Cociente de Fermat

En teoría de números , el cociente de Fermat de un entero a con respecto a un primo impar p se define como ^{[1] [2] [3] [4]}

${\displaystyle q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p}},}$

o

${\displaystyle \delta _{p}(a)={\frac {a-a^{p}}{p}}}$.

Este artículo trata sobre el primero; para el segundo, véase p -derivación . El cociente recibe su nombre de Pierre de Fermat .

Si la base a es coprima del exponente p entonces el pequeño teorema de Fermat dice que q _p ( a ) será un entero. Si la base a es también un generador del grupo multiplicativo de los enteros módulo p , entonces q _p ( a ) será un número cíclico y p será un primo de repetición completa .

Propiedades

De la definición se desprende claramente que

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(1)&\equiv 0&&{\pmod {p}}\\q_{p}(-a)&\equiv q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\quad ({\text{since }}2\mid p-1)\end{aligned}}}$

En 1850, Gotthold Eisenstein demostró que si a y b son ambos coprimos con p , entonces: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(ab)&\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(a^{r})&\equiv rq_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp a)&\equiv q_{p}(a)\pm {\tfrac {1}{a}}&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp 1)&\equiv \pm 1&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}$

Eisenstein comparó las dos primeras de estas congruencias con las propiedades de los logaritmos . Estas propiedades implican

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}\!\left({\tfrac {1}{a}}\right)&\equiv -q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}\!\left({\tfrac {a}{b}}\right)&\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}$

En 1895, Dmitry Mirimanoff señaló que una iteración de las reglas de Eisenstein da el corolario : ^[6]

${\displaystyle q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\tfrac {1}{a}}{\pmod {p}}.}$

De esto se desprende que: ^[7]

${\displaystyle q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p}}.}$

Fórmula de Lerch

M. Lerch demostró en 1905 que ^{[8] [9] [10]}

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p-1}q_{p}(j)\equiv W_{p}{\pmod {p}}.}$

Aquí está el cociente de Wilson . ${\displaystyle W_{p}}$

Valores especiales

Eisenstein descubrió que el cociente de Fermat con base 2 podía expresarse en términos de la suma de los recíprocos módulo p de los números que se encuentran en la primera mitad del rango {1, ..., p  − 1}:

${\displaystyle -2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$

Escritores posteriores demostraron que el número de términos necesarios en dicha representación podría reducirse de 1/2 a 1/4, 1/5 o incluso 1/6:

${\displaystyle -3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[11]

${\displaystyle 4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lfloor {\frac {3p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {4p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[12]

${\displaystyle 2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{6}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^{[13] [14]}

La serie de Eisenstein también tiene una conexión cada vez más compleja con los cocientes de Fermat con otras bases, siendo los primeros ejemplos:

${\displaystyle -3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[15]

${\displaystyle -5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+2\sum _{k=\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}$^[16]

Primos de Wieferich generalizados

Si q _p ( a ) ≡ 0 (mod p ) entonces a ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² ). Los primos para los que esto es cierto para a = 2 se denominan primos de Wieferich . En general, se denominan primos de Wieferich base a. Las soluciones conocidas de q _p ( a ) ≡ 0 (mod p ) para valores pequeños de a son: ^[2]

Para obtener más información, consulte ^{[17] [18] [19]} y. ^[20]

Las soluciones más pequeñas de q _p ( a ) ≡ 0 (mod p ) con a = n son:

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (secuencia A039951 en la OEIS )

Un par ( p ,  r ) de números primos tales que q _p ( r ) ≡ 0 (mod p ) y q _r ( p ) ≡ 0 (mod r ) se denomina par de Wieferich .

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Cociente de Fermat". MundoMatemático .
2. "El glosario de primos: cociente de Fermat". t5k.org . Consultado el 16 de marzo de 2024 .
3. Paulo Ribenboim , 13 Lecciones sobre el último teorema de Fermat (1979), especialmente págs. 152, 159-161.
4. Paulo Ribenboim , Mis números, mis amigos: conferencias populares sobre teoría de números (2000), pág. 216.
5. Gotthold Eisenstein , "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden", Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlín 1850, 36-42
6. Dmitry Mirimanoff , "Sur la congruence ( r ^{p − 1} − 1): p = q _r (mod p )," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300
7. Paul Bachmann , Niedere Zahlentheorie , 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.
8. Lerch, Mathías (1905). "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten ". Annalen Matemáticas . 60 : 471–490. doi :10.1007/bf01561092. hdl : 10338.dmlcz/120531 . S2CID  123353041. ${\displaystyle {\frac {a^{p-1}-1}{p}}=q(a)}$
9. Sondow, Jonathan (2014). "Cocientes de Lerch, primos de Lerch, cocientes de Fermat-Wilson y primos de Wieferich-non-Wilson 2, 3, 14771". arXiv : 1110.3113 [matemáticas.NT].
10. Sondow, Jonathan; MacMillan, Kieren (2011). "Reducción de la ecuación de Erdős-Moser módulo y ". arXiv : 1011.2154 [math.NT]. ${\displaystyle 1^{n}+2^{n}+\cdots +k^{n}=(k+1)^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{2}}$
11. James Whitbread Lee Glaisher , "Sobre los residuos de r ^{p − 1} al módulo p ² , p ³ , etc.", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (1901): 1-27.
12. Ladislav Skula , "Una nota sobre algunas relaciones entre sumas especiales de recíprocos módulo p ", Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.
13. Emma Lehmer, "Sobre congruencias que involucran números de Bernoulli y los cocientes de Fermat y Wilson", Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, pp. 356ff.
14. Karl Dilcher y Ladislav Skula , "Un nuevo criterio para el primer caso del último teorema de Fermat", Mathematics of Computation 64 (1995): 363-392.
15. James Whitbread Lee Glaisher , "Un teorema de congruencia general relacionado con la función bernoulliana", Actas de la Sociedad Matemática de Londres 33 (1900-1901): 27-56, págs. 49-50.
16. Mathias Lerch , "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…", Mathematische Annalen 60 (1905): 471-490.
17. Wieferich hace primos en bases hasta 1052
18. "Wieferich.txt se prepara para bases de hasta 10125". Archivado desde el original el 29 de julio de 2014. Consultado el 22 de julio de 2014 .
19. Wieferich prime en bases prime hasta 1000 Archivado el 9 de agosto de 2014 en Wayback Machine.
20. Primos de Wieferich con nivel >= 3

Enlaces externos

• Gottfried Helms. Cocientes de Fermat/Euler (ap-1 – 1)/pk con k arbitrario.
• Richard Fischer. Cocientes de Fermat B^(P-1) == 1 (mod P^2).