Biyección, inyección y sobreyección.

Propiedades de funciones matemáticas

En matemáticas , las inyecciones , las sobreyecciones y las biyecciones son clases de funciones que se distinguen por la manera en que los argumentos ( expresiones de entrada del dominio ) y las imágenes (expresiones de salida del codominio ) se relacionan o asignan entre sí.

Una función asigna elementos de su dominio a elementos de su codominio. Dada una función : ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• La función es inyectiva , o uno a uno , si cada elemento del codominio está asignado a como máximo un elemento del dominio, o de manera equivalente, si distintos elementos del dominio se asignan a distintos elementos en el codominio. Una función inyectiva también se llama inyección . ^[1] Notacionalmente:

${\displaystyle \forall x,x'\in X,f(x)=f(x')\implies x=x',}$

o, de manera equivalente (usando transposición lógica ),

${\displaystyle \forall x,x'\in X,x\neq x'\implies f(x)\neq f(x').}$^{[2] [3] [4]}

• La función es sobreyectiva , o sobre , si cada elemento del codominio está asignado por al menos un elemento del dominio. Es decir, la imagen y el codominio de la función son iguales. Una función sobreyectiva es una sobreyección . ^[1] Notacionalmente:

${\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X{\text{ such that }}y=f(x).}$^{[2] [3] [4]}

• La función es biyectiva ( uno a uno y sobre , correspondencia uno a uno o invertible ) si cada elemento del codominio está asignado exactamente a un elemento del dominio. Es decir, la función es tanto inyectiva como sobreyectiva. Una función biyectiva también se llama biyección . ^{[1] [2] [3] [4]} Es decir, combinando las definiciones de inyectivo y sobreyectivo,

${\displaystyle \forall y\in Y,\exists !x\in X{\text{ such that }}y=f(x),}$

donde significa " existe exactamente una x ". ${\displaystyle \exists !x}$

• En cualquier caso (para cualquier función), se cumple lo siguiente:

${\displaystyle \forall x\in X,\exists !y\in Y{\text{ such that }}y=f(x).}$

Una función inyectiva no necesita ser sobreyectiva (no todos los elementos del codominio pueden estar asociados con argumentos) y una función sobreyectiva no necesita ser inyectiva (algunas imágenes pueden estar asociadas con más de un argumento). Las cuatro posibles combinaciones de características inyectivas y sobreyectivas se ilustran en los diagramas adyacentes.

Inyección

Composición inyectiva: la segunda función no necesita ser inyectiva.

Una función es inyectiva ( uno a uno ) si cada elemento posible del codominio está asignado como máximo por un argumento. De manera equivalente, una función es inyectiva si asigna distintos argumentos a distintas imágenes. Una función inyectiva es una inyección . ^[1] La definición formal es la siguiente.

La función es inyectiva, si para todos , ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle x,x'\in X}$ ${\displaystyle f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'.}$

Los siguientes son algunos datos relacionados con las inyecciones:

• Una función es inyectiva si y sólo si está vacía o es invertible a la izquierda ; es decir, existe una función tal que función identidad en X . Aquí está la imagen de . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\colon f(X)\to X}$ ${\displaystyle g\circ f=}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f}$
• Dado que toda función es sobreyectiva cuando su codominio se restringe a su imagen , cada inyección induce una biyección sobre su imagen. Más precisamente, cada inyección se puede factorizar como una biyección seguida de una inclusión de la siguiente manera. Sea con el codominio restringido a su imagen y sea el mapa de inclusión desde dentro . Entonces . A continuación se proporciona una factorización dual para las sobreyecciones. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f_{R}\colon X\rightarrow f(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i\colon f(X)\to Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f=i\circ f_{R}}$
• La composición de dos inyecciones vuelve a ser una inyección, pero si es inyectiva, sólo se puede concluir que es inyectiva (ver figura). ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f}$
• Cada incrustación es inyectiva.

Sobreyección

Composición sobreyectiva: la primera función no tiene por qué ser sobreyectiva.

Una función es sobreyectiva o sobre si cada elemento del codominio está asignado por al menos un elemento del dominio . En otras palabras, cada elemento del codominio tiene una preimagen no vacía . De manera equivalente, una función es sobreyectiva si su imagen es igual a su codominio. Una función sobreyectiva es una sobreyección . ^[1] La definición formal es la siguiente.

La función es sobreyectiva, si para todo , existe tal que ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$

Los siguientes son algunos hechos relacionados con las sobrejecciones:

• Una función es sobreyectiva si y sólo si es invertible por la derecha, es decir, si y sólo si existe una función tal que la función identidad esté en . (Esta afirmación es equivalente al axioma de elección ). ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ ${\displaystyle f\circ g=}$ ${\displaystyle Y}$
• Al colapsar todos los argumentos que se asignan a una imagen fija determinada, cada sobreyección induce una biyección de un conjunto cociente de su dominio a su codominio. Más precisamente, las preimágenes bajo f de los elementos de la imagen de son las clases de equivalencia de una relación de equivalencia en el dominio de , tal que x e y son equivalentes si y solo tienen la misma imagen bajo . Como todos los elementos de cualquiera de estas clases de equivalencia están mapeados en el mismo elemento del codominio, esto induce una biyección entre el cociente establecido por esta relación de equivalencia (el conjunto de las clases de equivalencia) y la imagen de (que es su codominio cuando es sobreyectivo). Además, f es la composición de la proyección canónica de f al conjunto cociente, y la biyección entre el conjunto cociente y el codominio de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• La composición de dos sobrejecciones es nuevamente una sobreyección, pero si es sobreyectiva, entonces sólo se puede concluir que es sobreyectiva (ver figura). ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle g}$

biyección

Composición biyectiva: la primera función no necesita ser sobreyectiva y la segunda función no necesita ser inyectiva.

Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva. Una función biyectiva también se llama biyección o correspondencia uno a uno (no debe confundirse con la función uno a uno , que se refiere a la inyección). Una función es biyectiva si y sólo si cada imagen posible está asignada por exactamente un argumento. ^[1] Esta condición equivalente se expresa formalmente de la siguiente manera:

La función es biyectiva, si para todo existe un único tal que ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$

Los siguientes son algunos hechos relacionados con las biyecciones:

• Una función es biyectiva si y sólo si es invertible, es decir, existe una función tal que función identidad en X y función identidad en . Esta función asigna cada imagen a su preimagen única. ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ ${\displaystyle g\circ f=}$ ${\displaystyle f\circ g=}$ ${\displaystyle Y}$
• La composición de dos biyecciones es nuevamente una biyección, pero si es una biyección, entonces solo se puede concluir que es inyectiva y sobreyectiva (ver la figura de la derecha y las observaciones anteriores sobre inyecciones y sobreyecciones). ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$
• Las biyecciones de un conjunto sobre sí mismo forman un grupo bajo composición, llamado grupo simétrico .

Cardinalidad

Supongamos que se quiere definir lo que significa que dos conjuntos "tengan el mismo número de elementos". Una forma de hacer esto es decir que dos conjuntos "tienen el mismo número de elementos", si y sólo si todos los elementos de un conjunto pueden emparejarse con los elementos del otro, de tal manera que cada elemento esté emparejado con exactamente un elemento. En consecuencia, se puede definir que dos conjuntos "tengan el mismo número de elementos", si hay una biyección entre ellos. En cuyo caso, se dice que los dos conjuntos tienen la misma cardinalidad .

Asimismo, se puede decir que set "tiene menos o el mismo número de elementos" que set , si hay una inyección de to ; También se puede decir que set "tiene menos que el número de elementos" en set , si hay una inyección de a , pero no una biyección entre y . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ejemplos

Es importante especificar el dominio y codominio de cada función, ya que al cambiarlos, funciones que parecen iguales pueden tener propiedades diferentes.

Inyectivo y sobreyectivo (biyectivo)

La función de identidad id _X para cada conjunto X no vacío y, por lo tanto, específicamente ${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x.}$

${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto x^{2}}$, y por tanto también su inversa ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto {\sqrt {x}}.}$

La función exponencial (es decir, la función exponencial con su codominio restringido a su imagen), y por tanto también su inversa, el logaritmo natural. ${\displaystyle \exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}}$ ${\displaystyle \ln \colon \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}.}$

${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{3}}$

Inyectivo y no sobreyectivo

La función exponencial ${\displaystyle \exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \mathrm {e} ^{x}.}$

No inyectivo y sobreyectivo

${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x.}$

${\displaystyle \mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x).}$

No inyectivo y no sobreyectivo

${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \sin(x).}$

${\displaystyle \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x^{2}}$

Propiedades

• Para cada función f , sea X un subconjunto del dominio e Y un subconjunto del codominio. Siempre se tiene X ⊆ f ⁻¹ ( f ( X )) y f ( f ⁻¹ ( Y )) ⊆ Y , donde f ( X ) es la imagen de X y f ⁻¹ ( Y ) es la preimagen de Y bajo F. ​Si f es inyectiva, entonces X = f ⁻¹ ( f ( X )) , y si f es sobreyectiva, entonces f ( f ⁻¹ ( Y )) = Y .
• Para cada función h  : X → Y , se puede definir una sobreyección H  : X → h ( X ) : x → h ( x ) y una inyección I  : h ( X ) → Y  : y → y . Resulta que . Esta descomposición como composición de una sobreyección y una inyección es única hasta un isomorfismo, en el sentido de que, dada tal descomposición, existe una biyección única tal que y para cada ${\displaystyle h=I\circ H}$ ${\displaystyle \varphi :h(X)\to H(X)}$ ${\displaystyle H(x)=\varphi (h(x))}$ ${\displaystyle I(\varphi (h(x)))=h(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Teoría de categorías

En la categoría de conjuntos , las inyecciones, sobreyecciones y biyecciones corresponden precisamente a monomorfismos , epimorfismos e isomorfismos , respectivamente. ^[5]

Historia

El Oxford English Dictionary registra el uso de la palabra inyección como sustantivo por S. Mac Lane en Bulletin of the American Mathematical Society (1950), e inyectivo como adjetivo por Eilenberg y Steenrod en Foundations of Algebraic Topology (1952). ^[6]

Sin embargo, no fue hasta que el grupo francés Bourbaki acuñó la terminología inyectiva-sobreyectiva-biyectiva (tanto como sustantivos como como adjetivos) que lograron una adopción generalizada. ^[7]

Ver también

• Prueba de línea horizontal
• módulo inyectivo
• Permutación

Referencias

1. "Inyectiva, Suryectiva y Biyectiva". www.mathsisfun.com . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
2. "Biyección, inyección y sobreyección | Wiki brillante de matemáticas y ciencias". brillante.org . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
3. Farlow, SJ "Inyecciones, sobreyecciones y biyecciones" (PDF) . math.umaine.edu . Archivado desde el original (PDF) el 10 de enero de 2020 . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
4. "6.3: Inyecciones, Sobreyecciones y Biyecciones". Matemáticas LibreTexts . 2017-09-20 . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
5. "Sección 7.3 (00V5): Mapas inyectivos y sobreyectivos de presheaves: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
6. "Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de matemáticas (I)". jeff560.tripod.com . Consultado el 11 de junio de 2022 .
7. Mashaal, Maurice (2006). Bourbaki. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 106.ISBN​ 978-0-8218-3967-6.

enlaces externos

• Usos más tempranos de algunas de las palabras de Matemáticas: la entrada sobre Inyección, Suryección y Biyección tiene la historia de la Inyección y términos relacionados.