a for (30−i)₀) which lists #15, #14, #13, #12, 138.6~°, #11, 130.1~°, 124~°, #10, 113.9~°, 110.2~°, #9, #8, 98.9~°, 95.5~°, #7, 84.5~°, ..., or at least they occur among the 180° complements of all those Coxeter-listed chords. The complete ordered set of 30 distinct chords is 0°, #1, #2, #3, 41.4~°, #4, 49.1~°, 56~°, #5, 66.1~°, 69.8~°, #6, 75.5~°, 81.1~°, 84.5~°, #7, 95.5~°, #8, #9, 110.2°, 113.9°, #10, 124°, 130.1°, #11, 138.6°, #12, #13, #14, #15. The chords also occur among the edge-lengths of the polyhedral sections (in column 2lb, which lists only: #2, .., #3, .., 69.8~°, .., .., #3, .., .., #5, #8, .., .., .., #7, ... because the multiple edge-lengths of irregular polyhedral sections are not given).
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External links

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• Der 120-Zeller (120-cell) Marco Möller's Regular polytopes in R⁴ (German)
• 120-cell explorer – A free interactive program that allows you to learn about a number of the 120-cell symmetries. The 120-cell is projected to 3 dimensions and then rendered using OpenGL.
• Construction of the Hyper-Dodecahedron
• YouTube animation of the construction of the 120-cell Gian Marco Todesco.