Curva en la esfera análoga a una elipse o hipérbola.
En matemáticas , una cónica esférica o esferocónica es una curva en la esfera , la intersección de la esfera con un cono elíptico concéntrico . Es el análogo esférico de una sección cónica ( elipse , parábola o hipérbola ) en el plano y, como en el caso plano, una cónica esférica se puede definir como el lugar geométrico de puntos cuya suma o diferencia de cuyas distancias de círculo máximo se encuentran a dos focos es constante. [1] Al llevar la antípoda a un foco, toda elipse esférica es también una hipérbola esférica , y viceversa. Como curva espacial, una cónica esférica es una cuártica , aunque sus proyecciones ortogonales en tres ejes principales son cónicas planas. Al igual que las cónicas planas, las cónicas esféricas también satisfacen una "propiedad de reflexión": los arcos de círculo máximo desde los dos focos hasta cualquier punto de la cónica tienen la tangente y la normal a la cónica en ese punto como bisectrices de su ángulo.
Muchos teoremas sobre las cónicas en el plano se extienden a las cónicas esféricas. Por ejemplo, el teorema de Graves y el teorema de Ivory sobre las cónicas confocales también se pueden demostrar en la esfera; consulte las secciones cónicas confocales sobre las versiones planas. [2]
Así como la longitud del arco de una elipse viene dada por una integral elíptica incompleta de segundo tipo, la longitud del arco de una cónica esférica viene dada por una integral elíptica incompleta de tercer tipo. [3]
Un sistema de coordenadas ortogonales en el espacio euclidiano basado en esferas concéntricas y conos cuadráticos se denomina sistema de coordenadas cónico o esferocónico. Cuando se restringen a la superficie de una esfera, las coordenadas restantes son cónicas esféricas confocales. A veces esto se denomina sistema de coordenadas elíptico en la esfera, por analogía con un sistema de coordenadas elíptico plano . Estas coordenadas se pueden utilizar en el cálculo de mapas conformes de la esfera al plano. [4]
Aplicaciones
La solución del problema de Kepler en un espacio de curvatura positiva uniforme es una cónica esférica, con un potencial proporcional a la cotangente de la distancia geodésica. [5]
Debido a que preserva las distancias a un par de puntos específicos, la proyección equidistante de dos puntos mapea la familia de cónicas confocales en la esfera en dos familias de elipses e hipérbolas confocales en el plano. [6]
Si una porción de la Tierra se modela como esférica, por ejemplo usando la esfera osculante en un punto de un elipsoide de revolución, las hipérbolas utilizadas en la navegación hiperbólica (que determina la posición basándose en la diferencia en el tiempo de la señal recibida de los transmisores de radio fijos) son esféricas. cónicas. [7]
Notas
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^ Gudermann, Christoph (1835). "Integralia elliptica tertiae speciei reducendi Methodus simplicior, quae simul ad ipsorum applicationem facillimam et computum numericum expeditum perducit. Sección conico–sphaericarum qudratura et rectification" [Un método más sencillo para reducir integrales elípticas de tercer tipo, que proporciona una aplicación sencilla y un cálculo numérico conveniente: Cuadratura y rectificación de secciones cónico-esféricas. Diario de Crelle . 14 : 169–181. Puesto, James (1844). "IV. Sobre la rectificación y cuadratura de la elipse esférica". Revista filosófica y revista científica de Londres, Edimburgo y Dublín . 25 (163): 18–38. doi :10.1080/14786444408644925.
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Referencias
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