Teorema de Tales

En geometría , el teorema de Tales establece que si $A$ , $B$ y $C$ son puntos distintos en un círculo donde la línea $AC$ es un diámetro , el ángulo $∠ ABC$ es un ángulo recto . El teorema de Tales es un caso especial del teorema del ángulo inscrito y se menciona y demuestra como parte de la proposición 31 del tercer libro de los Elementos de Euclides . ^[1] Generalmente se atribuye a Tales de Mileto , pero a veces se atribuye a Pitágoras .

Historia

*Non si est dare primum motum esse*
o se del mezzo cerchio far si puote
triangol sì c'un recto nonauesse.
– *El Paradiso* de Dante , Canto 13, líneas 100-102

*Non si est dare primum motum esse,*
O si en un semicírculo se puede hacer
un triángulo de modo que no tenga ángulo recto.
– Traducción al español de Longfellow

Los matemáticos babilónicos sabían esto para casos especiales antes de que los matemáticos griegos lo demostraran. ^[2]

Tradicionalmente se le atribuye a Tales de Mileto (principios del siglo VI a. C.) la demostración del teorema; sin embargo, incluso en el siglo V a. C. no existía nada de los escritos de Tales, y los doxógrafos posteriores atribuyeron inventos e ideas a hombres de sabiduría como Tales y Pitágoras basándose en rumores y especulaciones. ^[3]^[4]Proclo (siglo V d. C.) y Diógenes Laercio (siglo III d. C.) hicieron referencia a Tales al documentar la declaración de Pánfila (siglo I d. C.) de que Tales "fue el primero en inscribir en un círculo un triángulo rectángulo". ^[5]

Se afirma que Tales viajó a Egipto y Babilonia , donde se supone que aprendió sobre geometría y astronomía y de allí llevó su conocimiento a los griegos, inventando en el camino el concepto de prueba geométrica y demostrando varios teoremas geométricos. Sin embargo, no hay evidencia directa de ninguna de estas afirmaciones, y lo más probable es que fueran racionalizaciones especulativas inventadas. Los académicos modernos creen que la geometría deductiva griega que se encuentra en los Elementos de Euclides no se desarrolló hasta el siglo IV a. C., y cualquier conocimiento geométrico que Tales pudiera haber tenido habría sido observacional. ^[3]^[6]

El teorema aparece en el Libro III de los Elementos de Euclides ( c. 300 a. C. ) como proposición 31: "En un círculo, el ángulo en el semicírculo es recto, el de un segmento mayor es menor que un ángulo recto, y el de un segmento menor es mayor que un ángulo recto; además, el ángulo del segmento mayor es mayor que un ángulo recto, y el ángulo del segmento menor es menor que un ángulo recto".

El Paraíso de Dante Alighieri (canto 13, líneas 101-102) hace referencia al teorema de Tales en el transcurso de un discurso.

Prueba

Primera prueba

Se utilizan los siguientes hechos: la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180° y los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.

Siempre que $AC$ sea un diámetro , el ángulo en $B$ sea constante y recto (90°).
Figura para la prueba.

Como $OA = OB = OC$ , $△ OBA$ y $△ OBC$ son triángulos isósceles, y por la igualdad de los ángulos de la base de un triángulo isósceles, $∠ OBC = ∠ OCB$ y $∠ OBA = ∠ OAB$ .

Sea $α = ∠ BAO$ y $β = ∠ OBC$ . Los tres ángulos internos del triángulo $∆ ABC$ son $α$ , $(α + β)$ y $β$ . Como la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180°, tenemos

{\begin{aligned}\alpha +(\alpha +\beta )+\beta &=180^{\circ }\\2\alpha +2\beta &=180^{\circ }\\2(\alpha +\beta )&=180^{\circ }\\\por lo tanto \alpha +\beta &=90^{\circ }.\end{aligned}}

QED

Segunda prueba

El teorema también puede demostrarse mediante trigonometría : $O = (0, 0)$ , $A = (-1, 0)$ y $C = (1, 0)$ . Entonces, $B$ es un punto en el círculo unitario $(cos θ, sen θ)$ . Demostraremos que $△ ABC$ forma un ángulo recto demostrando que $AB$ y $BC$ son perpendiculares , es decir, el producto de sus pendientes es igual a −1. Calculamos las pendientes de $AB$ y $BC$ :

{\begin{aligned}m_{AB}&={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\\[2pt]m_{BC}&={\frac {y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}}={\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\end{aligned}}

Luego demostramos que su producto es igual a -1:

{\begin{aligned}&m_{AB}\cdot m_{BC}\\[4pt]={}&{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\cdot {\frac {-\sin \theta }{-\cos \theta +1}}\\[4pt]={}&{\frac {-\sin ^{2}\theta }{-\cos ^{2}\theta +1}}\\[4pt]={}&{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta }}\\[4pt]={}&{-1}\end{aligned}}

Nótese el uso de la identidad trigonométrica pitagórica. $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta = 1.$

Tercera prueba

Sea $△ ABC$ un triángulo en un círculo donde $AB$ es un diámetro en ese círculo. Luego, construya un nuevo triángulo $△ ABD$ reflejando $△ ABC$ sobre la línea $AB$ y luego reflejándolo nuevamente sobre la línea perpendicular a $AB$ que pasa por el centro del círculo. Como las líneas $AC$ y $BD$ son paralelas , lo mismo para $AD$ y $CB$ , el cuadrilátero $ACBD$ es un paralelogramo . Como las líneas $AB$ y $CD$ , las diagonales del paralelogramo, son ambas diámetros del círculo y, por lo tanto, tienen la misma longitud, el paralelogramo debe ser un rectángulo. Todos los ángulos en un rectángulo son ángulos rectos.

Conversar

Para cualquier triángulo, y, en particular, cualquier triángulo rectángulo, hay exactamente un círculo que contiene los tres vértices del triángulo. ( Bosquejo de la prueba . El lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos puntos dados es una línea recta que se llama bisectriz perpendicular del segmento de línea que conecta los puntos. Las bisectrices perpendiculares de dos lados cualesquiera de un triángulo se intersecan exactamente en un punto. Este punto debe ser equidistante de los vértices del triángulo.) Este círculo se llama circuncírculo del triángulo.

Una forma de formular el teorema de Tales es: si el centro del círculo circunscrito de un triángulo se encuentra en el triángulo, entonces el triángulo es rectángulo y el centro de su círculo circunscrito se encuentra en su hipotenusa.

El recíproco del teorema de Tales es entonces: el centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo rectángulo se encuentra sobre su hipotenusa. (Equivalentemente, la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el diámetro de su circunferencia circunscrita.)

Demostración del inverso mediante geometría

Esta demostración consiste en 'completar' el triángulo rectángulo para formar un rectángulo y notar que el centro de ese rectángulo es equidistante de los vértices y también lo es el centro del círculo que lo circunscribe al triángulo original, utiliza dos hechos:

Los ángulos adyacentes en un paralelogramo son suplementarios (suman 180°) y,
Las diagonales de un rectángulo son iguales y se cruzan en su punto medio.

Sea un ángulo recto $∠ ABC$ , $r$ una recta paralela a $BC$ que pasa por $A$ , y $s$ una recta paralela a $AB$ que pasa por $C$ . Sea $D$ el punto de intersección de las rectas $r$ y $s$ . (No se ha demostrado que $D$ se encuentre en el círculo.)

El cuadrilátero $ABCD$ forma un paralelogramo por construcción (ya que los lados opuestos son paralelos). Como en un paralelogramo los ángulos adyacentes son suplementarios (suman 180°) y $∠ ABC$ es un ángulo recto (90°), entonces los ángulos $∠ BAD, ∠ BCD, ∠ ADC$ también son rectos (90°); en consecuencia, $ABCD$ es un rectángulo.

Sea $O$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y BD . Entonces, el punto $O$ , por el segundo hecho anterior, es equidistante de $A$ , $B$ y $C.$ Por lo tanto, $O$ es el centro del círculo que lo circunscribe y la hipotenusa del triángulo ( $AC$ ) es un diámetro del círculo.

Prueba alternativa del recíproco usando geometría

Dado un triángulo rectángulo $ABC$ con hipotenusa $AC$ , construya un círculo $Ω$ cuyo diámetro sea $AC$ . Sea $O$ el centro de $Ω$ . Sea $D$ la intersección de $Ω$ y el rayo $OB$ . Por el teorema de Thales, $∠ ADC$ es recto. Pero entonces $D$ debe ser igual a $B$ . (Si $D$ está dentro de $△ ABC$ , $∠ ADC$ sería obtuso, y si $D$ está fuera de $△ ABC$ , $∠ ADC$ sería agudo.)

Demostración del inverso mediante álgebra lineal

Esta prueba utiliza dos hechos:

dos líneas forman un ángulo recto si y sólo si el producto escalar de sus vectores direccionales es cero, y
El cuadrado de la longitud de un vector está dado por el producto escalar del vector consigo mismo.

Sea un ángulo recto $∠ ABC$ y un círculo $M$ con AC como diámetro. Sea el centro de M el origen, para facilitar el cálculo. Entonces sabemos

$A = - C$ , porque el círculo centrado en el origen tiene $AC$ como diámetro, y
$(A - B) \cdot (B - C) = 0$ , porque $∠ ABC$ es un ángulo recto.

Se deduce lo siguiente

{\begin{aligned}0&=(AB)\cdot (BC)\\&=(AB)\cdot (B+A)\\&=|A|^{2}-|B|^{2}.\\[4pt]\por lo tanto \ |A|&=|B|.\end{aligned}}

Esto significa que $A$ y $B$ son equidistantes del origen, es decir, del centro de $M.$ Como $A$ se encuentra en $M$ , también lo está $B$ , y el círculo $M$ es, por lo tanto, el círculo circunscrito del triángulo.

Los cálculos anteriores establecen de hecho que ambas direcciones del teorema de Thales son válidas en cualquier espacio de producto interno .

Generalizaciones y resultados relacionados

Como se indicó anteriormente, el teorema de Tales es un caso especial del teorema del ángulo inscrito (cuya prueba es bastante similar a la primera prueba del teorema de Tales dada anteriormente):

Dados tres puntos

A

B

C

en un círculo con centro

O

, el ángulo

∠ AOC

es el doble del ángulo

∠ ABC

Un resultado relacionado con el teorema de Tales es el siguiente:

Si $AC$ es el diámetro de un círculo, entonces:

Si $B$ está dentro del círculo, entonces $∠ ABC > 90°$
Si $B$ está en el círculo, entonces $∠ ABC = 90°$
Si $B$ está fuera del círculo, entonces $∠ ABC < 90°$ .

Aplicaciones

Construir una tangente a un círculo que pasa por un punto

El teorema de Tales se puede utilizar para construir la tangente a un círculo dado que pasa por un punto dado. En la figura de la derecha, dado el círculo $k$ con centro $O$ y el punto $P$ fuera de $k$ , biseca $OP$ en $H$ y dibuja el círculo de radio $OH$ con centro $H.$ $OP$ es un diámetro de este círculo, por lo que los triángulos que conectan OP con los puntos $T$ y $T'$ donde se cortan los círculos son ambos triángulos rectángulos.

Encontrar el centro de un círculo

El teorema de Tales también se puede utilizar para hallar el centro de un círculo utilizando un objeto con un ángulo recto, como una escuadra o una hoja de papel rectangular más grande que el círculo. ^[7] El ángulo se coloca en cualquier lugar de su circunferencia (figura 1). Las intersecciones de los dos lados con la circunferencia definen un diámetro (figura 2). Si se repite este procedimiento con un conjunto diferente de intersecciones, se obtiene otro diámetro (figura 3). El centro está en la intersección de los diámetros.

Véase también

Notas

^ Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los Elementos de Euclides. Vol. 2 (Libros 3-9) (2.ª ed.). Dover. pág. 61. ISBN 0486600890.Publicado originalmente por Cambridge University Press. Primera edición 1908, segunda edición 1926.
^ de Laet, Siegfried J. (1996). Historia de la humanidad: desarrollo científico y cultural . UNESCO , volumen 3, pág. 14. ISBN 92-3-102812-X
^ ab Dicks, DR (1959). "Thales". The Classical Quarterly . 9 (2): 294–309. doi :10.1017/S0009838800041586.
^ Allen, G. Donald (2000). "Tales of Mileto" (PDF) . Consultado el 12 de febrero de 2012 .
^ Patronis, Tasos; Patsopoulos, Dimitris (enero de 2006). "El teorema de Tales: un estudio de la denominación de los teoremas en los libros de texto de geometría escolar". Revista internacional de historia de la educación matemática : 57–68. ISSN 1932-8826. Archivado desde el original el 25 de abril de 2018.
^ Sidoli, Nathan (2018). "Matemáticas griegas" (PDF) . En Jones, A.; Taub, L. (eds.). Historia de la ciencia de Cambridge: vol. 1, Ciencia antigua . Cambridge University Press. págs. 345–373.
^ Recursos para la enseñanza de las matemáticas: 14-16 Colin Foster

Referencias

Agricola, Ilka ; Friedrich, Thomas (2008). Geometría elemental . AMS. p. 50. ISBN 978-0-8218-4347-5.
Heath, TL (1921). Una historia de las matemáticas griegas: desde Tales hasta Euclides. Vol. I. Oxford. pp. 131 y siguientes.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Teorema de Tales". MathWorld .
Dándole un mordisco a los ángulos inscritos
El teorema de Tales explicado con animación interactiva
Demostraciones del teorema de Thales por Michael Schreiber, The Wolfram Demonstrations Project .