Coordenadas cónicas

Superficies de coordenadas de las coordenadas cónicas. Las constantes b y c se eligieron como 1 y 2, respectivamente. La esfera roja representa r ​​= 2 , el cono elíptico azul alineado con el eje z vertical representa μ=cosh(1) y el cono elíptico amarillo alineado con el eje x (verde) corresponde a ν ² = 2/3 . Las tres superficies se intersecan en el punto P (mostrado como una esfera negra) con coordenadas cartesianas aproximadamente (1,26, -0,78, 1,34). Los conos elípticos intersecan la esfera en cónicas esféricas .

Las coordenadas cónicas , a veces llamadas coordenadas esferocónicas o esferocónicas , son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que consiste en esferas concéntricas (descritas por su radio r ) y por dos familias de conos elípticos perpendiculares, alineados a lo largo de los ejes z y x , respectivamente. La intersección entre uno de los conos y la esfera forma una cónica esférica .

Definiciones básicas

Las coordenadas cónicas están definidas por ${\displaystyle (r,\mu ,\nu )}$

${\displaystyle x={\frac {r\mu \nu }{bc}}}$

${\displaystyle y={\frac {r}{b}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)\left(\nu ^{2}-b^{2}\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}}$

${\displaystyle z={\frac {r}{c}}{\sqrt {\frac {\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)\left(\nu ^{2}-c^{2}\right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)}}}}$

con las siguientes limitaciones en las coordenadas

${\displaystyle \nu ^{2}<c^{2}<\mu ^{2}<b^{2}.}$

Las superficies de r constante son esferas de ese radio centradas en el origen.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},}$

mientras que las superficies de constantes y son conos mutuamente perpendiculares ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=0}$

y

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\nu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\nu ^{2}-c^{2}}}=0.}$

En este sistema de coordenadas, tanto la ecuación de Laplace como la ecuación de Helmholtz son separables.

Factores de escala

El factor de escala para el radio r es uno ( h _r = 1 ), como en coordenadas esféricas . Los factores de escala para las dos coordenadas cónicas son

${\displaystyle h_{\mu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\mu ^{2}\right)\left(\mu ^{2}-c^{2}\right)}}}}$

y

${\displaystyle h_{\nu }=r{\sqrt {\frac {\mu ^{2}-\nu ^{2}}{\left(b^{2}-\nu ^{2}\right)\left(c^{2}-\nu ^{2}\right)}}}.}$

Referencias

Bibliografía

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Enlaces externos

• Descripción de las coordenadas cónicas en MathWorld