Barrera de potencial rectangular

Área donde un potencial exhibe un máximo local

En mecánica cuántica , la barrera de potencial rectangular (o, a veces, cuadrada ) es un problema unidimensional estándar que demuestra los fenómenos de efecto túnel ondulatorio (también llamado "efecto túnel cuántico") y reflexión ondulatoria. El problema consiste en resolver la ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo para una partícula que se encuentra con una barrera de energía potencial rectangular . Por lo general, se supone, como en este caso, que una partícula libre incide sobre la barrera desde la izquierda.

Aunque clásicamente una partícula que se comporta como una masa puntual se reflejaría si su energía es menor que , una partícula que en realidad se comporta como una onda de materia tiene una probabilidad distinta de cero de atravesar la barrera y continuar su viaje como una onda en el otro lado. En la física ondulatoria clásica, este efecto se conoce como acoplamiento de onda evanescente . La probabilidad de que la partícula pase a través de la barrera está dada por el coeficiente de transmisión , mientras que la probabilidad de que se refleje está dada por el coeficiente de reflexión . La ecuación de onda de Schrödinger permite calcular estos coeficientes. ${\displaystyle V_{0}}$

Cálculo

Dispersión en una barrera de potencial finita de altura . Se indican las amplitudes y la dirección de las ondas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha. En rojo, las ondas utilizadas para la derivación de la amplitud de reflexión y transmisión. para esta ilustración. ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle E>V_{0}}$

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la función de onda se lee donde es el hamiltoniano , es la constante de Planck (reducida) , es la masa , la energía de la partícula y es el potencial de barrera con altura y ancho . es la función escalón de Heaviside , es decir, ${\displaystyle \psi (x)}$ $${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x)}$$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle V(x)=V_{0}[\Theta (x)-\Theta (x-a)]}$$ ${\displaystyle V_{0}>0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Theta (x)=0,\;x<0;\;\Theta (x)=1,\;x>0}$ $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<0\\V_{0}&{\text{if }}0<x<a\\0&{\text{if }}a<x\end{cases}}}$$

La barrera se encuentra entre y . La barrera se puede desplazar a cualquier posición sin cambiar los resultados. El primer término del hamiltoniano es la energía cinética. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$

La barrera divide el espacio en tres partes ( ). En cualquiera de estas partes, el potencial es constante, lo que significa que la partícula es casi libre, y la solución de la ecuación de Schrödinger se puede escribir como una superposición de ondas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha (ver partícula libre ). Si donde los números de onda están relacionados con la energía a través de ${\displaystyle x<0,0<x<a,x>a}$ ${\displaystyle E>V_{0}}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ik_{0}x}+A_{l}e^{-ik_{0}x}&x<0\\\psi _{C}(x)=B_{r}e^{ik_{1}x}+B_{l}e^{-ik_{1}x}&0<x<a\\\psi _{R}(x)=C_{r}e^{ik_{0}x}+C_{l}e^{-ik_{0}x}&x>a\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}k_{0}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}&x<0\quad {\text{or}}\quad x>a\\k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}&0<x<a.\end{cases}}}$$

El índice de los coeficientes y denota la dirección del vector de velocidad. Nótese que, si la energía de la partícula está por debajo de la altura de la barrera, se vuelve imaginaria y la función de onda decae exponencialmente dentro de la barrera. No obstante, mantenemos la notación aunque las ondas ya no se estén propagando en este caso. Aquí asumimos . El caso se trata a continuación. ${\displaystyle r/l}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle r/l}$ ${\displaystyle E\neq V_{0}}$ ${\displaystyle E=V_{0}}$

Los coeficientes deben hallarse a partir de las condiciones de contorno de la función de onda en y . La función de onda y su derivada deben ser continuas en todas partes, por lo que ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{L}(0)&=\psi _{C}(0)\\\left.{\frac {d\psi _{L}}{dx}}\right|_{x=0}&=\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=0}\\\psi _{C}(a)&=\psi _{R}(a)\\\left.{\frac {d\psi _{C}}{dx}}\right|_{x=a}&=\left.{\frac {d\psi _{R}}{dx}}\right|_{x=a}.\end{aligned}}}$$

Insertando las funciones de onda, las condiciones de contorno dan las siguientes restricciones sobre los coeficientes

$${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}}$$ $${\displaystyle ik_{0}(A_{r}-A_{l})=ik_{1}(B_{r}-B_{l})}$$ $${\displaystyle B_{r}e^{iak_{1}}+B_{l}e^{-iak_{1}}=C_{r}e^{iak_{0}}+C_{l}e^{-iak_{0}}}$$ $${\displaystyle ik_{1}\left(B_{r}e^{iak_{1}}-B_{l}e^{-iak_{1}}\right)=ik_{0}\left(C_{r}e^{iak_{0}}-C_{l}e^{-iak_{0}}\right).}$$

Transmisión y reflexión

En este punto, resulta ilustrativo comparar la situación con el caso clásico. En ambos casos, la partícula se comporta como una partícula libre fuera de la región de la barrera. Una partícula clásica con una energía mayor que la altura de la barrera siempre pasaría la barrera, y una partícula clásica que incidiese sobre la barrera siempre se reflejaría. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle E<V_{0}}$

Para estudiar el caso cuántico, considere la siguiente situación: una partícula incide sobre la barrera desde el lado izquierdo ( ). ${\displaystyle A_{r}}$ Puede ser reflejada ( ) ${\displaystyle A_{l}}$ o transmitida ( ). ${\displaystyle C_{r}}$

Para hallar las amplitudes de reflexión y transmisión para la incidencia desde la izquierda, ponemos en las ecuaciones anteriores (partícula entrante), (reflexión), (sin partícula entrante desde la derecha) y (transmisión). Luego eliminamos los coeficientes de la ecuación y despejamos y . ${\displaystyle A_{r}=1}$ ${\displaystyle A_{l}=r}$ ${\displaystyle C_{l}=0}$ ${\displaystyle C_{r}=t}$ ${\displaystyle B_{l},B_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$

El resultado es:

$${\displaystyle t={\frac {4k_{0}k_{1}e^{-ia(k_{0}-k_{1})}}{(k_{0}+k_{1})^{2}-e^{2iak_{1}}(k_{0}-k_{1})^{2}}}}$$ $${\displaystyle r={\frac {(k_{0}^{2}-k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}{2ik_{0}k_{1}\cos(ak_{1})+(k_{0}^{2}+k_{1}^{2})\sin(ak_{1})}}.}$$

Debido a la simetría especular del modelo, las amplitudes de incidencia desde la derecha son las mismas que las de la izquierda. Nótese que estas expresiones son válidas para cualquier energía , . Si , entonces , por lo que existe una singularidad en ambas expresiones. ${\displaystyle E>0}$ ${\displaystyle E\neq V_{0}}$ ${\displaystyle E=V_{0}}$ ${\displaystyle k_{1}=0}$

Análisis de las expresiones obtenidas

mi

Probabilidad de transmisión a través de una barrera de potencial finita para = 1, 3 y 7. Línea discontinua: resultado clásico. Línea continua: resultado mecánico cuántico. ${\textstyle {\sqrt {2mV_{0}}}a/\hbar }$

El resultado sorprendente es que para energías menores que la altura de la barrera, existe una probabilidad distinta de cero. ${\displaystyle E<V_{0}}$ $${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{1}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}}$$

Para que la partícula se transmita a través de la barrera, con . Este efecto, que difiere del caso clásico, se llama efecto túnel cuántico . La transmisión se suprime exponencialmente con el ancho de la barrera, lo que se puede entender a partir de la forma funcional de la función de onda: fuera de la barrera oscila con el vector de onda , mientras que dentro de la barrera se amortigua exponencialmente en una distancia . Si la barrera es mucho más ancha que esta longitud de desintegración, la parte izquierda y la derecha son prácticamente independientes y, como consecuencia, se suprime el efecto túnel. ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(V_{0}-E)/\hbar ^{2}}}}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle 1/k_{1}}$

mi>V0

En este caso donde . $${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sin ^{2}(k_{1}a)}{4E(E-V_{0})}}}},}$$ ${\textstyle k_{1}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$

Igualmente sorprendente es que para energías mayores que la altura de la barrera, , la partícula puede reflejarse desde la barrera con una probabilidad distinta de cero. ${\displaystyle E>V_{0}}$ $${\displaystyle R=|r|^{2}=1-T.}$$

Las probabilidades de transmisión y reflexión, de hecho, oscilan con . El resultado clásico de transmisión perfecta sin ninguna reflexión ( , ) se reproduce no solo en el límite de alta energía , sino también cuando la energía y el ancho de la barrera satisfacen , donde (ver picos cerca de y 1.8 en la figura anterior). Tenga en cuenta que las probabilidades y amplitudes tal como están escritas son para cualquier energía (por encima o por debajo) de la altura de la barrera. ${\displaystyle k_{1}a}$ ${\displaystyle T=1}$ ${\displaystyle R=0}$ ${\displaystyle E\gg V_{0}}$ ${\displaystyle k_{1}a=n\pi }$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle E/V_{0}=1.2}$

mi=V0

La probabilidad de transmisión en es ^[1] ${\displaystyle E=V_{0}}$ $${\displaystyle T={\frac {1}{1+ma^{2}V_{0}/2\hbar ^{2}}}.}$$

Esta expresión se puede obtener calculando el coeficiente de transmisión a partir de las constantes indicadas anteriormente como para los otros casos o tomando el límite de cuando tiende a . Para este propósito, la relación ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle V_{0}}$

$${\displaystyle x={\frac {E}{V_{0}}}}$$

Se define, que se utiliza en la función : ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle f(x)={\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{\sqrt {1-x}}}}$$

En la última ecuación se define lo siguiente: ${\displaystyle v_{0}}$

$${\displaystyle v_{0}={\sqrt {\frac {2mV_{0}a^{2}}{\hbar ^{2}}}}}$$

Estas definiciones se pueden insertar en la expresión para la cual se obtuvo para el caso . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle E<V_{0}}$

$${\displaystyle T(x)={\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}}$$

Ahora, al calcular el límite de cuando x tiende a 1 (usando la regla de L'Hôpital ), ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{(1-x)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {{\frac {d}{dx}}\sinh(v_{0}{\sqrt {1-x}})}{{\frac {d}{dx}}{\sqrt {1-x}}}}=v_{0}\cosh(0)=v_{0}}$

También se puede obtener el límite de cuando tiende a 1: ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \lim _{x\to 1}T(x)=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{1+{\frac {f(x)^{2}}{4x}}}}={\frac {1}{1+{\frac {v_{0}^{2}}{4}}}}}$

Al introducir la expresión anterior en el valor evaluado para el límite, la expresión anterior para T se reproduce correctamente. ${\displaystyle v_{0}}$

Observaciones y aplicaciones

El cálculo presentado anteriormente puede parecer poco realista y poco útil en un principio. Sin embargo, ha demostrado ser un modelo adecuado para una variedad de sistemas de la vida real. Un ejemplo de ello son las interfaces entre dos materiales conductores . En la mayor parte de los materiales, el movimiento de los electrones es casi libre y puede describirse mediante el término cinético del hamiltoniano anterior con una masa efectiva . A menudo, las superficies de dichos materiales están cubiertas de capas de óxido o no son ideales por otras razones. Esta capa delgada y no conductora puede modelarse mediante un potencial de barrera como el anterior. Los electrones pueden entonces pasar de un material a otro dando lugar a una corriente. ${\displaystyle m}$

El funcionamiento de un microscopio de efecto túnel (STM) se basa en este efecto túnel. En este caso, la barrera se debe al espacio entre la punta del STM y el objeto subyacente. Dado que la corriente del túnel depende exponencialmente del ancho de la barrera, este dispositivo es extremadamente sensible a las variaciones de altura en la muestra examinada.

El modelo anterior es unidimensional, mientras que el espacio es tridimensional. Se debería resolver la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones. Por otra parte, muchos sistemas sólo cambian a lo largo de una dirección de coordenadas y son invariantes en la traslación a lo largo de las otras; son separables . La ecuación de Schrödinger puede entonces reducirse al caso considerado aquí mediante un ansatz para la función de onda del tipo: . ${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)}$

Para otro modelo relacionado de barrera, véase Barrera de potencial delta (QM) , que puede considerarse un caso especial de barrera de potencial finito. Todos los resultados de este artículo se aplican inmediatamente a la barrera de potencial delta tomando los límites y manteniéndolos constantes. ${\displaystyle V_{0}\to \infty ,\;a\to 0}$ ${\displaystyle V_{0}a=\lambda }$

Véase también

• Morse/Potencial de largo alcance
• Potencial de paso
• Pozo de potencial finito

Referencias

1. McQuarrie DA, Simon JD (1997). Química física: un enfoque molecular (1.ª ed.). University Science Books. ISBN 978-0935702996.

• Griffiths, David J. (2004). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª edición) . Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7.
• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernardo; Laloë, Franck; et al. (1996). Mecánica cuántica . trad. del francés por Susan Reid Hemley. Wiley-Interscience: Wiley. págs. 231-233. ISBN 978-0-471-56952-7.