En matemáticas , la categoría de homotopía es una categoría construida a partir de la categoría de espacios topológicos que en cierto sentido identifica dos espacios que tienen la misma forma. De hecho, la frase se utiliza para dos categorías diferentes (pero relacionadas), como se analiza a continuación.
De manera más general, en lugar de comenzar con la categoría de espacios topológicos, se puede comenzar con cualquier categoría de modelo y definir su categoría de homotopía asociada, con una construcción introducida por Quillen en 1967. De esta manera, la teoría de la homotopía se puede aplicar a muchas otras categorías en geometría y álgebra .
La categoría de espacios topológicos Top tiene espacios topológicos como objetos y como morfismos los mapas continuos entre ellos. La definición anterior de la categoría de homotopía hTop , denominada categoría de homotopía ingenua [1] para mayor claridad en este artículo, tiene los mismos objetos y un morfismo es una clase de homotopía de mapas continuos. Es decir, dos mapas continuos f : X → Y se consideran iguales en la categoría de homotopía ingenua si uno puede deformarse continuamente en el otro. Hay un functor de Top a hTop que se envía espacios a sí mismos y morfismos a sus clases de homotopía. Un mapa f : X → Y se llama equivalencia de homotopía si se convierte en un isomorfismo en la categoría de homotopía ingenua. [2]
Ejemplo: El círculo S 1 , el plano R 2 menos el origen y la franja de Möbius son todos homotópicos equivalentes, aunque estos espacios topológicos no son homeomórficos .
La notación [ X , Y ] se usa a menudo para el conjunto hom de un espacio X a un espacio Y en la categoría de homotopía ingenua (pero también se usa para las categorías relacionadas que se analizan a continuación).
Quillen (1967) enfatizó otra categoría que simplifica aún más la categoría de espacios topológicos. Los teóricos de la homotopía tienen que trabajar con ambas categorías de vez en cuando, pero el consenso es que la versión de Quillen es más importante, por lo que a menudo se la llama simplemente "categoría de homotopía". [3]
Primero se define una equivalencia de homotopía débil : un mapa continuo se llama equivalencia de homotopía débil si induce una biyección en conjuntos de componentes de ruta y una biyección en grupos de homotopía con puntos base arbitrarios. Luego, la (verdadera) categoría de homotopía se define localizando la categoría de espacios topológicos con respecto a las equivalencias de homotopía débil. Es decir, los objetos siguen siendo espacios topológicos, pero se agrega un morfismo inverso para cada equivalencia de homotopía débil. Esto tiene el efecto de que un mapa continuo se convierte en un isomorfismo en la categoría de homotopía si y sólo si es una equivalencia de homotopía débil. Hay funtores obvios desde la categoría de espacios topológicos hasta la categoría de homotopía ingenua (como se define anteriormente), y de allí a la categoría de homotopía.
Los resultados de JHC Whitehead , en particular el teorema de Whitehead y la existencia de aproximaciones CW, [4] dan una descripción más explícita de la categoría de homotopía. Es decir, la categoría de homotopía es equivalente a la subcategoría completa de la categoría de homotopía ingenua que consta de complejos CW . En este sentido, la categoría de homotopía elimina gran parte de la complejidad de la categoría de espacios topológicos.
Ejemplo: Sea X el conjunto de los números naturales {0, 1, 2, ...} y sea Y el conjunto {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, ambos con el Topología subespacial a partir de la línea real . Defina f : X → Y asignando 0 a 0 y n a 1/ n para n positivo. Entonces f es continua y, de hecho, una equivalencia de homotopía débil, pero no es una equivalencia de homotopía. Así, la categoría de homotopía ingenua distingue espacios como X e Y , mientras que se vuelven isomórficos en la categoría de homotopía.
Para los espacios topológicos X e Y , la notación [ X , Y ] puede usarse para el conjunto de morfismos de X a Y ya sea en la categoría de homotopía ingenua o en la categoría de homotopía verdadera, según el contexto.
Una motivación para estas categorías es que muchos invariantes de espacios topológicos se definen en la categoría de homotopía ingenua o incluso en la categoría de homotopía verdadera. Por ejemplo, para una equivalencia de homotopía débil de espacios topológicos f : X → Y , el homomorfismo asociado f * : H i ( X , Z ) → H i ( Y , Z ) de grupos de homología singulares es un isomorfismo para todos los números naturales i . [5] De ello se deduce que, para cada número natural i , la homología singular Hi puede verse como un functor de la categoría de homotopía a la categoría de grupos abelianos . En particular, dos mapas homotópicos de X a Y inducen el mismo homomorfismo en grupos de homología singulares.
La cohomología singular tiene una propiedad aún mejor: es un funtor representable en la categoría de homotopía. Es decir, para cada grupo abeliano A y número natural i , existe un complejo CW K ( A , i ) llamado espacio de Eilenberg-MacLane y una clase de cohomología u en H i ( K ( A , i ), A ) tal que la función resultante
(dando tirando u de regreso a X ) es biyectivo para todos los espacios topológicos X . [6] Aquí debe entenderse que [ X , Y ] significa el conjunto de aplicaciones en la categoría de homotopía verdadera, si se quiere que esta afirmación sea válida para todos los espacios topológicos X. Se mantiene en la categoría de homotopía ingenua si X es un complejo CW.
Una variante útil es la categoría de homotopía de espacios puntiagudos . Un espacio puntiagudo significa un par ( X , x ) con X un espacio topológico y x un punto en X , llamado punto base. La categoría Top * de espacios puntiagudos tiene objetos los espacios puntiagudos, y un morfismo f : X → Y es un mapa continuo que lleva el punto base de X al punto base de Y . La categoría de homotopía ingenua de espacios puntiagudos tiene los mismos objetos, y los morfismos son clases de homotopía de mapas puntiagudos (lo que significa que el punto base permanece fijo durante toda la homotopía). Finalmente, la categoría de homotopía "verdadera" de espacios puntiagudos se obtiene de la categoría Top * invirtiendo los mapas puntiagudos que son equivalencias de homotopía débiles.
Para espacios puntiagudos X e Y , [ X , Y ] puede denotar el conjunto de morfismos de X a Y en cualquier versión de la categoría de homotopía de espacios puntiagudos, según el contexto.
Varias construcciones básicas en la teoría de la homotopía se definen naturalmente en la categoría de espacios puntiagudos (o en la categoría de homotopía asociada), no en la categoría de espacios. Por ejemplo, la suspensión Σ X y el espacio de bucle Ω X se definen para un espacio puntiagudo X y producen otro espacio puntiagudo. Además, el producto smash X ∧ Y es un funtor importante de los espacios puntiagudos X e Y. Por ejemplo, la suspensión se puede definir como
Los funtores de suspensión y de espacio de bucle forman un par de funtores adjuntos , en el sentido de que existe un isomorfismo natural.
para todos los espacios X e Y.
Si bien los objetos de una categoría de homotopía son conjuntos (con estructura adicional), los morfismos no son funciones reales entre ellos, sino clases de funciones (en la categoría de homotopía ingenua) o "zigzags" de funciones (en la categoría de homotopía). De hecho, Freyd demostró que ni la categoría ingenua de homotopía de espacios puntiagudos ni la categoría de homotopía de espacios puntiagudos son una categoría concreta . Es decir, no existe un functor fiel de estas categorías a la categoría de conjuntos . [7]
Existe un concepto más general: la categoría de homotopía de una categoría de modelo . Una categoría modelo es una categoría C con tres tipos distinguidos de morfismos llamados fibraciones , cofibraciones y equivalencias débiles , que satisfacen varios axiomas. La categoría de homotopía asociada se define localizando C con respecto a las equivalencias débiles.
Esta construcción, aplicada a la categoría de modelo de espacios topológicos con su estructura de modelo estándar (a veces llamada estructura de modelo de Quillen), da la categoría de homotopía definida anteriormente. Se han considerado muchas otras estructuras modelo en la categoría de espacios topológicos, dependiendo de cuánto se quiera simplificar la categoría. Por ejemplo, en la estructura del modelo de Hurewicz en espacios topológicos, la categoría de homotopía asociada es la categoría de homotopía ingenua definida anteriormente. [8]
La misma categoría de homotopía puede surgir de muchas categorías de modelos diferentes. Un ejemplo importante es la estructura del modelo estándar en conjuntos simpliciales : la categoría de homotopía asociada es equivalente a la categoría de homotopía de espacios topológicos, aunque los conjuntos simpliciales son objetos definidos combinatoriamente que carecen de topología . Algunos topólogos prefieren trabajar con espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta ; nuevamente, con la estructura del modelo estándar, la categoría de homotopía asociada es equivalente a la categoría de homotopía de todos los espacios topológicos. [9]
Para obtener un ejemplo más algebraico de una categoría de modelo, sea A una categoría abeliana de Grothendieck , por ejemplo la categoría de módulos sobre un anillo o la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. Luego hay una estructura modelo en la categoría de complejos de cadenas de objetos en A , siendo las equivalencias débiles los cuasi-isomorfismos . [10] La categoría de homotopía resultante se llama categoría derivada D A .
Finalmente, la categoría de homotopía estable se define como la categoría de homotopía asociada a una estructura de modelo en la categoría de espectros . Se han considerado varias categorías diferentes de espectros, pero todas las definiciones aceptadas arrojan la misma categoría de homotopía.
![{\displaystyle [X,K(A,i)]\a H^{i}(X,A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49212779b977d013e577472447a3a985c4ed8c14)
![{\displaystyle [\Sigma X,Y]\cong [X,\Omega Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22252d11cd74b46c16b27435e8ecb638c6efb861)