Casi seguramente

Probabilidad diciendo

En teoría de la probabilidad , se dice que un evento sucede con casi seguridad (a veces abreviado como ) si sucede con probabilidad 1 (con respecto a la medida de probabilidad). ^[1] En otras palabras, el conjunto de resultados en los que el evento no ocurre tiene probabilidad 0, aunque el conjunto no esté vacío. El concepto es análogo al concepto de " casi en todas partes " en la teoría de la medida . En experimentos de probabilidad en un espacio muestral finito con una probabilidad distinta de cero para cada resultado, no hay diferencia entre casi seguro y seguro (ya que tener una probabilidad de 1 implica incluir todos los puntos muestrales ); sin embargo, esta distinción se vuelve importante cuando el espacio muestral es un conjunto infinito , ^[2] porque un conjunto infinito puede tener subconjuntos no vacíos de probabilidad 0.

Algunos ejemplos del uso de este concepto incluyen las versiones fuertes y uniformes de la ley de los grandes números , la continuidad de las trayectorias del movimiento browniano y el teorema del mono infinito . También se utilizan los términos casi con certeza (ac) y casi siempre (aa). Casi nunca describe lo contrario de casi con seguridad : un evento que ocurre con probabilidad cero ocurre casi nunca . ^[3]

Definicion formal

Sea un espacio de probabilidad . Es casi seguro que un evento sucede si . De manera equivalente, sucede casi con seguridad si la probabilidad de que no ocurra es cero : . De manera más general, cualquier conjunto (no necesariamente en ) ocurre casi con seguridad si está contenido en un conjunto nulo : un subconjunto tal que . ^[4] La noción de casi seguridad depende de la medida de probabilidad . Si es necesario enfatizar esta dependencia, se acostumbra decir que el evento ocurre P -casi con seguridad, o casi con seguridad . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P(E)=1}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P(E^{C})=0}$ ${\displaystyle E\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle E^{C}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P(N)=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \left(\!P\right)}$

Ejemplos ilustrativos

En general, un evento puede ocurrir "casi con seguridad", incluso si el espacio de probabilidad en cuestión incluye resultados que no pertenecen al evento, como lo ilustran los siguientes ejemplos.

lanzando un dardo

Imagínese lanzar un dardo a un cuadrado unitario (un cuadrado con un área de 1) de modo que el dardo siempre golpee un punto exacto del cuadrado, de tal manera que cada punto del cuadrado tenga la misma probabilidad de ser golpeado. Dado que el cuadrado tiene área 1, la probabilidad de que el dardo alcance cualquier subregión particular del cuadrado es igual al área de esa subregión. Por ejemplo, la probabilidad de que el dardo dé en la mitad derecha del cuadrado es 0,5, ya que la mitad derecha tiene un área de 0,5.

A continuación, considere el caso de que el dardo golpee exactamente un punto en las diagonales del cuadrado unitario. Dado que el área de las diagonales del cuadrado es 0, la probabilidad de que el dardo caiga exactamente en una diagonal es 0. Es decir, el dardo casi nunca caerá en una diagonal (de manera equivalente, casi con seguridad no caerá en una diagonal) . ), aunque el conjunto de puntos de las diagonales no está vacío y un punto de una diagonal no es menos posible que cualquier otro punto.

Lanzar una moneda repetidamente

Considere el caso en el que se lanza una moneda (posiblemente sesgada), correspondiente al espacio de probabilidad , donde el evento ocurre si se lanza cara y si se lanza cruz. Para esta moneda en particular, se supone que la probabilidad de lanzar cara es , de lo que se deduce que el evento complementario, el de lanzar cruz, tiene probabilidad . ${\displaystyle (\{H,T\},2^{\{H,T\}},P)}$ ${\displaystyle \{H\}}$ ${\displaystyle \{T\}}$ ${\displaystyle P(H)=p\in (0,1)}$ ${\displaystyle P(T)=1-p}$

Ahora, supongamos que se lleva a cabo un experimento en el que se lanza la moneda repetidamente, con resultados y el supuesto de que el resultado de cada lanzamiento es independiente de todos los demás (es decir, son independientes y están distribuidos de manera idéntica ; iid ). Defina la secuencia de variables aleatorias en el espacio de lanzamiento de moneda, donde . es decir, cada uno registra el resultado del décimo lanzamiento. ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots }$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X_{i}(\omega )=\omega _{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$

En este caso, cualquier secuencia infinita de caras y cruces es un resultado posible del experimento. Sin embargo, cualquier secuencia infinita particular de caras y cruces tiene probabilidad 0 de ser el resultado exacto del experimento (infinito). Esto se debe a que el supuesto iid implica que la probabilidad de que salgan todas las caras es simplemente . Dejar produce 0, ya que por supuesto. El resultado es el mismo sin importar cuánto sesguemos la moneda hacia la cara, siempre y cuando la limitemos a estar estrictamente entre 0 y 1. De hecho, el mismo resultado se cumple incluso en análisis no estándar, donde se permiten probabilidades infinitesimales. ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P(X_{i}=H,\ i=1,2,\dots ,n)=\left(P(X_{1}=H)\right)^{n}=p^{n}}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle p\in (0,1)}$ ${\displaystyle p}$

Además, el evento "la secuencia de lanzamientos contiene al menos uno " también ocurrirá casi con seguridad (es decir, con probabilidad 1). Pero si en lugar de un número infinito de lanzamientos, el lanzamiento se detiene después de un tiempo finito, digamos 1.000.000 de lanzamientos, entonces la probabilidad de obtener una secuencia de todas las caras, ya no sería 0, mientras que la probabilidad de obtener al menos una cruz , ya no sería 1 (es decir, el evento ya no es casi seguro). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p^{1,000,000}}$ ${\displaystyle 1-p^{1,000,000}}$

Asintóticamente casi con seguridad

En el análisis asintótico , se dice que una propiedad se cumple asintóticamente casi con seguridad (aas) si en una secuencia de conjuntos, la probabilidad converge a 1. Esto es equivalente a la convergencia en probabilidad . Por ejemplo, en teoría de números, un número grande es asintóticamente compuesto casi con seguridad , según el teorema de los números primos ; y en la teoría de grafos aleatorios , la afirmación " está conectado " (donde denota las gráficas en los vértices con probabilidad de arista ) es verdadera cuando, para algunos ${\displaystyle G(n,p_{n})}$ ${\displaystyle G(n,p)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle p_{n}>{\frac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}.}$   ^[6]

En teoría de números , esto se denomina " casi todos ", como en "casi todos los números son compuestos". De manera similar, en teoría de grafos, esto a veces se denomina "casi con seguridad". ^[7]

Ver también

• Portal de matemáticas

• Casi
• Casi en todas partes , el concepto correspondiente en la teoría de la medida
• Convergencia de variables aleatorias , para "convergencia casi segura"
• Con alta probabilidad
• La regla de Cromwell , que dice que las probabilidades casi nunca deben fijarse en cero o uno.
• Distribución degenerada , para "casi con seguridad constante"
• Teorema del mono infinito , un teorema que utiliza los términos antes mencionados
• Lista de jerga matemática

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Casi seguro". mathworld.wolfram.com . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .
2. "Casi seguramente - Math Central". mathcentral.uregina.ca . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .
3. Grädel, Erich; Kolaítis, Phokion G.; Libkin, Leónidas ; Marx, Martín; Spencer, Joel; Vardi, Moshe Y.; Venema, Ydé; Weinstein, Scott (2007). Teoría de modelos finitos y sus aplicaciones . Saltador. pag. 232.ISBN​ 978-3-540-00428-8.
4. Jacod, Jean; Protter (2004). Conceptos básicos de probabilidad . Saltador. pag. 37.ISBN​ 978-3-540-438717.
5. Williamson, Timothy (1 de julio de 2007). "¿Qué tan probable es una secuencia infinita de cabezas?". Análisis . 67 (3): 173–180. doi : 10.1093/analys/67.3.173. ISSN  0003-2638.
6. Friedgut, Aod; Rödl, Vojtech; Rucinski, Andrzej; Tetali, Prasad (enero de 2006). "Un umbral definido para gráficos aleatorios con un triángulo monocromático en cada color de borde". Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense . 179 (845). Librería AMS: 3–4. doi : 10.1090/memo/0845. ISSN  0065-9266. S2CID  9143933.
7. Spencer, Joel H. (2001). "0. Dos ejemplos iniciales". La extraña lógica de los gráficos aleatorios . Algoritmos y Combinatoria. vol. 22. Saltador. pag. 4.ISBN​ 978-3540416548.

Referencias

• Rogers, LCG; Williams, David (2000). Difusiones, Procesos de Markov y Martingalas . vol. 1: Cimentaciones. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521775946.
• Williams, David (1991). Probabilidad con Martingalas . Libros de texto de matemáticas de Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521406055.