Transformación bilineal

Operación de procesamiento de señales

La transformada bilineal (también conocida como método de Tustin , en honor a Arnold Tustin ) se utiliza en el procesamiento de señales digitales y en la teoría de control de tiempo discreto para transformar representaciones de sistemas de tiempo continuo en tiempo discreto y viceversa.

La transformada bilineal es un caso especial de una aplicación conforme (es decir, una transformación de Möbius ), a menudo utilizada para convertir una función de transferencia de un filtro lineal , invariante en el tiempo ( LTI ) en el dominio del tiempo continuo (a menudo llamado filtro analógico ) a una función de transferencia de un filtro lineal, invariante en el desplazamiento en el dominio del tiempo discreto (a menudo llamado filtro digital , aunque hay filtros analógicos construidos con condensadores conmutados que son filtros de tiempo discreto). Asigna posiciones en el eje, , en el plano s al círculo unitario , , en el plano z . Se pueden utilizar otras transformadas bilineales para deformar la respuesta de frecuencia de cualquier sistema lineal de tiempo discreto (por ejemplo, para aproximar la resolución de frecuencia no lineal del sistema auditivo humano) y se pueden implementar en el dominio discreto reemplazando los retrasos unitarios de un sistema con filtros de paso total de primer orden . ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle \mathrm {Re} [s]=0}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle \left(z^{-1}\right)}$

La transformación preserva la estabilidad y asigna cada punto de la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo continuo a un punto correspondiente en la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo discreto, aunque a una frecuencia algo diferente, como se muestra en la sección Deformación de frecuencia a continuación. Esto significa que por cada característica que se ve en la respuesta de frecuencia del filtro analógico, hay una característica correspondiente, con ganancia y cambio de fase idénticos, en la respuesta de frecuencia del filtro digital pero, tal vez, a una frecuencia algo diferente. El cambio de frecuencia es apenas perceptible a frecuencias bajas, pero es bastante evidente a frecuencias cercanas a la frecuencia de Nyquist . ${\displaystyle H_{a}(j\omega _{a})}$ ${\displaystyle H_{d}(e^{j\omega _{d}T})}$

Aproximación en tiempo discreto

La transformada bilineal es una aproximación de Padé de primer orden de la función logaritmo natural que es una aplicación exacta del plano z al plano s . Cuando se realiza la transformada de Laplace en una señal de tiempo discreto (con cada elemento de la secuencia de tiempo discreto asociado a un impulso unitario retardado correspondiente ), el resultado es precisamente la transformada Z de la secuencia de tiempo discreto con la sustitución de

${\displaystyle {\begin{aligned}z&=e^{sT}\\&={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\\&\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\end{aligned}}}$

donde es el tamaño del paso de integración numérica de la regla trapezoidal utilizada en la derivación de la transformada bilineal; ^[1] o, en otras palabras, el período de muestreo. La aproximación bilineal anterior se puede resolver para o se puede realizar una aproximación similar para . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=(1/T)\ln(z)}$

La inversa de esta aplicación (y su aproximación bilineal de primer orden ) es

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}}$

La transformación bilineal utiliza esencialmente esta aproximación de primer orden y la sustituye en la función de transferencia de tiempo continuo, ${\displaystyle H_{a}(s)}$

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

Eso es

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right).\ }$

Se conservan la estabilidad y la propiedad de fase mínima

Un filtro causal de tiempo continuo es estable si los polos de su función de transferencia caen en la mitad izquierda del plano s complejo . Un filtro causal de tiempo discreto es estable si los polos de su función de transferencia caen dentro del círculo unitario en el plano z complejo . La transformación bilineal asigna la mitad izquierda del plano s complejo al interior del círculo unitario en el plano z. Por lo tanto, los filtros diseñados en el dominio de tiempo continuo que son estables se convierten en filtros en el dominio de tiempo discreto que preservan esa estabilidad.

De la misma manera, un filtro de tiempo continuo es de fase mínima si los ceros de su función de transferencia caen en la mitad izquierda del plano s complejo. Un filtro de tiempo discreto es de fase mínima si los ceros de su función de transferencia caen dentro del círculo unitario en el plano z complejo. Entonces, la misma propiedad de mapeo asegura que los filtros de tiempo continuo que son de fase mínima se conviertan en filtros de tiempo discreto que conservan esa propiedad de ser de fase mínima.

Transformación de un sistema LTI general

Un sistema LTI general tiene la función de transferencia El orden de la función de transferencia N es el mayor de P y Q (en la práctica, lo más probable es que sea P, ya que la función de transferencia debe ser adecuada para que el sistema sea estable). Al aplicar la transformada bilineal donde K se define como 2/ T o de lo contrario si se usa deformación de frecuencia , se obtiene Al multiplicar el numerador y el denominador por la mayor potencia de ( z + 1) ⁻¹ presente, ( z + 1) ^-N , se obtiene Aquí se puede ver que después de la transformación, el grado del numerador y el denominador son ambos N . $${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\cdots +b_{Q}s^{Q}}{a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+\cdots +a_{P}s^{P}}}}$$ $${\displaystyle s=K{\frac {z-1}{z+1}}}$$ $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}+b_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+b_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{Q}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{Q}}{a_{0}+a_{1}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)+a_{2}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2}+\cdots +b_{P}\left(K{\frac {z-1}{z+1}}\right)^{P}}}}$$ $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {b_{0}(z+1)^{N}+b_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+b_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +b_{Q}K^{Q}(z-1)^{Q}(z+1)^{N-Q}}{a_{0}(z+1)^{N}+a_{1}K(z-1)(z+1)^{N-1}+a_{2}K^{2}(z-1)^{2}(z+1)^{N-2}+\cdots +a_{P}K^{P}(z-1)^{P}(z+1)^{N-P}}}}$$

Consideremos entonces la forma polo-cero de la función de transferencia de tiempo continuo Las raíces de los polinomios del numerador y del denominador, ξ _i y p _i , son los ceros y polos del sistema. La transformada bilineal es una aplicación uno a uno , por lo tanto, estos pueden transformarse al dominio z utilizando produciendo algunos de los ceros y polos de la función de transferencia discretizada ξ' _i y p' _i Como se describió anteriormente, el grado del numerador y del denominador ahora son ambos N , en otras palabras, ahora hay un número igual de ceros y polos. La multiplicación por ( z + 1) ^-N significa que los ceros o polos adicionales son ^[2] Dado el conjunto completo de ceros y polos, la función de transferencia del dominio z es entonces $${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {(s-\xi _{1})(s-\xi _{2})\cdots (s-\xi _{Q})}{(s-p_{1})(s-p_{2})\cdots (s-p_{P})}}}$$ $${\displaystyle z={\frac {K+s}{K-s}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&={\frac {K+\xi _{i}}{K-\xi _{i}}}\quad 1\leq i\leq Q\\p'_{i}&={\frac {K+p_{i}}{K-p_{i}}}\quad 1\leq i\leq P\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\xi '_{i}&=-1\quad Q<i\leq N\\p'_{i}&=-1\quad P<i\leq N\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(z-\xi '_{1})(z-\xi '_{2})\cdots (z-\xi '_{N})}{(z-p'_{1})(z-p'_{2})\cdots (z-p'_{N})}}}$$

Ejemplo

Como ejemplo, tomemos un filtro RC de paso bajo simple . Este filtro de tiempo continuo tiene una función de transferencia

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{a}(s)&={\frac {1/sC}{R+1/sC}}\\&={\frac {1}{1+RCs}}.\end{aligned}}}$

Si deseamos implementar este filtro como un filtro digital, podemos aplicar la transformada bilineal sustituyendo la fórmula anterior; después de algunas modificaciones, obtenemos la siguiente representación del filtro: ${\displaystyle s}$

Los coeficientes del denominador son los coeficientes de "retroalimentación" y los coeficientes del numerador son los coeficientes de "retroalimentación" utilizados para implementar un filtro digital en tiempo real .

Transformación para un filtro general de primer orden de tiempo continuo

Es posible relacionar los coeficientes de un filtro analógico de tiempo continuo con los de un filtro digital de tiempo discreto similar creado mediante el proceso de transformación bilineal. Transformación de un filtro de tiempo continuo general de primer orden con la función de transferencia dada

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s+b_{1}}{a_{0}s+a_{1}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}}}}$

El uso de la transformación bilineal (sin predeformar ninguna especificación de frecuencia) requiere la sustitución de

${\displaystyle s\leftarrow K{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}}$

dónde

${\displaystyle K\triangleq {\frac {2}{T}}}$.

Sin embargo, si se utiliza la compensación de deformación de frecuencia descrita a continuación en la transformación bilineal, de modo que tanto la ganancia como la fase del filtro analógico y digital coincidan en la frecuencia , entonces ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle K\triangleq {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}}$.

Esto da como resultado un filtro digital de tiempo discreto con coeficientes expresados ​​en términos de los coeficientes del filtro de tiempo continuo original:

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K+b_{1})+(-b_{0}K+b_{1})z^{-1}}{(a_{0}K+a_{1})+(-a_{0}K+a_{1})z^{-1}}}}$

Normalmente, el término constante en el denominador debe normalizarse a 1 antes de derivar la ecuación diferencial correspondiente . Esto da como resultado

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}{1+{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}z^{-1}}}.}$

La ecuación diferencial (utilizando la forma directa I ) es

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n]+{\frac {-b_{0}K+b_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot x[n-1]-{\frac {-a_{0}K+a_{1}}{a_{0}K+a_{1}}}\cdot y[n-1]\ .}$

Transformación bicuadrática general de segundo orden

Se puede utilizar un proceso similar para un filtro general de segundo orden con la función de transferencia dada

${\displaystyle H_{a}(s)={\frac {b_{0}s^{2}+b_{1}s+b_{2}}{a_{0}s^{2}+a_{1}s+a_{2}}}={\frac {b_{0}+b_{1}s^{-1}+b_{2}s^{-2}}{a_{0}+a_{1}s^{-1}+a_{2}s^{-2}}}\ .}$

Esto da como resultado un filtro biquad digital de tiempo discreto con coeficientes expresados ​​en términos de los coeficientes del filtro de tiempo continuo original:

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {(b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2})+(2b_{2}-2b_{0}K^{2})z^{-1}+(b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2})z^{-2}}{(a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2})+(2a_{2}-2a_{0}K^{2})z^{-1}+(a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2})z^{-2}}}}$

Nuevamente, el término constante en el denominador generalmente se normaliza a 1 antes de derivar la ecuación diferencial correspondiente . Esto da como resultado

${\displaystyle H_{d}(z)={\frac {{\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}{1+{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-1}+{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}z^{-2}}}.}$

La ecuación diferencial (utilizando la forma directa I ) es

${\displaystyle y[n]={\frac {b_{0}K^{2}+b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n]+{\frac {2b_{2}-2b_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-1]+{\frac {b_{0}K^{2}-b_{1}K+b_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot x[n-2]-{\frac {2a_{2}-2a_{0}K^{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-1]-{\frac {a_{0}K^{2}-a_{1}K+a_{2}}{a_{0}K^{2}+a_{1}K+a_{2}}}\cdot y[n-2]\ .}$

Deformación de frecuencia

Para determinar la respuesta de frecuencia de un filtro de tiempo continuo, se evalúa la función de transferencia en la que está en el eje. Del mismo modo, para determinar la respuesta de frecuencia de un filtro de tiempo discreto, se evalúa la función de transferencia en la que está en el círculo unitario, . La transformada bilineal asigna el eje del plano s (que es el dominio de ) al círculo unitario del plano z , (que es el dominio de ), pero no es la misma asignación que también asigna el eje al círculo unitario. Cuando la frecuencia real de se ingresa al filtro de tiempo discreto diseñado mediante el uso de la transformada bilineal, entonces se desea saber a qué frecuencia, , para el filtro de tiempo continuo al que se asigna. ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle s=j\omega _{a}}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$ ${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle H_{a}(s)}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle H_{d}(z)}$ ${\displaystyle z=e^{sT}}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{d}}$

${\displaystyle H_{d}(z)=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)}$

Esto demuestra que cada punto del círculo unitario en el plano z del filtro de tiempo discreto se asigna a un punto del eje en el plano s del filtro de tiempo continuo, . Es decir, la asignación de frecuencia de tiempo discreto a tiempo continuo de la transformada bilineal es ${\displaystyle z=e^{j\omega _{d}T}}$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle s=j\omega _{a}}$

${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$

y el mapeo inverso es

${\displaystyle \omega _{d}={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right).}$

El filtro de tiempo discreto se comporta en frecuencia de la misma manera que el filtro de tiempo continuo se comporta en frecuencia . Específicamente, la ganancia y el cambio de fase que el filtro de tiempo discreto tiene en frecuencia es la misma ganancia y cambio de fase que el filtro de tiempo continuo tiene en frecuencia . Esto significa que cada característica, cada "protuberancia" que es visible en la respuesta de frecuencia del filtro de tiempo continuo también es visible en el filtro de tiempo discreto, pero en una frecuencia diferente. Para frecuencias bajas (es decir, cuando o ), entonces las características se asignan a una frecuencia ligeramente diferente; . ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$ ${\displaystyle \omega _{d}}$ ${\displaystyle (2/T)\tan(\omega _{d}T/2)}$ ${\displaystyle \omega _{d}\ll 2/T}$ ${\displaystyle \omega _{a}\ll 2/T}$ ${\displaystyle \omega _{d}\approx \omega _{a}}$

Se puede ver que todo el rango de frecuencia continua

${\displaystyle -\infty <\omega _{a}<+\infty }$

se asigna al intervalo de frecuencia fundamental

${\displaystyle -{\frac {\pi }{T}}<\omega _{d}<+{\frac {\pi }{T}}.}$

La frecuencia del filtro de tiempo continuo corresponde a la frecuencia del filtro de tiempo discreto y la frecuencia del filtro de tiempo continuo corresponde a la frecuencia del filtro de tiempo discreto. ${\displaystyle \omega _{a}=0}$ ${\displaystyle \omega _{d}=0}$ ${\displaystyle \omega _{a}=\pm \infty }$ ${\displaystyle \omega _{d}=\pm \pi /T.}$

También se puede ver que existe una relación no lineal entre y Este efecto de la transformación bilineal se denomina distorsión de frecuencia . El filtro de tiempo continuo se puede diseñar para compensar esta distorsión de frecuencia estableciendo un ajuste para cada especificación de frecuencia que el diseñador pueda controlar (como la frecuencia de esquina o la frecuencia central). Esto se denomina distorsión previa del diseño del filtro. ${\displaystyle \omega _{a}}$ ${\displaystyle \omega _{d}.}$ ${\displaystyle \omega _{a}={\frac {2}{T}}\tan \left(\omega _{d}{\frac {T}{2}}\right)}$

Sin embargo, es posible compensar la deformación de frecuencia deformando previamente una especificación de frecuencia (normalmente una frecuencia resonante o la frecuencia de la característica más significativa de la respuesta de frecuencia) del sistema de tiempo continuo. Estas especificaciones deformadas previamente pueden utilizarse en la transformada bilineal para obtener el sistema de tiempo discreto deseado. Al diseñar un filtro digital como una aproximación de un filtro de tiempo continuo, la respuesta de frecuencia (tanto la amplitud como la fase) del filtro digital puede hacerse para que coincida con la respuesta de frecuencia del filtro continuo a una frecuencia especificada , así como para que coincida en CC, si la siguiente transformada se sustituye en la función de transferencia del filtro continuo. ^[3] Esta es una versión modificada de la transformada de Tustin que se muestra arriba. ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {\omega _{0}}{\tan \left({\frac {\omega _{0}T}{2}}\right)}}{\frac {z-1}{z+1}}.}$

Sin embargo, tenga en cuenta que esta transformación se convierte en la transformación original.

${\displaystyle s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}$

como . ${\displaystyle \omega _{0}\to 0}$

La principal ventaja del fenómeno de deformación es la ausencia de distorsión de aliasing en la característica de respuesta de frecuencia, como la que se observa con la invariancia de impulso .

Véase también

• Invariancia de impulso
• Método de transformación Z adaptada

Referencias

1. Oppenheim, Alan (2010). Procesamiento de señales en tiempo discreto, tercera edición . Upper Saddle River, NJ: Pearson Higher Education, Inc., pág. 504. ISBN 978-0-13-198842-2.
2. Bhandari, Ayush. "Apuntes de la clase sobre filtros digitales y DSP" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 3 de marzo de 2022 . Consultado el 16 de agosto de 2022 .
3. Astrom, Karl J. (1990). Sistemas controlados por ordenador, teoría y diseño (segunda edición). Prentice-Hall. pág. 212. ISBN 0-13-168600-3.

Enlaces externos

• Procesamiento de señales del MIT OpenCourseWare: diseño de filtros continuos y discretos
• Notas de clase sobre equivalentes discretos
• El arte del diseño de filtros VA