Identidad trigonométrica pitagórica

Relación entre seno y coseno

La identidad trigonométrica pitagórica , también llamada simplemente identidad pitagórica , es una identidad que expresa el teorema de Pitágoras en términos de funciones trigonométricas . Junto con las fórmulas de suma de ángulos , es una de las relaciones básicas entre las funciones seno y coseno .

La identidad es

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.}$

Como de costumbre, significa . ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ ${\textstyle (\sin \theta )^{2}}$

Demostraciones y sus relaciones con el teorema de Pitágoras

Triángulos rectángulos semejantes que muestran el seno y el coseno del ángulo θ

Demostración basada en triángulos rectángulos

Todos los triángulos semejantes tienen la propiedad de que si elegimos el mismo ángulo en todos ellos, la razón de los dos lados que definen el ángulo es la misma independientemente de cuál triángulo semejante se elija, independientemente de su tamaño real: las razones dependen de los tres ángulos, no de las longitudes de los lados. Por lo tanto, para cualquiera de los triángulos rectángulos semejantes de la figura, la razón de su lado horizontal a su hipotenusa es la misma, es decir, cos  θ .

Las definiciones elementales de las funciones seno y coseno en términos de los lados de un triángulo rectángulo son:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {b}{c}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {a}{c}}}$

La identidad pitagórica se obtiene elevando al cuadrado ambas definiciones anteriores y sumando; el lado izquierdo de la identidad se convierte entonces en

${\displaystyle {\frac {\mathrm {opposite} ^{2}+\mathrm {adjacent} ^{2}}{\mathrm {hypotenuse} ^{2}}}}$

que por el teorema de Pitágoras es igual a 1. Esta definición es válida para todos los ángulos, debido a la definición de definir y para el círculo unitario y por tanto y para un círculo de radio c y reflejando nuestro triángulo en el eje y y estableciendo y . ${\displaystyle x=\cos \theta }$ ${\displaystyle y=\sin \theta }$ ${\displaystyle x=c\cos \theta }$ ${\displaystyle y=c\sin \theta }$ ${\displaystyle a=x}$ ${\displaystyle b=y}$

Como alternativa, se pueden emplear las identidades encontradas en la simetría trigonométrica, los desplazamientos y la periodicidad . Mediante las identidades de periodicidad podemos decir que si la fórmula es verdadera para −π < θ ≤ π entonces es verdadera para todos los θ reales . A continuación demostramos la identidad en el rango π/2 < θ ≤ π, para ello hacemos que t = θ − π/2, t estará ahora en el rango 0 < t ≤ π/2. Podemos entonces hacer uso de versiones al cuadrado de algunas identidades de desplazamiento básicas (el cuadrado elimina convenientemente los signos menos):

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =\sin ^{2}\left(t+{\tfrac {1}{2}}\pi \right)+\cos ^{2}\left(t+{\tfrac {1}{2}}\pi \right)=\cos ^{2}t+\sin ^{2}t=1.}$

Todo lo que queda es demostrarlo para −π < θ < 0; esto se puede hacer elevando al cuadrado las identidades de simetría para obtener

${\displaystyle \sin ^{2}\theta =\sin ^{2}(-\theta ){\text{ and }}\cos ^{2}\theta =\cos ^{2}(-\theta ).}$

Identidades relacionadas

Triángulos rectángulos semejantes que ilustran las funciones trigonométricas tangente y secante

Funciones trigonométricas y sus recíprocas en la circunferencia unitaria. El teorema de Pitágoras aplicado al triángulo azul muestra la identidad 1 + cot ²  θ = csc ²  θ , y aplicado al triángulo rojo muestra que 1 + tan ²  θ = sec ²  θ .

Las identidades

${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta }$

y

${\displaystyle 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta }$

También se denominan identidades trigonométricas pitagóricas. ^[1] Si un cateto de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 1, entonces la tangente del ángulo adyacente a ese cateto es la longitud del otro cateto y la secante del ángulo es la longitud de la hipotenusa.

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {b}{a}},}$

y:

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {c}{a}}.}$

De esta manera, esta identidad trigonométrica que involucra la tangente y la secante se desprende del teorema de Pitágoras. El ángulo opuesto al cateto de longitud 1 (este ángulo puede etiquetarse φ = π/2 − θ) tiene cotangente igual a la longitud del otro cateto y cosecante igual a la longitud de la hipotenusa. De esa manera, esta identidad trigonométrica que involucra la cotangente y la cosecante también se desprende del teorema de Pitágoras.

La siguiente tabla da las identidades con el factor o divisor que las relaciona con la identidad principal.

Prueba utilizando el círculo unitario

Punto P (x,y) en el círculo de radio unitario en un ángulo obtuso θ > π/2

Función seno en el círculo unitario (arriba) y su gráfica (abajo)

El círculo unitario centrado en el origen en el plano euclidiano se define mediante la ecuación: ^[2]

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$

Dado un ángulo θ , hay un único punto P en el círculo unitario en un ángulo antihorario de θ desde el eje x , y las coordenadas x e y de P son : ^[3]

${\displaystyle x=\cos \theta \ {\text{ and }}\ y=\sin \theta .}$

En consecuencia, de la ecuación para el círculo unitario:

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1,}$

La identidad pitagórica.

En la figura, el punto P tiene una coordenada x negativa , y está dada apropiadamente por x = cos  θ , que es un número negativo: cos  θ = −cos(π− θ ). El punto P tiene una coordenada  y positiva, y sen θ = sen(π− θ ) > 0. A medida que θ aumenta desde cero hasta el círculo completo θ = 2π, el seno y el coseno cambian de signo en los distintos cuadrantes para mantener x e y con los signos correctos. La figura muestra cómo varía el signo de la función seno a medida que el ángulo cambia de cuadrante.

Como los ejes x e y son perpendiculares, esta identidad de Pitágoras es equivalente al teorema de Pitágoras para triángulos con hipotenusa de longitud 1 (que a su vez es equivalente al teorema de Pitágoras completo al aplicar un argumento de triángulos similares). Consulte Círculo unitario para obtener una breve explicación.

Demostración mediante series de potencias

Las funciones trigonométricas también pueden definirse utilizando series de potencias , a saber (para x un ángulo medido en radianes ): ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},\\\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

Utilizando la fórmula de multiplicación para series de potencias en Multiplicación y división de series de potencias (adecuadamente modificada para tener en cuenta la forma de la serie aquí) obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1)}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n},\\\cos ^{2}x&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(n-i))!}}\right)x^{2n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}.\end{aligned}}}$

En la expresión para sen ² , n debe ser al menos 1, mientras que en la expresión para cos ² , el término constante es igual a 1. Los términos restantes de su suma son (con los factores comunes eliminados)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}=\sum _{j=0}^{2n}(-1)^{j}{2n \choose j}=(1-1)^{2n}=0}$

por el teorema del binomio . En consecuencia,

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,}$

cual es la identidad trigonométrica pitagórica.

Cuando las funciones trigonométricas se definen de esta manera, la identidad en combinación con el teorema de Pitágoras muestra que estas series de potencias parametrizan el círculo unitario, que utilizamos en la sección anterior. Esta definición construye las funciones seno y coseno de manera rigurosa y demuestra que son diferenciables , de modo que, de hecho, subsume las dos anteriores.

Demostración mediante la ecuación diferencial

El seno y el coseno se pueden definir como las dos soluciones de la ecuación diferencial : ^[6]

${\displaystyle y''+y=0}$

que satisfacen respectivamente y (0) = 0, y ′(0) = 1 e y (0) = 1, y ′(0) = 0. De la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias se deduce que la primera solución, seno, tiene como derivada a la segunda, coseno , y de esto se deduce que la derivada del coseno es el negativo del seno. La identidad es equivalente a la afirmación de que la función

${\displaystyle z=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}$

es constante e igual a 1. Derivando mediante la regla de la cadena se obtiene:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}z=2\sin x\cos x+2\cos x(-\sin x)=0,}$

Por lo tanto, z es constante. Un cálculo confirma que z (0) = 1 y z es una constante, por lo que z = 1 para todo x , por lo que se establece la identidad pitagórica.

Se puede completar una prueba similar utilizando series de potencias como las anteriores para establecer que el seno tiene como derivada el coseno, y el coseno tiene como derivada el seno negativo. De hecho, las definiciones por ecuación diferencial ordinaria y por series de potencias conducen a derivaciones similares de la mayoría de las identidades.

Esta prueba de la identidad no tiene conexión directa con la demostración del teorema de Pitágoras por parte de Euclides .

Demostración mediante la fórmula de Euler

Utilizando la fórmula de Euler y factorizando como la diferencia compleja de dos cuadrados , ${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=e^{i\theta }e^{-i\theta }\\[3mu]&=(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )\\[3mu]&=\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta .\end{aligned}}}$

Véase también

• Teorema de Pitágoras
• Lista de identidades trigonométricas
• Círculo unitario
• Serie de potencias
• Ecuación diferencial

Notas

1. Lawrence S. Leff (2005). PreCalculus the Easy Way (7.ª ed.). Serie educativa de Barron. pág. 296. ISBN 0-7641-2892-2.
2. Este resultado se puede hallar utilizando la fórmula de la distancia desde el origen hasta el punto . Véase Cynthia Y. Young (2009). Álgebra y trigonometría (2.ª ed.). Wiley. pág. 210. ISBN ${\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (x,\ y)}$ 978-0-470-22273-7.Este enfoque supone el teorema de Pitágoras. Otra posibilidad es sustituir los valores y determinar que el gráfico es un círculo.
3. Thomas W. Hungerford , Douglas J. Shaw (2008). "§6.2 Las funciones seno, coseno y tangente". Precálculo contemporáneo: un enfoque gráfico (5.ª ed.). Cengage Learning. pág. 442. ISBN 978-0-495-10833-7.
4. James Douglas Hamilton (1994). "Series de potencia". Análisis de series temporales . Princeton University Press. pág. 714. ISBN 0-691-04289-6.
5. Steven George Krantz (2005). "Definición 10.3". Análisis real y fundamentos (2.ª ed.). CRC Press. pp. 269–270. ISBN 1-58488-483-5.
6. Tyn Myint U., Lokenath Debnath (2007). "Ejemplo 8.12.1". Ecuaciones diferenciales parciales lineales para científicos e ingenieros (4.ª ed.). Springer. pág. 316. ISBN 978-0-8176-4393-5.