Forma normal de Frobenius

Forma canónica de matrices sobre un cuerpo

En álgebra lineal , la forma normal de Frobenius o forma canónica racional de una matriz cuadrada A con entradas en un cuerpo F es una forma canónica para matrices obtenidas por conjugación de matrices invertibles sobre F. La forma refleja una descomposición mínima del espacio vectorial en subespacios que son cíclicos para A (es decir, abarcados por algún vector y sus imágenes repetidas bajo A ). Dado que solo se puede alcanzar una forma normal a partir de una matriz dada (de ahí lo de "canónica"), una matriz B es similar a A si y solo si tiene la misma forma canónica racional que A. Dado que esta forma se puede encontrar sin ninguna operación que pueda cambiar al extender el cuerpo F (de ahí lo de "racional"), en particular sin factorizar polinomios , esto demuestra que si dos matrices son similares o no no cambia con las extensiones de cuerpo. La forma recibe su nombre del matemático alemán Ferdinand Georg Frobenius .

Algunos autores utilizan el término forma canónica racional para una forma algo diferente que se llama más apropiadamente forma canónica racional primaria . En lugar de descomponerse en un número mínimo de subespacios cíclicos, la forma primaria se descompone en un número máximo de subespacios cíclicos. También se define sobre F , pero tiene propiedades algo diferentes: encontrar la forma requiere factorización de polinomios y, como consecuencia, la forma canónica racional primaria puede cambiar cuando se considera la misma matriz sobre un cuerpo de extensión de F . Este artículo trata principalmente de la forma que no requiere factorización y menciona explícitamente "primaria" cuando se hace referencia a la forma que utiliza factorización.

Motivación

Cuando se intenta averiguar si dos matrices cuadradas A y B son similares, un enfoque consiste en intentar, para cada una de ellas, descomponer el espacio vectorial en la medida de lo posible en una suma directa de subespacios estables y comparar las acciones respectivas sobre estos subespacios. Por ejemplo, si ambas son diagonalizables , entonces se puede realizar la descomposición en espacios propios (para lo cual la acción es lo más simple posible, es decir, mediante un escalar), y luego se puede decidir la similitud comparando los valores propios y sus multiplicidades. Si bien en la práctica este suele ser un enfoque bastante perspicaz, existen varios inconvenientes que tiene como método general. En primer lugar, requiere encontrar todos los valores propios, por ejemplo, como raíces del polinomio característico , pero puede que no sea posible dar una expresión explícita para ellos. En segundo lugar, un conjunto completo de valores propios podría existir solo en una extensión del cuerpo sobre el que se está trabajando, y entonces no se obtiene una prueba de similitud sobre el cuerpo original. Finalmente, A y B podrían no ser diagonalizables incluso sobre este campo más grande, en cuyo caso se debe utilizar una descomposición en espacios propios generalizados y, posiblemente, en bloques de Jordan .

Pero para obtener una descomposición tan fina no es necesario decidir simplemente si dos matrices son similares. La forma canónica racional se basa en utilizar en cambio una descomposición por suma directa en subespacios estables que sean lo más grandes posible, permitiendo al mismo tiempo una descripción muy simple de la acción sobre cada uno de ellos. Estos subespacios deben generarse mediante un único vector distinto de cero v y todas sus imágenes mediante la aplicación repetida del operador lineal asociado a la matriz; tales subespacios se denominan subespacios cíclicos (por analogía con los subgrupos cíclicos ) y son claramente estables bajo el operador lineal. Una base de tal subespacio se obtiene tomando v y sus imágenes sucesivas siempre que sean linealmente independientes . La matriz del operador lineal con respecto a tal base es la matriz compañera de un polinomio mónico ; Este polinomio (el polinomio mínimo del operador restringido al subespacio, noción análoga a la del orden de un subgrupo cíclico) determina la acción del operador sobre el subespacio cíclico hasta el isomorfismo , y es independiente de la elección del vector v que genera el subespacio.

Siempre existe una descomposición por suma directa en subespacios cíclicos, y encontrarla no requiere factorizar polinomios. Sin embargo, es posible que los subespacios cíclicos permitan una descomposición como suma directa de subespacios cíclicos más pequeños (esencialmente por el teorema del resto chino ). Por lo tanto, tener para ambas matrices alguna descomposición del espacio en subespacios cíclicos, y conocer los polinomios mínimos correspondientes, no es en sí suficiente para decidir su similitud. Se impone una condición adicional para asegurar que para matrices similares se obtengan descomposiciones en subespacios cíclicos que coincidan exactamente: en la lista de polinomios mínimos asociados cada uno debe dividir al siguiente (y el polinomio constante 1 tiene prohibido excluir subespacios cíclicos triviales ). La lista resultante de polinomios se llama factores invariantes de (el módulo K [ X ] definido por) la matriz, y dos matrices son similares si y solo si tienen listas idénticas de factores invariantes. La forma canónica racional de una matriz A se obtiene expresándola sobre una base adaptada a una descomposición en subespacios cíclicos cuyos polinomios mínimos asociados son los factores invariantes de A ; dos matrices son similares si y sólo si tienen la misma forma canónica racional.

Ejemplo

Consideremos la siguiente matriz A, sobre Q :

${\displaystyle \scriptstyle A={\begin{pmatrix}-1&3&-1&0&-2&0&0&-2\\-1&-1&1&1&-2&-1&0&-1\\-2&-6&4&3&-8&-4&-2&1\\-1&8&-3&-1&5&2&3&-3\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&-1&0&0&0\\1&0&0&0&2&0&0&0\\0&0&0&0&4&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

A tiene polinomio mínimo , de modo que la dimensión de un subespacio generado por las imágenes repetidas de un único vector es como máximo 6. El polinomio característico es , que es un múltiplo del polinomio mínimo por un factor . Siempre existen vectores tales que el subespacio cíclico que generan tiene el mismo polinomio mínimo que el operador tiene en todo el espacio; de hecho, la mayoría de los vectores tendrán esta propiedad, y en este caso el primer vector base estándar la tiene: los vectores para son linealmente independientes y abarcan un subespacio cíclico con polinomio mínimo . Existen subespacios estables complementarios (de dimensión 2) a este subespacio cíclico, y el espacio generado por los vectores y es un ejemplo. De hecho, uno tiene , por lo que el subespacio complementario es un subespacio cíclico generado por ; tiene polinomio mínimo . Como es el polinomio mínimo de todo el espacio, está claro que debe dividir (y se comprueba fácilmente que lo hace), y hemos encontrado los factores invariantes y de A . Entonces la forma canónica racional de A es la matriz diagonal de bloques con las matrices compañeras correspondientes como bloques diagonales, es decir ${\displaystyle \mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1}$ ${\displaystyle \chi =X^{8}-X^{7}-5X^{6}+2X^{5}+10X^{4}+2X^{3}-7X^{2}-5X-1}$ ${\displaystyle X^{2}-X-1}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle A^{k}(e_{1})}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,5}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle v=(3,4,8,0,-1,0,2,-1)^{\top }}$ ${\displaystyle w=(5,4,5,9,-1,1,1,-2)^{\top }}$ ${\displaystyle A\cdot v=w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle X^{2}-X-1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X^{2}-X-1}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X^{2}-X-1}$ ${\displaystyle \mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1}$

${\displaystyle \scriptstyle C={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&-1\\0&0&1&0&0&0&0&-4\\0&0&0&1&0&0&0&-4\\0&0&0&0&1&0&0&2\\0&0&0&0&0&1&0&4\\0&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

Una base sobre la cual se obtiene esta forma está formada por los vectores anteriores, seguidos de para ; explícitamente esto significa que para ${\displaystyle v,w}$ ${\displaystyle A^{k}(e_{1})}$ ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,5}$

${\displaystyle \scriptstyle P={\begin{pmatrix}3&5&1&-1&0&0&-4&0\\4&4&0&-1&-1&-2&-3&-5\\8&5&0&-2&-5&-2&-11&-6\\0&9&0&-1&3&-2&0&0\\-1&-1&0&0&0&1&-1&4\\0&1&0&0&0&0&-1&1\\2&1&0&1&-1&0&2&-6\\-1&-2&0&0&1&-1&4&-2\end{pmatrix}}}$,

Uno tiene ${\displaystyle A=PCP^{-1}.}$

Caso general y teoría

Fijemos un cuerpo base F y un espacio vectorial de dimensión finita V sobre F . Dado un polinomio P ∈ F [ X ], se le asocia una matriz compañera C _P cuyo polinomio característico y polinomio mínimo son ambos iguales a P .

Teorema : Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo F y A una matriz cuadrada sobre F. Entonces V (considerado como un módulo F [ X ] con la acción de X dada por A ) admite un isomorfismo de módulo F [ X ].

V ≅ F [ X ]/ f ₁ ⊕ … ⊕ F [ X ]/ f _k

donde los f _i ∈ F [ X ] pueden tomarse como polinomios mónicos de grado positivo (por lo que no son unidades en F [ X ]) que satisfacen las relaciones

f1 | f2 _{| …} | fk_​

(donde "a | b" es la notación para " a divide b "); con estas condiciones la lista de polinomios f _i es única.

Bosquejo de la demostración : Aplique el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal a V , viéndolo como un módulo F [ X ]. El teorema de estructura proporciona una descomposición en factores cíclicos, cada uno de los cuales es un cociente de F [ X ] por un ideal propio ; el ideal cero no puede estar presente ya que el módulo libre resultante sería de dimensión infinita como el espacio vectorial F , mientras que V es de dimensión finita. Para los polinomios f _i se toman entonces los generadores mónicos únicos de los ideales respectivos, y dado que el teorema de estructura asegura la contención de cada ideal en el ideal precedente, se obtienen las condiciones de divisibilidad para f _i . Véase [DF] para más detalles.

Dada una matriz cuadrada arbitraria, los divisores elementales utilizados en la construcción de la forma normal de Jordan no existen sobre F [ X ], por lo que se deben utilizar en su lugar los factores invariantes f _i dados anteriormente. El último de estos factores f _k es entonces el polinomio mínimo, al que por tanto dividen todos los factores invariantes, y el producto de los factores invariantes da el polinomio característico. Obsérvese que esto implica que el polinomio mínimo divide al polinomio característico (que es esencialmente el teorema de Cayley-Hamilton ), y que cada factor irreducible del polinomio característico también divide al polinomio mínimo (posiblemente con menor multiplicidad).

Para cada factor invariante f _i se toma su matriz compañera C _{f i} , y la matriz diagonal de bloques formada a partir de estos bloques produce la forma canónica racional de A . Cuando el polinomio mínimo es idéntico al polinomio característico (el caso k  = 1), la forma normal de Frobenius es la matriz compañera del polinomio característico. Como la forma canónica racional está determinada de forma única por los factores invariantes únicos asociados a A , y estos factores invariantes son independientes de la base, se deduce que dos matrices cuadradas A y B son similares si y solo si tienen la misma forma canónica racional.

Una forma normal racional que generaliza la forma normal de Jordan

La forma normal de Frobenius no refleja ninguna forma de factorización del polinomio característico, incluso si existe sobre el cuerpo base F . Esto implica que es invariante cuando F se reemplaza por un cuerpo diferente (siempre que contenga las entradas de la matriz original A ). Por otro lado, esto hace que la forma normal de Frobenius sea bastante diferente de otras formas normales que sí dependen de la factorización del polinomio característico, en particular la forma diagonal (si A es diagonalizable) o, de manera más general, la forma normal de Jordan (si el polinomio característico se divide en factores lineales). Por ejemplo, la forma normal de Frobenius de una matriz diagonal con distintas entradas diagonales es simplemente la matriz compañera de su polinomio característico.

Hay otra forma de definir una forma normal, que, como la forma normal de Frobenius, siempre se define sobre el mismo cuerpo F que A , pero que sí refleja una posible factorización del polinomio característico (o equivalentemente el polinomio minimal) en factores irreducibles sobre F , y que se reduce a la forma normal de Jordan cuando esta factorización solo contiene factores lineales (correspondientes a valores propios). Esta forma ^[1] a veces se denomina forma normal de Jordan generalizada o forma canónica racional primaria . Se basa en el hecho de que el espacio vectorial se puede descomponer canónicamente en una suma directa de subespacios estables correspondientes a los factores irreducibles distintos P del polinomio característico (como se indica en el lemme des noyaux  [fr] ^[2] ), donde el polinomio característico de cada sumando es una potencia del P correspondiente . Estos sumandos se pueden descomponer aún más, de manera no canónica, como una suma directa de módulos cíclicos F [ x ] (como se hace para la forma normal de Frobenius anterior), donde el polinomio característico de cada sumando sigue siendo una potencia (generalmente menor) de P . La forma canónica racional primaria es una matriz diagonal de bloques que corresponde a dicha descomposición en módulos cíclicos, con una forma particular llamada bloque de Jordan generalizado en los bloques diagonales, que corresponde a una elección particular de una base para los módulos cíclicos. Este bloque de Jordan generalizado es en sí mismo una matriz de bloques de la forma

${\displaystyle \scriptstyle {\begin{pmatrix}C&0&\cdots &0\\U&C&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &U&C\end{pmatrix}}}$

donde C es la matriz compañera del polinomio irreducible P , y U es una matriz cuya única entrada distinta de cero es un 1 en la esquina superior derecha. Para el caso de un factor irreducible lineal P = x − λ , estos bloques se reducen a entradas individuales C = λ y U = 1 y, se encuentra un bloque de Jordan ( transpuesto ). En cualquier bloque de Jordan generalizado, todas las entradas inmediatamente debajo de la diagonal principal son 1. Una base del módulo cíclico que da lugar a esta forma se obtiene eligiendo un vector generador v (uno que no sea aniquilado por P ^{k −1} ( A ) donde el polinomio mínimo del módulo cíclico es P ^k ), y tomando como base

${\displaystyle v,A(v),A^{2}(v),\ldots ,A^{d-1}(v),~P(A)(v),A(P(A)(v)),\ldots ,A^{d-1}(P(A)(v)),~P^{2}(A)(v),\ldots ,~P^{k-1}(A)(v),\ldots ,A^{d-1}(P^{k-1}(A)(v))}$

donde d =  grados P.

Véase también

• Forma normal de Smith

Referencias

• [DF] David S. Dummit y Richard M. Foote. Álgebra abstracta . Segunda edición, John Wiley & Sons. págs. 442, 446, 452-458. ISBN  0-471-36857-1 .

1. Phani Bhushan Bhattacharya, Surender Kumar Jain, SR Nagpaul, Álgebra abstracta básica , Teorema 5.4, p.423
2. Xavier Gourdon, Les maths en tête, Mathématiques pour M', Algèbre , 1998, Ellipses, Th. 1 pág. 173

Enlaces externos

• Forma canónica racional (Mathworld)

Algoritmos

• Un algoritmo O(n3) para la forma normal de Frobenius
• Un algoritmo para la forma normal de Frobenius (pdf)
• Un algoritmo en forma racional y canónica (pdf)