Carácter ciclotómico

En teoría de números , un carácter ciclotómico es un carácter de un grupo de Galois que le da acción a Galois sobre un grupo de raíces de unidad . Como representación unidimensional sobre un anillo R , su espacio de representación generalmente se denota por R (1) (es decir, es una representación χ : G → Aut _R ( R (1)) ≈ GL(1, R ) ) .

pag-carácter ciclotómico ádico

Fije p como primo y sea G _Q el grupo absoluto de Galois de los números racionales . Las raíces de la unidad forman un grupo cíclico de orden , generado por cualquier elección de una primitiva p ⁿ ésima raíz de la unidad ζ _{p ⁿ} . $${\displaystyle \mu _{p^{n}}=\left\{\zeta \in {\bar {\mathbf {Q} }}^{\times }\mid \zeta ^{p^{n}}=1\right\}}$$ ${\displaystyle p^{n}}$

Dado que todas las raíces primitivas son conjugadas de Galois, el grupo de Galois actúa mediante automorfismos. Después de fijar una raíz primitiva de la unidad generadora , cualquier elemento de puede escribirse como una potencia de , donde el exponente es un elemento único en . Así se puede escribir ${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$ ${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}$ ${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \zeta _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \zeta _{p^{n}}}$ ${\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }}$

$${\displaystyle \sigma .\zeta :=\sigma (\zeta )=\zeta _{p^{n}}^{a(\sigma ,n)}}$$

¿Dónde está el elemento único como el anterior, dependiendo de ambos y ? Esto define un homomorfismo de grupo llamado carácter ciclotómico mod p ⁿ : ${\displaystyle a(\sigma ,n)\in (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\chi _{p^{n}}}:G_{\mathbf {Q} }&\to (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\\\sigma &\mapsto a(\sigma ,n),\end{aligned}}}$$el cual es visto como un personaje ya que la acción corresponde a un homomorfismo . ${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }\to \mathrm {Aut} (\mu _{p^{n}})\cong (\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathrm {GL} _{1}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )}$

Fijando y variando , forman un sistema compatible en el sentido de que dan un elemento del límite inverso a las unidades en el anillo de enteros p-ádicos . Así, se ensambla un homomorfismo de grupo llamado carácter ciclotómico p -ádico : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a(\sigma ,n)}$ $${\displaystyle \varprojlim _{n}(\mathbf {Z} /p^{n}\mathbf {Z} )^{\times }\cong \mathbf {Z} _{p}^{\times },}$$ ${\displaystyle {\chi _{p^{n}}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{p}:G_{\mathbf {Q} }&\to \mathbf {Z} _{p}^{\times }\cong \mathrm {GL_{1}} (\mathbf {Z} _{p})\\\sigma &\mapsto (a(\sigma ,n))_{n}\end{aligned}}}$$codifica la acción de sobre todas las raíces de potencia p de la unidad simultáneamente. De hecho, equiparlo con la topología Krull y con la topología p -adic hace que esta sea una representación continua de un grupo topológico. ${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}$ ${\displaystyle \mu _{p^{n}}}$ ${\displaystyle G_{\mathbf {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$

Como sistema compatible deℓ-representaciones ádicas

Al variar ℓ sobre todos los números primos, se obtiene un sistema compatible de representaciones ℓ-ádicas a partir de los caracteres ciclotómicos ℓ -ádicos (al considerar sistemas de representaciones compatibles, la terminología estándar es usar el símbolo ℓ para denotar un primo en lugar de p ) . Es decir, χ = { χ _ℓ } _ℓ es una "familia" de representaciones ℓ -ádicas

${\displaystyle \chi _{\ell }:G_{\mathbf {Q} }\rightarrow \operatorname {GL} _{1}(\mathbf {Z} _{\ell })}$

satisfaciendo ciertas compatibilidades entre diferentes primos. De hecho, los _χℓ forman un sistema estrictamente compatible de representaciones ℓ-ádicas .

Realizaciones geométricas

El carácter ciclotómico p -ádico es el módulo Tate p -ádico del esquema de grupo multiplicativo G _{m , Q} sobre Q. Como tal, su espacio de representación puede verse como el límite inverso de los grupos de p ⁿ ésimas raíces de la unidad en Q.

En términos de cohomología , el carácter ciclotómico p -ádico es el dual del primer grupo de cohomología p -ádico étale de G _m . También se puede encontrar en la cohomología étale de una variedad proyectiva , concretamente la línea proyectiva : es el dual de H ² _ét ( P ¹ ) .

En términos de motivos , el carácter ciclotómico p -ádico es la realización p -ádica del motivo Tate Z (1) . Como motivo de Grothendieck, el motivo de Tate es el dual de H ² ( P ¹ ) . ^{[1] [ se necesita aclaración ]}

Propiedades

El carácter ciclotómico p -ádico satisface varias propiedades interesantes.

• No está ramificado en todos los primos ℓ ≠ p (es decir, el subgrupo de inercia en ℓ actúa de manera trivial).
• Si Frob _ℓ es un elemento de Frobenius para ℓ ≠ p , entonces χ _p (Frob _ℓ ) = ℓ
• Es cristalino en p .

Ver también

• giro de tate

Referencias

1. Sección 3 de Deligne, Pierre (1979), "Valeurs de fonctions L et périodes d'intégrales" (PDF) , en Borel, Armand ; Casselman, William (eds.), Formas, representaciones y funciones L automórficas , Actas del Simposio de Matemática Pura (en francés), vol. 33, Providencia, RI: AMS , pág. 325, ISBN 0-8218-1437-0, SEÑOR  0546622, Zbl  0449.10022