Un número cíclico es un número entero para el cual las permutaciones cíclicas de los dígitos son múltiplos enteros sucesivos del número. El más conocido es el número de seis cifras 142857 , cuyos primeros seis múltiplos enteros son
- 142857 × 1 = 142857
- 142857 × 2 = 285714
- 142857 × 3 = 428571
- 142857 × 4 = 571428
- 142857 × 5 = 714285
- 142857 × 6 = 857142
Detalles
Para calificar como un número cíclico, se requiere que los múltiplos consecutivos sean permutaciones cíclicas. Por lo tanto, el número 076923 no se consideraría un número cíclico, porque aunque todas las permutaciones cíclicas son múltiplos, no son múltiplos enteros consecutivos:
- 076923 × 1 = 076923
- 076923 × 3 = 230769
- 076923 × 4 = 307692
- 076923 × 9 = 692307
- 076923 × 10 = 769230
- 076923 × 12 = 923076
Normalmente se excluyen los siguientes casos triviales:
- un solo dígito, por ejemplo: 5
- dígitos repetidos, por ejemplo: 555
- números cíclicos repetidos, por ejemplo: 142857142857
Si no se permiten ceros a la izquierda en los números, entonces 142857 es el único número cíclico en decimal , debido a la estructura necesaria que se proporciona en la siguiente sección. Permitiendo ceros a la izquierda, comienza la secuencia de números cíclicos:
- (10 6 − 1) / 7 = 142857 (6 dígitos)
- (10 16 − 1) / 17 = 0588235294117647 (16 dígitos)
- (10 18 − 1) / 19 = 052631578947368421 (18 dígitos)
- (10 22 − 1) / 23 = 0434782608695652173913 (22 dígitos)
- (10 28 − 1) / 29 = 0344827586206896551724137931 (28 dígitos)
- (10 46 − 1) / 47 = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 dígitos)
- (10 58 − 1) / 59 = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 dígitos)
- (10 60 − 1) / 61 = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 dígitos)
- (10 96 − 1) / 97 = 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 (96 dígitos)
Relación con los decimales periódicos
Los números cíclicos están relacionados con las representaciones digitales recurrentes de fracciones unitarias . Un número cíclico de longitud L es la representación digital de
- 1/( L +1).
Por el contrario, si el período digital de 1/ p (donde p es primo ) es
- pag -1,
entonces los dígitos representan un número cíclico.
Por ejemplo:
- 1/7 = 0,142857 142857...
Múltiplos de estas fracciones exhiben una permutación cíclica:
- 1/7 = 0,142857 142857...
- 2/7 = 0,285714 285714...
- 3/7 = 0,428571 428571...
- 4/7 = 0,571428 571428...
- 5/7 = 0,714285 714285...
- 6/7 = 0,857142 857142...
Forma de números cíclicos
De la relación con fracciones unitarias, se puede demostrar que los números cíclicos tienen la forma del cociente de Fermat.
donde b es la base numérica (10 para decimal ) y p es un número primo que no divide a b . (Los primos p que dan números cíclicos en base b se llaman primos reptendidos completos o primos largos en base b ).
Por ejemplo, el caso b = 10, p = 7 da el número cíclico 142857, y el caso b = 12, p = 5 da el número cíclico 2497.
No todos los valores de p producirán un número cíclico usando esta fórmula; por ejemplo, el caso b = 10, p = 13 da 076923076923, y el caso b = 12, p = 19 da 076B45076B45076B45. Estos casos fallidos siempre contendrán una repetición de dígitos (posiblemente varios).
Los primeros valores de p para los cuales esta fórmula produce números cíclicos en decimal ( b = 10) son (secuencia A001913 en la OEIS )
- 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 1, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, ...
Para b = 12 ( duodecimal ), estos p s son (secuencia A019340 en el OEIS )
- 5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 631, 641, 653, 691, 701, 739, 1, 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, ...
Para b = 2 ( binario ), estos p s son (secuencia A001122 en el OEIS )
- 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 66, 1, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ...
Para b = 3 ( ternario ), estos p s son (secuencia A019334 en el OEIS )
- 2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 631, 641, 3, 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, ...
No existen tales p s en el sistema hexadecimal .
El patrón conocido de esta secuencia proviene de la teoría algebraica de números , específicamente, esta secuencia es el conjunto de primos p tales que b es una raíz primitiva módulo p . Una conjetura de Emil Artin [1] es que esta secuencia contiene 37,395..% de los números primos (para b en OEIS : A085397 ).
Construcción de números cíclicos.
Los números cíclicos se pueden construir mediante el siguiente procedimiento :
Sea b la base numérica (10 para decimal)
Sea p un primo que no divide a b .
Sea t = 0.
Sea r = 1.
Sea n = 0.
bucle:
- Sea t = t + 1
- Sea x = r ⋅ b
- Sea d = int ( x / p )
- Sea r = x mod p
- Sea n = n ⋅ b + d
- Si r ≠ 1, repita el ciclo.
si t = p − 1 entonces n es un número cíclico.
Este procedimiento funciona calculando los dígitos de 1/ p en base b , mediante división larga . r es el resto en cada paso y d es el dígito producido.
El paso
- norte = norte ⋅ segundo + re
Sirve simplemente para recoger los dígitos. Para las computadoras que no son capaces de expresar números enteros muy grandes, los dígitos pueden generarse o recopilarse de otra manera.
Si alguna vez t excede p /2, entonces el número debe ser cíclico, sin necesidad de calcular los dígitos restantes.
Propiedades de los números cíclicos
- Cuando se multiplica por su primo generador, el resultado es una secuencia de b − 1 dígitos, donde b es la base (por ejemplo, 10 en decimal). Por ejemplo, en decimal, 142857 × 7 = 999999.
- Cuando se divide en grupos de igual longitud (de dos, tres, cuatro, etc.) dígitos y se suman los grupos, el resultado es una secuencia de b - 1 dígitos. Por ejemplo, 14 + 28 + 57 = 99, 142 + 857 = 999, 1428 + 5714+ 2857 = 9999, etc.... Este es un caso especial del Teorema de Midy .
- Todos los números cíclicos son divisibles por b − 1 donde b es la base (por ejemplo, 9 en decimal) y la suma del resto es un múltiplo del divisor. (Esto se desprende del punto anterior.)
Otras bases numéricas
Usando la técnica anterior, los números cíclicos se pueden encontrar en otras bases numéricas. (No todos siguen la segunda regla (todos los múltiplos sucesivos son permutaciones cíclicas) enumerada en la sección Casos especiales anterior) En cada uno de estos casos, los dígitos de la mitad del período suman la base menos uno. Así, para el sistema binario, la suma de los bits en la mitad del período es 1; para ternario, es 2, y así sucesivamente.
En binario comienza la secuencia de números cíclicos: (secuencia A001122 en el OEIS )
- 11 (3) → 01
- 101 (5) → 0011
- 1011 (11) → 0001011101
- 1101 (13) → 000100111011
- 10011 (19) → 000011010111100101
- 11101 (29) → 0000100011010011110111001011
En ternario : (secuencia A019334 en el OEIS )
- 2 (2) → 1
- 12 (5) → 0121
- 21 (7) → 010212
- 122 (17) → 0011202122110201
- 201 (19) → 001102100221120122
En cuaternario , no hay ninguno.
En quinario : (secuencia A019335 en el OEIS )
- 2 (2) → 2
- 3 (3) → 13
- 12 (7) → 032412
- 32 (17) → 0121340243231042
- 43 (23) → 0102041332143424031123
- 122 (37) → 003142122040113342441302322404331102
En senario : (secuencia A167794 en el OEIS )
- 15 (11) → 0313452421
- 21 (13) → 024340531215
- 25 (17) → 0204122453514331
- 105 (41) → 0051335412440330234455042201431152253211
- 135 (59) → 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541
- 141 (61) → 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335
En base 7: (secuencia A019337 en el OEIS )
- 2 (2) → 3
- 5 (5) → 1254
- 14 (11) → 0431162355
- 16 (13) → 035245631421
- 23 (17) → 0261143464055232
- 32 (23) → 0206251134364604155323
En octal : (secuencia A019338 en el OEIS )
- 3 (3) → 25
- 5 (5) → 1463
- 13 (11) → 0564272135
- 35 (29) → 0215173454106475626043236713
- 65 (53) → 0115220717545336140465103476625570602324416373126743
- 73 (59) → 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415
En nonario , el número cíclico único es
- 2 (2) → 4
En base 11: (secuencia A019339 en el OEIS )
- 2 (2) → 5
- 3 (3) → 37
- 12 (13) → 093425A17685
- 16 (17) → 07132651A3978459
- 21 (23) → 05296243390A581486771A
- 27 (29) → 04199534608387A69115764A2723
En duodecimal : (secuencia A019340 en la OEIS )
- 5 (5) → 2497
- 7 (7) → 186A35
- 15 (17) → 08579214B36429A7
- 27 (31) → 0478AA093598166B74311B28623A55
- 35 (41) → 036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207
- 37 (43) → 0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765
En ternario ( b = 3), el caso p = 2 produce 1 como número cíclico. Si bien los dígitos de un solo dígito pueden considerarse casos triviales, puede resultar útil para completar la teoría considerarlos sólo cuando se generan de esta manera.
Se puede demostrar que no existen números cíclicos (aparte de los dígitos simples triviales, es decir, p = 2) en ninguna base numérica que sea un cuadrado perfecto , es decir, base 4, 9, 16, 25, etc.
Ver también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "La constante de Artin". mathworld.wolfram.com .
Otras lecturas
- Gardner, Martín. Circo matemático: más acertijos, juegos, paradojas y otros entretenimientos matemáticos de Scientific American. Nueva York: Asociación Matemática de América, 1979, págs. 111-122.
- Kalman, Dan; 'Fracciones con patrones de dígitos cíclicos' The College Mathematics Journal, vol. 27, núm. 2. (marzo de 1996), págs. 109-115.
- Leslie, Juan. "La filosofía de la aritmética: exposición de una visión progresiva de la teoría y la práctica de..." , Longman, Hurst, Rees, Orme y Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
- Pozos, David; " Diccionario Penguin de números curiosos e interesantes " , Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5
enlaces externos
