Teorema de Bloch

Fundamental theorem in condensed matter physics

Isosuperficie del módulo cuadrado de un estado de Bloch en una red de silicio

Línea continua: Esquema de la parte real de un estado de Bloch típico en una dimensión. La línea punteada corresponde al factor e ^{i k · r} . Los círculos claros representan átomos.

En física de la materia condensada , el teorema de Bloch establece que las soluciones de la ecuación de Schrödinger en un potencial periódico se pueden expresar como ondas planas moduladas por funciones periódicas . El teorema recibe su nombre del físico suizo Felix Bloch , quien lo descubrió en 1929. ^[1] Matemáticamente, se escriben ^[2]

Función de Bloch

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )}$

donde es la posición, es la función de onda , es una función periódica con la misma periodicidad que el cristal, el vector de onda es el vector de momento del cristal , es el número de Euler y es la unidad imaginaria . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle i}$

Las funciones de esta forma se conocen como funciones de Bloch o estados de Bloch , y sirven como base adecuada para las funciones de onda o estados de los electrones en sólidos cristalinos .

La descripción de los electrones en términos de funciones de Bloch, denominadas electrones de Bloch (o con menos frecuencia ondas de Bloch ), subyace al concepto de estructuras de bandas electrónicas .

Estos estados propios se escriben con subíndices como , donde es un índice discreto, llamado índice de banda , que está presente porque hay muchas funciones de onda diferentes con el mismo (cada una tiene un componente periódico diferente ). Dentro de una banda (es decir, para ), varía continuamente con , al igual que su energía. Además, es único solo hasta un vector reticular recíproco constante , o, . Por lo tanto, el vector de onda se puede restringir a la primera zona de Brillouin de la red recíproca sin pérdida de generalidad . ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \mathbf {K} }$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

Aplicaciones y consecuencias

Aplicabilidad

El ejemplo más común del teorema de Bloch es la descripción de los electrones en un cristal, especialmente en la caracterización de las propiedades electrónicas del cristal, como la estructura de bandas electrónicas. Sin embargo, una descripción de onda de Bloch se aplica de manera más general a cualquier fenómeno ondulatorio en un medio periódico. Por ejemplo, una estructura dieléctrica periódica en electromagnetismo conduce a cristales fotónicos , y un medio acústico periódico conduce a cristales fonónicos . Generalmente se trata en las diversas formas de la teoría dinámica de la difracción .

Vector de onda

Una función de onda de Bloch (abajo) se puede descomponer en el producto de una función periódica (arriba) y una onda plana (centro). El lado izquierdo y el lado derecho representan el mismo estado de Bloch descompuesto de dos maneras diferentes, involucrando el vector de onda k ₁ (izquierda) o k ₂ (derecha). La diferencia ( k ₁ − k ₂ ) es un vector reticular recíproco . En todos los gráficos, el azul es la parte real y el rojo es la parte imaginaria.

Supongamos que un electrón está en un estado de Bloch donde u es periódico con la misma periodicidad que la red cristalina. El estado cuántico real del electrón está determinado completamente por , no por k o u directamente. Esto es importante porque k y u no son únicos. Específicamente, si se puede escribir como se muestra arriba usando k , también se puede escribir usando ( k + K ) , donde K es cualquier vector de red recíproco (ver figura a la derecha). Por lo tanto, los vectores de onda que difieren por un vector de red recíproco son equivalentes, en el sentido de que caracterizan el mismo conjunto de estados de Bloch. $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

La primera zona de Brillouin es un conjunto restringido de valores de k con la propiedad de que no hay dos de ellos equivalentes, aunque cada k posible es equivalente a un (y solo un) vector en la primera zona de Brillouin. Por lo tanto, si restringimos k a la primera zona de Brillouin, entonces cada estado de Bloch tiene un k único . Por lo tanto, la primera zona de Brillouin se usa a menudo para representar todos los estados de Bloch sin redundancia, por ejemplo en una estructura de bandas, y se usa por la misma razón en muchos cálculos.

Cuando k se multiplica por la constante de Planck reducida , se obtiene el momento cristalino del electrón . En relación con esto, la velocidad de grupo de un electrón se puede calcular en función de cómo varía la energía de un estado de Bloch con k ; para obtener más detalles, consulte el momento cristalino.

Ejemplo detallado

Para un ejemplo detallado en el que se calculan las consecuencias del teorema de Bloch en una situación específica, consulte el artículo Partícula en una red unidimensional (potencial periódico) .

Declaración

Teorema de Bloch  :  Para los electrones en un cristal perfecto, existe una base de funciones de onda con las dos propiedades siguientes:

• Cada una de estas funciones de onda es un estado propio de energía,
• Cada una de estas funciones de onda es un estado de Bloch, lo que significa que esta función de onda se puede escribir en la forma donde u ( r ) tiene la misma periodicidad que la estructura atómica del cristal, de modo que ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$$ $${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} ).}$$

Una segunda forma equivalente de enunciar el teorema es la siguiente ^[3]

Teorema de Bloch  :  Para cualquier función de onda que satisfaga la ecuación de Schrödinger y para una traslación de un vector reticular , existe al menos un vector tal que: ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ $${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {a} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} ).}$$

Prueba

Utilizando la periodicidad reticular

Siendo el teorema de Bloch un enunciado acerca de la periodicidad reticular, en esta prueba todas las simetrías se codifican como simetrías de traslación de la propia función de onda.

Demostración usando periodicidad reticular

Fuente: ^[4]

Preliminares: Simetrías cristalinas, red y red recíproca

La propiedad que define a un cristal es la simetría traslacional, lo que significa que si el cristal se desplaza en la cantidad adecuada, terminará con todos sus átomos en los mismos lugares. (Un cristal de tamaño finito no puede tener una simetría traslacional perfecta, pero es una aproximación útil).

Un cristal tridimensional tiene tres vectores reticulares primitivos a ₁ , a ₂ , a ₃ . Si el cristal se desplaza por cualquiera de estos tres vectores, o una combinación de ellos de la forma donde n _i son tres números enteros, entonces los átomos terminan en el mismo conjunto de ubicaciones en el que comenzaron. $${\displaystyle n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},}$$

Otro ingrediente útil en la prueba son los vectores reticulares recíprocos . Se trata de tres vectores b ₁ , b ₂ , b ₃ (con unidades de longitud inversa), con la propiedad de que a _i · b _i = 2 π , pero a _i · b _j = 0 cuando i ≠ j . (Para la fórmula de b _i , véase vector reticular recíproco ).

Lema sobre los operadores de traducción

Sea un operador de traslación que desplaza cada función de onda en la cantidad n ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃ (como antes, n _j son números enteros). El siguiente hecho es útil para la demostración del teorema de Bloch: ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}$

Lema  :  Si una función de onda ψ es un estado propio de todos los operadores de traducción (simultáneamente), entonces ψ es un estado de Bloch.

Prueba del lema

Supongamos que tenemos una función de onda ψ que es un estado propio de todos los operadores de traslación. Como caso especial de esto, para j = 1, 2, 3 , donde C _j son tres números (los valores propios ) que no dependen de r . Es útil escribir los números C _j en una forma diferente, eligiendo tres números θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ con e ^{2 πiθ _j} = C _j : Nuevamente, los θ _j son tres números que no dependen de r . Defina k = θ ₁ b ₁ + θ ₂ b ₂ + θ ₃ b ₃ , donde b _j son los vectores reticulares recíprocos (ver arriba). Finalmente, defina Entonces Esto prueba que u tiene la periodicidad de la red. Ya que eso prueba que el estado es un estado de Bloch. $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle u(\mathbf {r} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\,.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})&=e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})\\&={\big (}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big (}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}\\&=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-2\pi i\theta _{j}}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )\\&=u(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),}$

Finalmente estamos listos para la prueba principal del teorema de Bloch, que es la siguiente.

Como se indicó anteriormente, denotemos un operador de traslación que desplaza cada función de onda en la cantidad n ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃ , donde n _i son números enteros. Debido a que el cristal tiene simetría traslacional, este operador conmuta con el operador hamiltoniano . Además, cada uno de estos operadores de traslación conmuta con todos los demás. Por lo tanto, existe una base propia simultánea del operador hamiltoniano y cada operador posible. Esta base es lo que estamos buscando. Las funciones de onda en esta base son estados propios de energía (porque son estados propios del hamiltoniano), y también son estados de Bloch (porque son estados propios de los operadores de traslación; véase el Lema anterior). ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!}$

Uso de operadores

En esta prueba, todas las simetrías se codifican como propiedades de conmutación de los operadores de traducción.

Prueba usando operadores

Fuente: ^[5]

Definimos el operador de traslación con Usamos la hipótesis de un potencial periódico medio y la aproximación del electrón independiente con un hamiltoniano Dado que el hamiltoniano es invariante para las traslaciones, conmutará con el operador de traslación y los dos operadores tendrán un conjunto común de funciones propias. Por lo tanto, comenzamos a observar las funciones propias del operador de traslación: Dado que es un operador aditivo Si sustituimos aquí la ecuación de valor propio y dividimos ambos lados por tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })\\&=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {A} \mathbf {n} )\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}}$$ $${\displaystyle U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0}$$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} _{1}+\mathbf {A} \mathbf {n} _{2})={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} _{1}}\lambda _{\mathbf {n} _{2}}=\lambda _{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}}$$

Esto es cierto para donde si usamos la condición de normalización sobre una sola celda primitiva de volumen V y por lo tanto y donde . Finalmente, lo cual es cierto para una onda de Bloch, es decir para con $${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }}$$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle 1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}\left|{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )\right|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} }$$ $${\displaystyle 1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}}$$ $${\displaystyle s=ik}$$ ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} ),}$$ ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )}$

Utilizando la teoría de grupos

Aparte de los tecnicismos de la teoría de grupos, esta prueba es interesante porque deja claro cómo generalizar el teorema de Bloch para grupos que no son solo traslaciones. Esto se hace típicamente para grupos espaciales que son una combinación de una traslación y un grupo puntual y se utiliza para calcular la estructura de bandas, el espectro y los calores específicos de los cristales dada una simetría de grupo cristalino específica como FCC o BCC y eventualmente una base extra . ^{[6] : 365–367  [7]} En esta prueba también es posible notar cómo es clave que el grupo puntual extra sea impulsado por una simetría en el potencial efectivo pero conmutará con el hamiltoniano.

Prueba con teoría de caracteres ^{[6] : 345–348}

Todas las traducciones son unitarias y abelianas . Las traducciones se pueden escribir en términos de vectores unitarios. Podemos pensar en ellos como operadores conmutativos donde $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a} _{i}}$$ $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{2}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{3}}$$ $${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a} }}_{i}}$$

La conmutatividad de los operadores da tres subgrupos cíclicos conmutativos (dado que pueden ser generados por un solo elemento) que son infinitos, unidimensionales y abelianos. Todas las representaciones irreducibles de los grupos abelianos son unidimensionales. ^[8] ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}}$

Dado que son unidimensionales, la representación matricial y el carácter son los mismos. El carácter es la representación sobre los números complejos del grupo o también la traza de la representación que en este caso es una matriz unidimensional. Todos estos subgrupos, dado que son cíclicos, tienen caracteres que son raíces apropiadas de la unidad . De hecho, tienen un generador que obedecerá a , y por lo tanto el carácter . Nótese que esto es sencillo en el caso del grupo cíclico finito, pero en el caso infinito contable del grupo cíclico infinito (es decir, el grupo de traducción aquí) hay un límite para donde el carácter permanece finito. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ^{n}=1}$ ${\displaystyle \chi (\gamma )^{n}=1}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Dado que el carácter es una raíz de unidad, para cada subgrupo el carácter puede escribirse como $${\displaystyle \chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}}$$

Si introducimos la condición de contorno de Born-von Karman sobre el potencial: donde L es una periodicidad macroscópica en la dirección que también puede verse como un múltiplo de donde $${\displaystyle V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

Esta sustitución en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo por un hamiltoniano efectivo simple induce una periodicidad con la función de onda: $${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi (\mathbf {r} )}$$

Y para cada dimensión un operador de traducción con un período L $${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}}$$

Desde aquí podemos ver que también el carácter será invariante por una traducción de : y de la última ecuación obtenemos para cada dimensión una condición periódica: donde es un entero y ${\displaystyle L_{i}}$ $${\displaystyle e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}}$$ $${\displaystyle k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}}$$ ${\displaystyle m_{1}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}}$

El vector de onda identifica la representación irreducible de la misma manera que , y es una longitud periódica macroscópica del cristal en la dirección . En este contexto, el vector de onda sirve como un número cuántico para el operador de traslación. ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle a_{1}}$

Podemos generalizar esto para 3 dimensiones y la fórmula genérica para la función de onda se convierte en: es decir, especializándola para una traslación y hemos demostrado el teorema de Bloch. ${\displaystyle \chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}}$ $${\displaystyle {\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)}$$ $${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |{\boldsymbol {\tau }}}\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}=\psi (\mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }})}$$

En la versión generalizada del teorema de Bloch, la transformada de Fourier, es decir, la expansión de la función de onda, se generaliza a partir de una transformada de Fourier discreta que es aplicable solo para grupos cíclicos y, por lo tanto, traducciones, en una expansión de caracteres de la función de onda donde los caracteres se dan a partir del grupo de puntos finitos específico .

También aquí es posible ver cómo los caracteres (como invariantes de las representaciones irreducibles) pueden ser tratados como los bloques de construcción fundamentales en lugar de las representaciones irreducibles mismas. ^[9]

Velocidad y masa efectiva

Si aplicamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo a la función de onda de Bloch obtenemos con condiciones de contorno Dado que esto se define en un volumen finito esperamos una familia infinita de valores propios; aquí hay un parámetro del hamiltoniano y por lo tanto llegamos a una "familia continua" de valores propios dependiente del parámetro continuo y por lo tanto al concepto básico de una estructura de banda electrónica. $${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}+U(\mathbf {r} )\right]u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\varepsilon _{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )}$$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$

Prueba ^[10]

$${\displaystyle E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )\right]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)}$$

Nos quedamos con $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+U(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\end{aligned}}}$$

Esto muestra cómo el momento efectivo puede verse como compuesto de dos partes, un momento estándar y un momento cristalino . Más precisamente, el momento cristalino no es un momento, sino que representa el momento de la misma manera que el momento electromagnético en el acoplamiento mínimo y como parte de una transformación canónica del momento. $${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}_{\text{eff}}=-i\hbar \nabla +\hbar \mathbf {k} ,}$$ ${\displaystyle -i\hbar \nabla }$ ${\displaystyle \hbar \mathbf {k} }$

Para la velocidad efectiva podemos derivar

Velocidad media de un electrón de Bloch

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }={\frac {\hbar }{m}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle =\hbar \langle {\hat {\mathbf {v} }}\rangle }$

Prueba ^[11]

Evaluamos las derivadas y dados son los coeficientes de la siguiente expansión en q donde q se considera pequeño con respecto a k Dados son los valores propios de Podemos considerar el siguiente problema de perturbación en q: La teoría de perturbación de segundo orden establece que Para calcular el orden lineal en q donde las integraciones son sobre una celda primitiva o todo el cristal, dado si la integral está normalizada a través de la celda o el cristal. ${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$ $${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }}$ $${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}}$$ $${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...}$$ $${\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }}$$ $${\displaystyle \int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }}$$

Podemos simplificar sobre q para obtener y podemos reinsertar las funciones de onda completas $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }}$$

Para la masa efectiva

teorema de masa efectiva

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}$

Prueba ^[11]

El término de segundo orden Nuevamente con Eliminación y tenemos el teorema $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$$ ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle q_{j}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}$$

La cantidad de la derecha multiplicada por un factor se llama tensor de masa efectivo ^[12] y podemos usarlo para escribir una ecuación semiclásica para un portador de carga en una banda ^[13]. ${\displaystyle {\frac {1}{\hbar ^{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {k} )}$

Ecuación de movimiento semiclásica de segundo orden para un portador de carga en una banda

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {k} )\mathbf {a} =\mp e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} (\mathbf {k} )\times \mathbf {B} \right)}$

donde es una aceleración . Esta ecuación es análoga a la aproximación de tipo onda de De Broglie ^[14] ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Ecuación semiclásica de primer orden del movimiento del electrón en una banda

${\displaystyle \hbar {\dot {k}}=-e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

Como interpretación intuitiva, las dos ecuaciones anteriores se parecen formalmente y están en una analogía semiclásica con la segunda ley de Newton para un electrón en una fuerza de Lorentz externa .

Historia y ecuaciones relacionadas

El concepto de estado de Bloch fue desarrollado por Felix Bloch en 1928 ^[15] para describir la conducción de electrones en sólidos cristalinos. Sin embargo, las mismas matemáticas subyacentes también fueron descubiertas independientemente varias veces: por George William Hill (1877), ^[16] Gaston Floquet (1883), ^[17] y Alexander Lyapunov (1892). ^[18] Como resultado, son comunes una variedad de nomenclaturas: aplicada a ecuaciones diferenciales ordinarias , se llama teoría de Floquet (u ocasionalmente teorema de Lyapunov-Floquet ). La forma general de una ecuación de potencial periódica unidimensional es la ecuación de Hill : ^[19] donde f ( t ) es un potencial periódico. Las ecuaciones unidimensionales periódicas específicas incluyen el modelo de Kronig-Penney y la ecuación de Mathieu . $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,}$$

Matemáticamente, el teorema de Bloch se interpreta en términos de caracteres unitarios de un grupo reticular y se aplica a la geometría espectral . ^{[20] [21] [22]}

Véase también

• Oscilaciones de Bloch
• Onda de Bloch – método MoM
• Estructura de banda electrónica
• Modelo de electrón casi libre
• Condiciones de contorno periódicas
• Simetrías en la mecánica cuántica
• Modelo de unión fuerte
• Función Wannier

Referencias

1. Bloch, F. (1929). Über die quantenmechanik der elektronen in kristallgittern. Zeitschrift für physik, 52(7), 555-600.
2. Kittel, Charles (1996). Introducción a la física del estado sólido . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-14286-7.
3. Ziman, JM (1972). Principios de la teoría de los sólidos (2.ª ed.). Cambridge University Press. pp. 17–20. ISBN 0521297338.
4. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 134
5. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 137
6. Dresselhaus, MS (2002). "Aplicaciones de la teoría de grupos a la física de sólidos" (PDF) . MIT . Archivado (PDF) del original el 1 de noviembre de 2019 . Consultado el 12 de septiembre de 2020 .
7. El espectro vibracional y el calor específico de un cristal cúbico centrado en las caras, Robert B. Leighton [1]
8. Roy, Ricky (2 de mayo de 2010). "Teoría de la representación" (PDF) . Universidad de Puget Sound.
9. Representaciones grupales y análisis armónico desde Euler hasta Langlands, Parte II [2]
10. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 140
11. Ashcroft & Mermin 1976, pág. 765 Apéndice E
12. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 228
13. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 229
14. Ashcroft y Mermin 1976, pág. 227
15. Félix Bloch (1928). "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (en alemán). 52 (7–8): 555–600. Código bibliográfico : 1929ZPhy...52..555B. doi :10.1007/BF01339455. S2CID  120668259.
16. George William Hill (1886). "Sobre la parte del movimiento del perigeo lunar que es una función de los movimientos medios del Sol y la Luna". Acta Math . 8 : 1–36. doi : 10.1007/BF02417081 .Esta obra fue publicada y distribuida inicialmente de forma privada en 1877.
17. Gastón Floquet (1883). "Sur les équations différentielles linéaires à coeficientes périodiques". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 12 : 47–88. doi : 10.24033/asens.220 .
18. Alexander Mihailovich Lyapunov (1992). El problema general de la estabilidad del movimiento . Londres: Taylor and Francis.Traducido por AT Fuller de la traducción francesa de Edouard Davaux (1907) de la disertación rusa original (1892).
19. Magnus, W ; Winkler, S (2004). Ecuación de Hill. Courier Dover. pág. 11. ISBN 0-486-49565-5.
20. Kuchment, P. (1982), Teoría de Floquet para ecuaciones diferenciales parciales , RUSS MATH SURV., 37, 1–60
21. Katsuda, A.; Sunada, T (1987). "Homología y geodésicas cerradas en una superficie compacta de Riemann". Amer. J. Math . 110 (1): 145–156. doi :10.2307/2374542. JSTOR  2374542.
22. Kotani M; Sunada T. (2000). "Mapas de Albanese y una asintótica de tiempo largo fuera de la diagonal para el núcleo de calor". Comm. Math. Phys . 209 (3): 633–670. Bibcode :2000CMaPh.209..633K. doi :10.1007/s002200050033. S2CID  121065949.

Lectura adicional

• Ashcroft, Neil ; Mermin, N. David (1976). Física del estado sólido. Nueva York: Holt, Rinehart y Winston. ISBN 978-0-03-083993-1.
• Dresselhaus, MS (2010). Teoría de grupos: aplicación a la física de la materia condensada. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06945-1.OCLC 692760083  .
• H. Föll. «Potenciales periódicos y teorema de Bloch – clases de «Semiconductores I»». Universidad de Kiel.
• MSP Eastham (1973). La teoría espectral de ecuaciones diferenciales periódicas . Textos de matemáticas. Edimburgo: Scottish Academic Press.
• J. Gazalet; S. Dupont; JC Kastelik; Q. Rolland y B. Djafari-Rouhani (2013). "Un estudio tutorial sobre las ondas que se propagan en medios periódicos: cristales electrónicos, fotónicos y fonónicos. Percepción del teorema de Bloch en los dominios reales y de Fourier". Wave Motion . 50 (3): 619–654. doi :10.1016/j.wavemoti.2012.12.010.