Distribución multimodal

Distribución de probabilidad con más de una moda

Figura 1. Una distribución bimodal simple, en este caso una mezcla de dos distribuciones normales con la misma varianza pero medias diferentes. La figura muestra la función de densidad de probabilidad (fdp), que es un promedio igualmente ponderado de las fdp en forma de campana de las dos distribuciones normales. Si los pesos no fueran iguales, la distribución resultante podría seguir siendo bimodal pero con picos de diferentes alturas.

Figura 2. Una distribución bimodal.

Figura 3. Una distribución multimodal bivariada

Figura 4. Un ejemplo no convencional: una distribución unimodal , que se convertiría en multimodal si se condicionara a x o a y.

En estadística , una distribución multimodal es una distribución de probabilidad con más de una moda (es decir, más de un pico local de la distribución). Estos aparecen como picos distintos (máximos locales) en la función de densidad de probabilidad , como se muestra en las figuras 1 y 2. Los datos categóricos, continuos y discretos pueden formar distribuciones multimodales. Entre los análisis univariados, las distribuciones multimodales suelen ser bimodales. ^{[ cita requerida ]}

Terminología

Cuando los dos modos son desiguales, el modo mayor se denomina modo mayor y el otro, modo menor. El valor menos frecuente entre los modos se denomina antimodo. La diferencia entre los modos mayor y menor se denomina amplitud . En series temporales, el modo mayor se denomina acrofase y el antimodo, batifase. ^{[ cita requerida ]}

Clasificación de Galtung

Galtung introdujo un sistema de clasificación (AJUS) para distribuciones: ^[1]

• A: distribución unimodal – pico en el medio
• J: unimodal – pico en cada extremo
• U: bimodal – picos en ambos extremos
• S: bimodal o multimodal – picos múltiples

Esta clasificación ha sido modificada ligeramente desde entonces:

• J: (modificado) – pico a la derecha
• L: unimodal – pico a la izquierda
• F: sin pico (plano)

Bajo esta clasificación las distribuciones bimodales se clasifican como tipo S o U.

Ejemplos

Las distribuciones bimodales ocurren tanto en matemáticas como en las ciencias naturales.

Distribuciones de probabilidad

Entre las distribuciones bimodales importantes se encuentran la distribución arcoseno y la distribución beta (si ambos parámetros a y b son menores que 1). Otras incluyen la distribución U-cuadrática .

La relación de dos distribuciones normales también se distribuye bimodalmente. Sea

${\displaystyle R={\frac {a+x}{b+y}}}$

donde a y b son constantes y x e y se distribuyen como variables normales con una media de 0 y una desviación estándar de 1. R tiene una densidad conocida que puede expresarse como una función hipergeométrica confluente . ^[2]

La distribución del recíproco de una variable aleatoria distribuida en t es bimodal cuando los grados de libertad son más de uno. De manera similar, el recíproco de una variable distribuida normalmente también se distribuye de manera bimodal.

Una estadística t generada a partir de un conjunto de datos extraídos de una distribución de Cauchy es bimodal. ^[3]

Sucesos en la naturaleza

Ejemplos de variables con distribuciones bimodales incluyen el tiempo entre erupciones de ciertos géiseres , el color de las galaxias , el tamaño de las hormigas tejedoras obreras , la edad de incidencia del linfoma de Hodgkin , la velocidad de inactivación del fármaco isoniazida en adultos estadounidenses, la magnitud absoluta de las novas y los patrones de actividad circadiana de aquellos animales crepusculares que están activos tanto en el crepúsculo matutino como vespertino. En la ciencia pesquera, las distribuciones de longitud multimodal reflejan las diferentes clases de años y, por lo tanto, se pueden utilizar para estimaciones de distribución por edad y crecimiento de la población de peces. ^[4] Los sedimentos generalmente se distribuyen de manera bimodal. Al muestrear galerías mineras que cruzan la roca anfitriona y las vetas mineralizadas, la distribución de las variables geoquímicas sería bimodal. Las distribuciones bimodales también se ven en el análisis del tráfico, donde el tráfico alcanza su pico durante la hora pico de la mañana y luego nuevamente en la hora pico de la tarde. Este fenómeno también se observa en la distribución diaria de agua, ya que la demanda de agua, en forma de duchas, cocina y uso del baño, generalmente alcanza su punto máximo en los períodos de la mañana y la tarde.

Econometría

En los modelos econométricos , los parámetros pueden distribuirse bimodalmente. ^[5]

Orígenes

Matemático

Una distribución bimodal surge comúnmente como una mezcla de dos distribuciones unimodales diferentes (es decir, distribuciones que tienen solo una moda). En otras palabras, la variable aleatoria X distribuida bimodalmente se define como con probabilidad o con probabilidad donde Y y Z son variables aleatorias unimodales y es un coeficiente de mezcla. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (1-\alpha ),}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Las mezclas con dos componentes distintos no tienen por qué ser bimodales y las mezclas de dos componentes con densidades de componentes unimodales pueden tener más de dos modos. No existe una conexión inmediata entre el número de componentes de una mezcla y el número de modos de la densidad resultante.

Distribuciones particulares

Las distribuciones bimodales, a pesar de su frecuente aparición en conjuntos de datos, sólo se han estudiado en contadas ocasiones ^{[ cita requerida ]} . Esto puede deberse a las dificultades para estimar sus parámetros con métodos frecuentistas o bayesianos. Entre las que se han estudiado se encuentran

• Distribución exponencial bimodal. ^[6]
• Distribución alfa-normal asimétrica. ^[7]
• Distribución normal bimodal asimétrica. ^[8]
• Se ha ajustado una mezcla de distribuciones de Conway-Maxwell-Poisson a datos de recuento bimodal. ^[9]

La bimodalidad también surge naturalmente en la distribución de catástrofes de cúspide .

Biología

En biología se sabe que cinco factores contribuyen a las distribuciones bimodales del tamaño de las poblaciones ^{[ cita requerida ]} :

• la distribución inicial de tamaños individuales
• la distribución de las tasas de crecimiento entre los individuos
• La dependencia del tamaño y del tiempo de la tasa de crecimiento de cada individuo.
• Tasas de mortalidad que pueden afectar a cada clase de tamaño de manera diferente
• La metilación del ADN en el genoma humano y del ratón.

La distribución bimodal de tamaños de las hormigas tejedoras obreras surge debido a la existencia de dos clases distintas de obreras, a saber, obreras mayores y obreras menores. ^[10]

También se descubre con frecuencia que la distribución de los efectos de aptitud de las mutaciones tanto para genomas completos ^{[11] [12] como para} genes individuales ^[13] es bimodal, siendo la mayoría de las mutaciones neutrales o letales y relativamente pocas con efectos intermedios.

Propiedades generales

Una mezcla de dos distribuciones unimodales con medias diferentes no es necesariamente bimodal. La distribución combinada de alturas de hombres y mujeres se utiliza a veces como ejemplo de una distribución bimodal, pero de hecho la diferencia en las alturas medias de hombres y mujeres es demasiado pequeña en relación con sus desviaciones estándar para producir bimodalidad cuando se combinan las dos curvas de distribución. ^[14]

Las distribuciones bimodales tienen la propiedad peculiar de que, a diferencia de las distribuciones unimodales, la media puede ser un estimador muestral más robusto que la mediana. ^[15] Esto es claramente así cuando la distribución tiene forma de U, como la distribución de arcoseno. Puede no ser así cuando la distribución tiene una o más colas largas.

Momentos de mezclas

Dejar

${\displaystyle f(x)=pg_{1}(x)+(1-p)g_{2}(x)\,}$

donde g _i es una distribución de probabilidad y p es el parámetro de mezcla.

Los momentos de f ( x ) son ^[16]

${\displaystyle \mu =p\mu _{1}+(1-p)\mu _{2}}$

${\displaystyle \nu _{2}=p[\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{2}]+(1-p)[\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{2}]}$

${\displaystyle \nu _{3}=p[S_{1}\sigma _{1}^{3}+3\delta _{1}\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{3}]+(1-p)[S_{2}\sigma _{2}^{3}+3\delta _{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{3}]}$

${\displaystyle \nu _{4}=p[K_{1}\sigma _{1}^{4}+4S_{1}\delta _{1}\sigma _{1}^{3}+6\delta _{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+\delta _{1}^{4}]+(1-p)[K_{2}\sigma _{2}^{4}+4S_{2}\delta _{2}\sigma _{2}^{3}+6\delta _{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{4}]}$

dónde

${\displaystyle \mu =\int xf(x)\,dx}$

${\displaystyle \delta _{i}=\mu _{i}-\mu }$

${\displaystyle \nu _{r}=\int (x-\mu )^{r}f(x)\,dx}$

y S _i y K _i son la asimetría y la curtosis de la i- ^ésima distribución.

Mezcla de dos distribuciones normales

No es raro encontrar situaciones en las que un investigador cree que los datos provienen de una mezcla de dos distribuciones normales. Por ello, esta mezcla se ha estudiado con cierto detalle. ^[17]

Una mezcla de dos distribuciones normales tiene cinco parámetros a estimar: las dos medias, las dos varianzas y el parámetro de mezcla. Una mezcla de dos distribuciones normales con desviaciones estándar iguales es bimodal solo si sus medias difieren en al menos el doble de la desviación estándar común. ^[14] Las estimaciones de los parámetros se simplifican si se puede suponer que las varianzas son iguales (el caso homocedástico ).

Si las medias de las dos distribuciones normales son iguales, entonces la distribución combinada es unimodal. Eisenberger derivó las condiciones para la unimodalidad de la distribución combinada. ^[18] Ray y Lindsay identificaron las condiciones necesarias y suficientes para que una mezcla de distribuciones normales sea bimodal. ^[19]

Una mezcla de dos distribuciones normales de masa aproximadamente iguales tiene una curtosis negativa ya que los dos modos a cada lado del centro de masa reducen efectivamente las colas de la distribución.

Una mezcla de dos distribuciones normales con masa altamente desigual tiene una curtosis positiva ya que la distribución más pequeña alarga la cola de la distribución normal más dominante.

Las mezclas de otras distribuciones requieren la estimación de parámetros adicionales.

Pruebas de unimodalidad

• Cuando los componentes de la mezcla tienen varianzas iguales, la mezcla es unimodal si y solo si ^[20] o donde p es el parámetro de mezcla y y donde μ ₁ y μ ₂ son las medias de las dos distribuciones normales y σ es su desviación estándar. $${\displaystyle d\leq 1}$$ $${\displaystyle \left\vert \log(1-p)-\log(p)\right\vert \geq 2\log(d-{\sqrt {d^{2}-1}})+2d{\sqrt {d^{2}-1}},}$$ $${\displaystyle d={\frac {\left\vert \mu _{1}-\mu _{2}\right\vert }{2\sigma }},}$$
• La siguiente prueba para el caso p = 1/2 fue descrita por Schilling et al . ^[14] Sea El factor de separación ( S ) es Si las varianzas son iguales entonces S = 1. La densidad de la mezcla es unimodal si y solo si $${\displaystyle r={\frac {\sigma _{1}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}.}$$ $${\displaystyle S={\frac {\sqrt {-2+3r+3r^{2}-2r^{3}+2(1-r+r^{2})^{1.5}}}{{\sqrt {r}}(1+{\sqrt {r}})}}.}$$ $${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|<S|\sigma _{1}+\sigma _{2}|.}$$
• Una condición suficiente para la unimodalidad es ^[21] $${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\min(\sigma _{1},\sigma _{2}).}$$
• Si las dos distribuciones normales tienen desviaciones estándar iguales, una condición suficiente para la unimodalidad es ^[21] ${\displaystyle \sigma ,}$ $${\displaystyle |\mu _{1}-\mu _{2}|\leq 2\sigma {\sqrt {1+{\frac {|\log p-\ln(1-p)|}{2}}}}.}$$

Resumen de estadísticas

Las distribuciones bimodales son un ejemplo común de cómo las estadísticas de resumen, como la media , la mediana y la desviación estándar , pueden ser engañosas cuando se utilizan en una distribución arbitraria. Por ejemplo, en la distribución de la Figura 1, la media y la mediana serían aproximadamente cero, aunque cero no es un valor típico. La desviación estándar también es mayor que la desviación de cada distribución normal.

Aunque se han sugerido varias, actualmente no existe un estadístico resumen (o conjunto de estadísticos) generalmente aceptado para cuantificar los parámetros de una distribución bimodal general. Para una mezcla de dos distribuciones normales, se suelen utilizar las medias y las desviaciones típicas junto con el parámetro de mezcla (el peso de la combinación), lo que da un total de cinco parámetros.

La D de Ashman

Una estadística que puede ser útil es la D de Ashman: ^[22]

${\displaystyle D={\frac {\left|\mu _{1}-\mu _{2}\right|}{\sqrt {2(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}$

donde μ ₁ , μ ₂ son las medias y σ ₁ , σ ₂ son las desviaciones estándar.

Para una mezcla de dos distribuciones normales, se requiere D > 2 para una separación limpia de las distribuciones.

La A de van der Eijk

Esta medida es un promedio ponderado del grado de acuerdo de la distribución de frecuencias. ^[23] Un rango de -1 ( bimodalidad perfecta ) a +1 ( unimodalidad perfecta ). Se define como

${\displaystyle A=U\left(1-{\frac {S-1}{K-1}}\right)}$

donde U es la unimodalidad de la distribución, S el número de categorías que tienen frecuencias distintas de cero y K el número total de categorías.

El valor de U es 1 si la distribución tiene alguna de las tres características siguientes:

• Todas las respuestas están en una sola categoría.
• Las respuestas se distribuyen uniformemente entre todas las categorías.
• Las respuestas se distribuyen uniformemente entre dos o más categorías contiguas, y las demás categorías tienen cero respuestas.

Con distribuciones distintas a estas, los datos deben dividirse en "capas". Dentro de una capa, las respuestas son iguales o cero. Las categorías no tienen que ser contiguas. Se calcula un valor para A para cada capa ( A _i ) y se determina un promedio ponderado para la distribución. Los pesos ( w _i ) para cada capa son el número de respuestas en esa capa. En símbolos

${\displaystyle A_{\text{overall}}=\sum _{i}w_{i}A_{i}}$

Una distribución uniforme tiene A = 0: cuando todas las respuestas caen en una categoría A = +1.

Un problema teórico de este índice es que supone que los intervalos están igualmente espaciados, lo que puede limitar su aplicabilidad.

Separación bimodal

Este índice supone que la distribución es una mezcla de dos distribuciones normales con medias ( μ ₁ y μ ₂ ) y desviaciones estándar ( σ ₁ y σ ₂ ): ^[24]

${\displaystyle S={\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{2(\sigma _{1}+\sigma _{2})}}}$

Coeficiente de bimodalidad

El coeficiente de bimodalidad de Sarle b es ^[25]

${\displaystyle \beta ={\frac {\gamma ^{2}+1}{\kappa }}}$

donde γ es la asimetría y κ es la curtosis . La curtosis se define aquí como el cuarto momento estandarizado alrededor de la media. El valor de b se encuentra entre 0 y 1. ^[26] La lógica detrás de este coeficiente es que una distribución bimodal con colas ligeras tendrá una curtosis muy baja, un carácter asimétrico o ambos, todo lo cual aumenta este coeficiente.

La fórmula para una muestra finita es ^[27]

${\displaystyle b={\frac {g^{2}+1}{k+{\frac {3(n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}}}$

donde n es el número de elementos en la muestra, g es la asimetría de la muestra y k es el exceso de curtosis de la muestra .

El valor de b para la distribución uniforme es 5/9. Este es también su valor para la distribución exponencial . Los valores mayores que 5/9 pueden indicar una distribución bimodal o multimodal, aunque los valores correspondientes también pueden resultar para distribuciones unimodales muy sesgadas. ^[28] El valor máximo (1.0) se alcanza solo con una distribución de Bernoulli con solo dos valores distintos o la suma de dos funciones delta de Dirac diferentes (una distribución bi-delta).

Se desconoce la distribución de esta estadística. Está relacionada con una estadística propuesta anteriormente por Pearson: la diferencia entre la curtosis y el cuadrado de la asimetría ( véase más adelante ).

Amplitud de bimodalidad

Esto se define como ^[24]

${\displaystyle A_{B}={\frac {A_{1}-A_{an}}{A_{1}}}}$

donde A ₁ es la amplitud del pico más pequeño y A _an es la amplitud del antimodo.

A _B siempre es < 1. Los valores más grandes indican picos más distintos.

Relación bimodal

Esta es la relación entre los picos izquierdo y derecho. ^[24] Matemáticamente

${\displaystyle R={\frac {A_{r}}{A_{l}}}}$

donde A _l y A _r son las amplitudes de los picos izquierdo y derecho respectivamente.

Parámetro de bimodalidad

Este parámetro ( B ) se debe a Wilcock. ^[29]

${\displaystyle B={\sqrt {\frac {A_{r}}{A_{l}}}}\sum P_{i}}$

donde A _l y A _r son las amplitudes de los picos izquierdo y derecho respectivamente y P _i es el logaritmo en base 2 de la proporción de la distribución en el intervalo i ^. El valor máximo de ΣP es 1 pero el valor de B puede ser mayor que éste.

Para utilizar este índice se toma el logaritmo de los valores. Luego, los datos se dividen en intervalos de ancho Φ cuyo valor es log 2. El ancho de los picos se toma como cuatro veces 1/4Φ centrado en sus valores máximos.

Índices de bimodalidad

Índice de Wang

El índice de bimodalidad propuesto por Wang et al. supone que la distribución es una suma de dos distribuciones normales con varianzas iguales pero medias diferentes. ^[30] Se define de la siguiente manera:

${\displaystyle \delta ={\frac {|\mu _{1}-\mu _{2}|}{\sigma }}}$

donde μ ₁ , μ ₂ son las medias y σ es la desviación estándar común.

${\displaystyle BI=\delta {\sqrt {p(1-p)}}}$

donde p es el parámetro de mezcla.

Índice de Sturrock

Sturrock propuso un índice de bimodalidad diferente. ^[31]

Este índice ( B ) se define como

${\displaystyle B={\frac {1}{N}}\left[\left(\sum _{1}^{N}\cos(2\pi m\gamma )\right)^{2}+\left(\sum _{1}^{N}\sin(2\pi m\gamma )\right)^{2}\right]}$

Cuando m = 2 y γ se distribuye uniformemente, B se distribuye exponencialmente. ^[32]

Esta estadística es una forma de periodograma y presenta los problemas habituales de estimación y fuga espectral que son comunes a esta forma de estadística.

Índice de Michele y Accatino

De Michele y Accatino propusieron otro índice de bimodalidad. ^[33] Su índice ( B ) es

${\displaystyle B=|\mu -\mu _{M}|}$

donde μ es la media aritmética de la muestra y

${\displaystyle \mu _{M}={\frac {\sum _{i=1}^{L}m_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{L}m_{i}}}}$

donde m _i es el número de puntos de datos en el i- ^ésimo contenedor, x _i es el centro del i- ^ésimo contenedor y L es el número de contenedores.

Los autores sugirieron un valor de corte de 0,1 para B para distinguir entre una distribución bimodal ( B > 0,1) y unimodal ( B < 0,1). No se ofreció ninguna justificación estadística para este valor.

Índice de Sambrook Smith

Sambrook Smith et al . propusieron un índice adicional ( B ) ^[34].

$${\displaystyle B=|\phi _{2}-\phi _{1}|{\frac {p_{2}}{p_{1}}}}$$

donde p ₁ y p ₂ son la proporción contenida en el modo primario (el de mayor amplitud) y secundario (el de menor amplitud) y φ ₁ y φ ₂ son los tamaños φ del modo primario y secundario. El tamaño φ se define como menos uno por el logaritmo del tamaño de los datos llevado a la base 2. Esta transformación se utiliza comúnmente en el estudio de sedimentos.

Los autores recomendaron un valor de corte de 1,5, siendo B mayor que 1,5 para una distribución bimodal y menor que 1,5 para una distribución unimodal. No se proporcionó ninguna justificación estadística para este valor.

El método de Otsu

El método de Otsu para encontrar un umbral de separación entre dos modos se basa en minimizar la cantidad donde n _i es el número de puntos de datos en la i ^ésima subpoblación, σ _i ² es la varianza de la i ^ésima subpoblación, m es el tamaño total de la muestra y σ ² es la varianza de la muestra. Algunos investigadores (particularmente en el campo del procesamiento de imágenes digitales ) han aplicado esta cantidad de manera más amplia como un índice para detectar la bimodalidad, donde un valor pequeño indica una distribución más bimodal. ^[35] $${\displaystyle {\frac {n_{1}\sigma _{1}^{2}+n_{2}\sigma _{2}^{2}}{m\sigma ^{2}}}}$$

Pruebas estadísticas

Hay varias pruebas disponibles para determinar si un conjunto de datos está distribuido de manera bimodal (o multimodal).

Métodos gráficos

En el estudio de los sedimentos, el tamaño de las partículas es frecuentemente bimodal. Empíricamente, se ha encontrado útil representar gráficamente la frecuencia en función del logaritmo (tamaño) de las partículas. ^{[36] [37]} Esto generalmente proporciona una separación clara de las partículas en una distribución bimodal. En aplicaciones geológicas, el logaritmo normalmente se toma en base 2. Los valores transformados en logaritmo se denominan unidades phi (Φ). Este sistema se conoce como la escala Krumbein (o phi).

Un método alternativo consiste en representar gráficamente el logaritmo del tamaño de la partícula en función de la frecuencia acumulada. Este gráfico suele constar de dos líneas razonablemente rectas con una línea de conexión correspondiente al antimodo.

Estadística

Se pueden derivar valores aproximados para varias estadísticas a partir de los gráficos. ^[36]

${\displaystyle {\mathit {Mean}}={\frac {\phi _{16}+\phi _{50}+\phi _{84}}{3}}}$

${\displaystyle {\mathit {StdDev}}={\frac {\phi _{84}-\phi _{16}}{4}}+{\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{6.6}}}$

${\displaystyle {\mathit {Skew}}={\frac {\phi _{84}+\phi _{16}-2\phi _{50}}{2(\phi _{84}-\phi _{16})}}+{\frac {\phi _{95}+\phi _{5}-2\phi _{50}}{2(\phi _{95}-\phi _{5})}}}$

${\displaystyle {\mathit {Kurt}}={\frac {\phi _{95}-\phi _{5}}{2.44(\phi _{75}-\phi _{25})}}}$

donde Mean es la media, StdDev es la desviación estándar, Skew es la asimetría, Kurt es la curtosis y φ _x es el valor de la variable φ en el x- ^ésimo porcentaje de la distribución.

Distribución unimodal vs. distribución bimodal

En 1894, Pearson fue el primero en idear un procedimiento para comprobar si una distribución podía resolverse en dos distribuciones normales. ^{[38] Este método requería la solución de un} polinomio de noveno orden . En un artículo posterior, Pearson informó que para cualquier asimetría de distribución ² + 1 < curtosis. ^[26] Más tarde, Pearson demostró que ^[39]

${\displaystyle b_{2}-b_{1}\geq 1}$

donde b ₂ es la curtosis y b ₁ es el cuadrado de la asimetría. La igualdad se cumple solo para la distribución de Bernoulli de dos puntos o la suma de dos funciones delta de Dirac diferentes . Estos son los casos más extremos de bimodalidad posibles. La curtosis en ambos casos es 1. Como ambos son simétricos, su asimetría es 0 y la diferencia es 1.

Baker propuso una transformación para convertir una distribución bimodal en una unimodal. ^[40]

Se han propuesto varias pruebas de unimodalidad versus bimodalidad: Haldane sugirió una basada en segundas diferencias centrales. ^[41] Larkin introdujo más tarde una prueba basada en la prueba F; ^[42] Benett creó una basada en la prueba G de Fisher . ^[43] Tokeshi propuso una cuarta prueba. ^{[44] [45]} Holzmann y Vollmer propusieron una prueba basada en una razón de verosimilitud. ^[20]

Se ha propuesto un método basado en las pruebas de puntuación y de Wald. ^[46] Este método puede distinguir entre distribuciones unimodales y bimodales cuando se conocen las distribuciones subyacentes.

Pruebas antimodo

Se conocen pruebas estadísticas para el antimodo. ^[47]

El método de Otsu

El método de Otsu se emplea comúnmente en gráficos de computadora para determinar la separación óptima entre dos distribuciones.

Pruebas generales

Para comprobar si una distribución es distinta a unimodal, se han ideado varias pruebas adicionales: la prueba de ancho de banda, ^[48] la prueba de inclinación, ^[49] la prueba de exceso de masa, ^[50] la prueba MAP, ^[51] la prueba de existencia de modo, ^[52] la prueba runt, ^{[53] [54]} la prueba de amplitud, ^[55] y la prueba de silla de montar.

Hay una implementación de la prueba dip disponible para el lenguaje de programación R. [ ^56] Los valores p para los valores estadísticos dip varían entre 0 y 1. Los valores p menores a 0,05 indican multimodalidad significativa y los valores p mayores a 0,05 pero menores a 0,10 sugieren multimodalidad con significancia marginal. ^[57]

Prueba de Silverman

Silverman introdujo un método de arranque para el número de modos. ^[48] La prueba utiliza un ancho de banda fijo que reduce la potencia de la prueba y su interpretabilidad. En densidades suavizadas, puede haber un número excesivo de modos cuyo conteo durante el arranque es inestable.

Prueba de Bajgier-Aggarwal

Bajgier y Aggarwal propusieron una prueba basada en la curtosis de la distribución. ^[58]

Casos especiales

Hay pruebas adicionales disponibles para una serie de casos especiales:

Mezcla de dos distribuciones normales

Un estudio de una mezcla de densidad de datos de dos distribuciones normales encontró que la separación en las dos distribuciones normales era difícil a menos que las medias estuvieran separadas por 4 a 6 desviaciones estándar. ^[59]

En astronomía, el algoritmo Kernel Mean Matching se utiliza para decidir si un conjunto de datos pertenece a una única distribución normal o a una mezcla de dos distribuciones normales.

Distribución beta-normal

Esta distribución es bimodal para ciertos valores de sus parámetros. Se ha descrito una prueba para estos valores. ^[60]

Estimación de parámetros y curvas de ajuste

Suponiendo que se sabe que la distribución es bimodal o que se ha demostrado que lo es mediante una o más de las pruebas anteriores, con frecuencia es conveniente ajustar una curva a los datos, lo que puede resultar difícil.

Los métodos bayesianos pueden ser útiles en casos difíciles.

Software

Dos distribuciones normales

Existe un paquete para R que permite realizar pruebas de bimodalidad. ^[61] Este paquete supone que los datos se distribuyen como una suma de dos distribuciones normales. Si esta suposición no es correcta, los resultados pueden no ser confiables. También incluye funciones para ajustar una suma de dos distribuciones normales a los datos.

Suponiendo que la distribución es una mezcla de dos distribuciones normales, se puede utilizar el algoritmo de maximización de expectativas para determinar los parámetros. Existen varios programas para ello, entre ellos Cluster ^[62] y el paquete R nor1mix ^{[63] .}

Otras distribuciones

El paquete mixtools disponible para R puede probar y estimar los parámetros de varias distribuciones diferentes. ^[64] Hay disponible un paquete para una mezcla de dos distribuciones gamma de cola derecha. ^[65]

Hay varios otros paquetes para R disponibles para ajustar modelos de mezcla; estos incluyen flexmix, ^[66] mcclust, ^[67] agrmt, ^[68] y mixdist. ^[69]

El lenguaje de programación estadística SAS también puede ajustar una variedad de distribuciones mixtas con el procedimiento PROC FREQ.

Número de corredores en un parque según la hora del día (X en horas) en una distribución de probabilidad bimodal

En Python, el paquete Scikit-learn contiene una herramienta para modelar mezclas ^[70]

Ejemplo de aplicación de software

El programa CumFreqA ^[71] para el ajuste de distribuciones de probabilidad compuestas a un conjunto de datos (X) puede dividir el conjunto en dos partes con una distribución diferente. La figura muestra un ejemplo de una distribución de Gumbel reflejada doblemente generalizada como en el ajuste de distribución con ecuaciones de función de distribución acumulativa (CDF):

X < 8,10 : CDF = 1 - exp[-exp{-(0,092X ^ 0,01+935)}]X > 8,10: CDF = 1 - exp[-exp{-(-0,0039X ^ 2,79+1,05)}]

Véase también

• Sobredispersión
• Modelo de mezcla - Modelos de mezcla gaussiana (GMM)
• Distribución de mezcla

Referencias

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