Equilibrio hidrostático

State of balance between external forces on a fluid and internal pressure gradient

Diagrama de un planeta recién formado en estado de equilibrio hidrostático.

En mecánica de fluidos , el equilibrio hidrostático ( equilibrio hidrostático , hidrostasia ) es la condición de un fluido o sólido plástico en reposo, que se produce cuando las fuerzas externas, como la gravedad , se equilibran mediante una fuerza de gradiente de presión . ^[1] En la física planetaria de la Tierra, la fuerza del gradiente de presión evita que la gravedad colapse la atmósfera planetaria en una capa delgada y densa, mientras que la gravedad evita que la fuerza del gradiente de presión difunda la atmósfera hacia el espacio exterior . ^{[2] [3]} En general, es lo que hace que los objetos en el espacio sean esféricos.

El equilibrio hidrostático es el criterio que distingue entre planetas enanos y cuerpos pequeños del sistema solar , y es una característica de la astrofísica y la geología planetaria . Dicha calificación de equilibrio indica que la forma del objeto es simétricamente redondeada, principalmente debido a la rotación , en un elipsoide , donde cualquier característica superficial irregular es consecuencia de una corteza sólida relativamente delgada . Además del Sol, hay aproximadamente una docena de objetos en equilibrio cuya existencia se ha confirmado en el Sistema Solar .

Consideración matemática

Si el volumen de fluido resaltado no se acelera, las fuerzas que actúan sobre él hacia arriba deben ser iguales a las fuerzas hacia abajo.

Para un fluido hidrostático en la Tierra:

$${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

Derivación de la suma de fuerzas

Las leyes del movimiento de Newton establecen que un volumen de un fluido que no está en movimiento o que está en un estado de velocidad constante debe tener una fuerza neta cero sobre él. Esto significa que a la suma de las fuerzas en una dirección dada se le debe oponer una suma igual de fuerzas en la dirección opuesta. Este equilibrio de fuerzas se llama equilibrio hidrostático.

El fluido se puede dividir en una gran cantidad de elementos de volumen cuboides ; considerando un solo elemento, se puede derivar la acción del fluido.

Hay tres fuerzas: la fuerza hacia abajo sobre la parte superior del cuboide debido a la presión, P , del fluido que está encima es, según la definición de presión ,

$${\displaystyle F_{\text{top}}=-P_{\text{top}}A}$$

$${\displaystyle F_{\text{bottom}}=P_{\text{bottom}}A}$$

Finalmente, el peso del elemento volumétrico provoca una fuerza hacia abajo. Si la densidad es ρ, el volumen es V y g la gravedad estándar , entonces:

$${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gV}$$

$${\displaystyle F_{\text{weight}}=-\rho gAh}$$

Al equilibrar estas fuerzas, la fuerza total sobre el fluido es

$${\displaystyle \sum F=F_{\text{bottom}}+F_{\text{top}}+F_{\text{weight}}=P_{\text{bottom}}A-P_{\text{top}}A-\rho gAh}$$

$${\displaystyle 0=P_{\text{bottom}}-P_{\text{top}}-\rho gh}$$

$${\displaystyle P_{\text{top}}-P_{\text{bottom}}=-\rho gh}$$

P _arribaP _abajohinfinitamentediferencial

$${\displaystyle dP=-\rho g\,dh}$$

$${\displaystyle dP=-\rho (P)\,g(h)\,dh}$$

Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes

Tenga en cuenta finalmente que esta última ecuación se puede derivar resolviendo las ecuaciones tridimensionales de Navier-Stokes para la situación de equilibrio donde

$${\displaystyle u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0}$$

${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0}$$

Derivación de la relatividad general

Tapando el tensor de energía-momento para obtener un fluido perfecto

$${\displaystyle T^{\mu \nu }=\left(\rho c^{-2}+P\right)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }}$$

ecuaciones de campo de Einstein

$${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T\right)}$$

$${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$$

ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff

$${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}}$$

ΡρfΡρfMrρrr

$${\displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'\,r'^{2}\rho (r').}$$

c

$${\displaystyle \left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}\rightarrow 1}$$

$${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r)\longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh}$$

hrfΡρρP^[4]

$${\displaystyle {\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\varphi }\partial _{i}{\frac {u_{\varphi }}{u_{t}}}=0}$$

ir ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle \theta }$

Aplicaciones

fluidos

El equilibrio hidrostático pertenece a la hidrostática y a los principios de equilibrio de fluidos . Una balanza hidrostática es una balanza particular para pesar sustancias en agua. El equilibrio hidrostático permite descubrir sus gravedades específicas . Este equilibrio es estrictamente aplicable cuando un fluido ideal está en flujo laminar horizontal estacionario y cuando cualquier fluido está en reposo o en movimiento vertical a velocidad constante. También puede ser una aproximación satisfactoria cuando las velocidades del flujo son lo suficientemente bajas como para que la aceleración sea insignificante.

Astrofísica y ciencia planetaria.

Desde la época de Isaac Newton se ha trabajado mucho sobre el tema del equilibrio alcanzado cuando un fluido gira en el espacio. Esto se aplica tanto a estrellas como a objetos como planetas, que pueden haber sido fluidos en el pasado o en los que el material sólido se deforma como un fluido cuando se somete a tensiones muy altas. En cualquier capa dada de una estrella existe un equilibrio hidrostático entre el gradiente de presión que empuja hacia afuera y el peso del material que está encima y que presiona hacia adentro. También se pueden estudiar los planetas bajo el supuesto de equilibrio hidrostático. Una estrella o planeta en rotación en equilibrio hidrostático suele ser un esferoide achatado , es decir, un elipsoide en el que dos de los ejes principales son iguales y más largos que el tercero. Un ejemplo de este fenómeno es la estrella Vega , que tiene un período de rotación de 12,5 horas. En consecuencia, Vega es aproximadamente un 20% más grande en el ecuador que de polo a polo.

En su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica de 1687 , Newton afirmó correctamente que un fluido en rotación de densidad uniforme bajo la influencia de la gravedad tomaría la forma de un esferoide y que la gravedad (incluido el efecto de la fuerza centrífuga ) sería más débil en el ecuador que en el polos en una cantidad igual (al menos asintóticamente ) a cinco cuartos de la fuerza centrífuga en el ecuador. ^[5] En 1742, Colin Maclaurin publicó su tratado sobre fluxiones, en el que demostró que el esferoide era una solución exacta. Si designamos el radio ecuatorial por el radio polar por y la excentricidad por con ${\displaystyle r_{e},}$ ${\displaystyle r_{p},}$ ${\displaystyle \epsilon ,}$

${\displaystyle \epsilon ={\sqrt {1-r_{p}^{2}/r_{e}^{2}}},}$

encontró que la gravedad en los polos es ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}&=4\pi {\frac {r_{p}}{r_{e}}}{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}}}G\rho \\&=3{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

donde es la constante gravitacional, es la densidad (uniforme) y es la masa total. La relación entre esto y la gravedad, si el fluido no está girando, es asintótica para ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{0},}$

${\displaystyle g_{p}/g_{0}\sim 1+{\frac {1}{15}}\epsilon ^{2}\sim 1+{\frac {2}{15}}f}$

cuando llega a cero, ¿dónde está el aplanamiento? ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f={\frac {r_{e}-r_{p}}{r_{e}}}.}$

La atracción gravitacional sobre el ecuador (sin incluir la fuerza centrífuga) es

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{e}&={\frac {3}{2}}\left({\frac {1}{r_{e}r_{p}}}-{\frac {\epsilon r_{e}-r_{p}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})}{\epsilon ^{3}r_{e}^{2}r_{p}}}\right)GM\\&={\frac {3}{2}}{\frac {r_{e}\arctan(\epsilon r_{e}/r_{p})-\epsilon r_{p}}{\epsilon ^{3}r_{e}^{3}}}GM\\\end{aligned}}}$

Asintóticamente tenemos:

${\displaystyle g_{e}/g_{0}\sim 1-{\frac {1}{30}}\epsilon ^{2}\sim 1-{\frac {1}{15}}f}$

Maclaurin demostró (aún en el caso de densidad uniforme) que la componente de la gravedad hacia el eje de rotación dependía sólo de la distancia al eje y era proporcional a esa distancia, y la componente en dirección hacia el plano del ecuador dependía sólo en la distancia desde ese plano y era proporcional a esa distancia. Newton ya había señalado que la gravedad que se siente en el ecuador (incluido el rayo debido a la fuerza centrífuga) tiene que ser para tener la misma presión en el fondo de los canales desde el polo o desde el ecuador hacia el centro, por lo que la fuerza centrífuga La fuerza en el ecuador debe ser ${\displaystyle {\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}}$

${\displaystyle g_{e}-{\frac {r_{p}}{r_{e}}}g_{p}\sim {\frac {2}{5}}\epsilon ^{2}g_{e}\sim {\frac {4}{5}}fg_{e}.}$

Al definir la latitud como el ángulo entre una tangente al meridiano y el eje de rotación, la gravedad total que se siente en la latitud (incluido el efecto de la fuerza centrífuga) es ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle g(\phi )={\frac {g_{p}(1-f)}{\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi }}}.}$

Esta solución esferoide es estable hasta un cierto momento angular (crítico) (normalizado por ), pero en 1834 Carl Jacobi demostró que se vuelve inestable una vez que la excentricidad alcanza 0,81267 (o alcanza 0,3302). Por encima del valor crítico, la solución se convierte en un elipsoide de Jacobi o escaleno (uno con los tres ejes diferentes). Henri Poincaré en 1885 descubrió que con un momento angular aún mayor ya no será elipsoidal sino piriforme u oviforme . La simetría cae del grupo de puntos D _2h de 8 veces al C _2v de 4 veces , con su eje perpendicular al eje de rotación. ^[7] Otras formas satisfacen las ecuaciones más allá de eso, pero no son estables, al menos no cerca del punto de bifurcación . ^{[7] [8]} Poincaré no estaba seguro de qué sucedería con un momento angular mayor, pero concluyó que eventualmente la masa se dividiría en dos. ${\displaystyle M{\sqrt {G\rho r_{e}}}}$ ${\displaystyle f}$

La suposición de densidad uniforme puede aplicarse más o menos a un planeta fundido o a un planeta rocoso, pero no se aplica a una estrella o a un planeta como la Tierra que tiene un núcleo metálico denso. En 1737 Alexis Clairaut estudió el caso de la densidad que varía con la profundidad. ^[9] El teorema de Clairaut establece que la variación de la gravedad (incluida la fuerza centrífuga) es proporcional al cuadrado del seno de la latitud, y la proporcionalidad depende linealmente del aplanamiento ( ) y de la relación en el ecuador entre la fuerza centrífuga y la gravitacional. atracción. (Compárese con la relación exacta anterior para el caso de densidad uniforme.) El teorema de Clairaut es un caso especial, para un esferoide achatado, de una conexión encontrada más tarde por Pierre-Simon Laplace entre la forma y la variación de la gravedad. ^[10] ${\displaystyle f}$

Si la estrella tiene un objeto compañero masivo cercano, entonces las fuerzas de marea también entran en juego, distorsionando la estrella en una forma escalena cuando la rotación por sí sola la convertiría en un esferoide. Un ejemplo de ello es Beta Lyrae .

El equilibrio hidrostático también es importante para el medio intracúmulo , donde restringe la cantidad de fluido que puede estar presente en el núcleo de un cúmulo de galaxias .

También podemos utilizar el principio del equilibrio hidrostático para estimar la velocidad de dispersión de la materia oscura en cúmulos de galaxias. Sólo la materia bariónica (o, mejor dicho, sus colisiones) emite radiación de rayos X. La luminosidad absoluta de los rayos X por unidad de volumen toma la forma donde y son la temperatura y la densidad de la materia bariónica, y es función de la temperatura y las constantes fundamentales. La densidad bariónica satisface la ecuación anterior : ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle \rho _{B}}$ ${\displaystyle \Lambda (T)}$ ${\displaystyle dP=-\rho g\,dr}$

$${\displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$

ley de los gases idealesla constante de Boltzmann ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m_{B}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$$

${\displaystyle r^{2}/\rho _{B}(r)}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$

${\displaystyle \rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$$

${\displaystyle \sigma _{D}^{2}}$

$${\displaystyle \sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.}$$

rojo ${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^{3/2}}$$

^[11] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$

Geología planetaria

El concepto de equilibrio hidrostático también se ha vuelto importante para determinar si un objeto astronómico es un planeta , un planeta enano o un cuerpo pequeño del Sistema Solar . Según la definición de planeta adoptada por la Unión Astronómica Internacional en 2006, una característica definitoria de los planetas y los planetas enanos es que son objetos que tienen suficiente gravedad para superar su propia rigidez y asumir el equilibrio hidrostático. Tal cuerpo a menudo tendrá el interior y la geología diferenciados de un mundo (un planemo ), aunque cuerpos casi hidrostáticos o anteriormente hidrostáticos como el protoplaneta 4 Vesta también pueden diferenciarse y algunos cuerpos hidrostáticos (en particular Calisto ) no se han diferenciado completamente. diferenciados desde su formación. A menudo la forma de equilibrio es un esferoide achatado , como es el caso de la Tierra. Sin embargo, en el caso de lunas en órbita sincrónica, las fuerzas de marea casi unidireccionales crean un elipsoide escaleno . Además, el supuesto planeta enano Haumea es escaleno debido a su rápida rotación, aunque es posible que actualmente no esté en equilibrio.

Anteriormente se creía que los objetos helados necesitaban menos masa para alcanzar el equilibrio hidrostático que los objetos rocosos. El objeto más pequeño que parece tener una forma de equilibrio es la luna helada Mimas a 396 km, mientras que el objeto helado más grande que se sabe que tiene una forma obviamente no equilibrada es la luna helada Proteus a 420 km, y los cuerpos rocosos más grandes en una forma obviamente no equilibrada es la luna helada Proteus a 420 km. La forma de no equilibrio son los asteroides Palas y Vesta a unos 520 km. Sin embargo, Mimas en realidad no se encuentra en equilibrio hidrostático para su rotación actual. El cuerpo más pequeño que se ha confirmado que se encuentra en equilibrio hidrostático es el planeta enano Ceres , que está helado, a 945 km, mientras que el cuerpo más grande conocido que tiene una desviación notable del equilibrio hidrostático es Jápeto , que está formado principalmente por hielo permeable y casi sin roca. ^[12] A 1.469 km, Jápeto no es ni esférico ni elipsoide. En cambio, tiene una extraña forma parecida a una nuez debido a su cresta ecuatorial única . ^[13] Algunos cuerpos helados pueden estar en equilibrio, al menos en parte, debido a un océano subterráneo, que no es la definición de equilibrio utilizada por la IAU (gravedad que supera las fuerzas internas de los cuerpos rígidos). Incluso los cuerpos más grandes se desvían del equilibrio hidrostático, aunque son elipsoidales: ejemplos son la Luna de la Tierra a 3.474 km (principalmente roca), ^[14] y el planeta Mercurio a 4.880 km (principalmente metal). ^[15]

En 2024, Kiss et al. descubrió que Quaoar tiene una forma elipsoidal incompatible con el equilibrio hidrostático para su giro actual. Plantearon la hipótesis de que Quaoar originalmente tenía una rotación rápida y estaba en equilibrio hidrostático, pero que su forma se "congelaba" y no cambiaba a medida que giraba hacia abajo debido a las fuerzas de marea de su luna Weywot . ^[16] Si es así, esto se parecería a la situación de Jápeto, que es demasiado achatado para su giro actual. ^{[17] [18]} Jápeto generalmente todavía se considera una luna de masa planetaria , ^[19] aunque no siempre. ^[20]

Los cuerpos sólidos tienen superficies irregulares, pero las irregularidades locales pueden ser consistentes con el equilibrio global. Por ejemplo, la enorme base de la montaña más alta de la Tierra, Mauna Kea , ha deformado y deprimido el nivel de la corteza circundante, de modo que la distribución general de la masa se acerca al equilibrio.

Modelado atmosférico

En la atmósfera, la presión del aire disminuye al aumentar la altitud. Esta diferencia de presión provoca una fuerza hacia arriba llamada fuerza de gradiente de presión . La fuerza de gravedad equilibra esto, manteniendo la atmósfera unida a la Tierra y manteniendo las diferencias de presión con la altitud.

Gemología

Los gemólogos utilizan balanzas hidrostáticas para determinar la gravedad específica de las piedras preciosas. Un gemólogo puede comparar la gravedad específica que observa con una balanza hidrostática con un catálogo estandarizado de información sobre piedras preciosas, lo que le ayuda a delimitar la identidad o el tipo de piedra preciosa que se está examinando.

Ver también

• Lista de objetos gravitacionalmente redondeados del Sistema Solar ; una lista de objetos que tienen una forma elipsoidal redondeada debido a su propia gravedad (pero que no necesariamente están en equilibrio hidrostático)
• estática
• Experimento de dos globos

Referencias

1. Blanco, Frank M. (2008). "Distribución de presión en un fluido". Mecánica de fluidos . Nueva York: McGraw-Hill. págs.63, 66. ISBN 978-0-07-128645-9.
2. Vallis, Geoffrey K. (6 de noviembre de 2006). Dinámica de fluidos atmosféricos y oceánicos: fundamentos y circulación a gran escala. ISBN 9781139459969.
3. Klinger, Barry A.; Haine, Thomas WN (14 de marzo de 2019). Circulación oceánica en tres dimensiones. ISBN 9780521768436.
4. Zee, A. (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 451–454. ISBN 9780691145587.
5. Proposiciones X-XXIV (Movimientos de los cuerpos celestes y del mar), Proposiciones XIX y XX. Latín original.
6. Colin Maclaurin (1742). Tratado sobre fluxiones (PDF) . pag. 125.Maclaurin no utiliza notación moderna sino que expresa sus resultados en términos geométricos. Los resultados de gravedad están en el artículo 646. En un momento hace una declaración errónea equivalente a pero sus declaraciones posteriores son correctas. ${\displaystyle d(\tan \theta -\theta )/d\tan \theta =\tan ^{2}\theta }$
7. Henri Poincaré (1885). "Las formas de equilibrio de una masa fluida en rotación". Revue Général des Sceince Pures et Appliquées .
8. "Galería: La forma del planeta Tierra". Josleys.com . Consultado el 15 de junio de 2014 .
9. Claraut, Alexis; Colson, Juan (1737). "Una investigación sobre la figura de planetas que giran alrededor de un eje, suponiendo que la densidad varíe continuamente, desde el centro hacia la superficie". Transacciones filosóficas . JSTOR  103921.
10. Véase Sir George Stokes (1849). "Sobre las atracciones y el teorema de Clairaut" (PDF) . Revista matemática de Cambridge y Dublín : 194–219.
11. Weinberg, Steven (2008). Cosmología . Nueva York: Oxford University Press. págs. 70–71. ISBN 978-0-19-852682-7.
12. Thomas, ordenador personal (julio de 2010). «Tamaños, formas y propiedades derivadas de los satélites saturninos tras la misión nominal Cassini» (PDF) . Ícaro . 208 (1): 395–401. Código Bib : 2010Icar..208..395T. doi :10.1016/j.icarus.2010.01.025. Archivado desde el original (PDF) el 23 de diciembre de 2018.
13. Castillo-Rogez, JC; Matson, DL; Sotín, C.; Johnson, televisión; Lunine, Jonathan I.; Thomas, ordenador personal (2007). "Geofísica de Jápeto: velocidad de rotación, forma y cresta ecuatorial". Ícaro . 190 (1): 179–202. Código Bib : 2007Icar..190..179C. doi :10.1016/j.icarus.2007.02.018.
14. Garrick-Bethell, yo; Sabiduría, J; Zuber, MT (4 de agosto de 2006). "Evidencia de una órbita lunar pasada de alta excentricidad". Ciencia . 313 (5787): 652–655. Código Bib : 2006 Ciencia... 313..652G. doi : 10.1126/ciencia.1128237. PMID  16888135. S2CID  317360.
15. Sean Solomon, Larry Nittler y Brian Anderson, eds. (2018) Mercurio: La vista después de MESSENGER . Serie Cambridge Planetary Science no. 21, Cambridge University Press, págs. 72–73.
16. Beso, C.; Müller, TG; Marton, G.; Szakáts, R.; Pál, A.; Molnár, L.; et al. (Marzo de 2024). "La curva de luz visible y térmica del gran objeto del cinturón de Kuiper (50000) Quaoar". Astronomía y Astrofísica . próximo. arXiv : 2401.12679 . Código Bib : 2024arXiv240112679K. doi :10.1051/0004-6361/202348054.
17. Cowen, R. (2007). Jápeto idiosincrásico, Science News vol. 172, págs. 104-106. referencias Archivado el 13 de octubre de 2007 en Wayback Machine.
18. Thomas, ordenador personal (julio de 2010). «Tamaños, formas y propiedades derivadas de los satélites saturninos tras la misión nominal Cassini» (PDF) . Ícaro . 208 (1): 395–401. Código Bib : 2010Icar..208..395T. doi :10.1016/j.icarus.2010.01.025. Archivado desde el original (PDF) el 23 de diciembre de 2018 . Consultado el 25 de septiembre de 2015 .
19. Emily Lakdawalla y otros, ¿Qué es un planeta? Archivado el 22 de enero de 2022 en Wayback Machine The Planetary Society, 21 de abril de 2020.
20. Chen, Jingjing; Kipping, David (2016). "Predicción probabilística de las masas y radios de otros mundos". La revista astrofísica . 834 (1): 17. arXiv : 1603.08614 . doi : 10.3847/1538-4357/834/1/17 . S2CID  119114880.

enlaces externos

• Strobel, Nick. (mayo de 2001). Notas de astronomía de Nick Strobel.
• Demostración en YouTube de Richard Pogge, Universidad Estatal de Ohio, Departamento de Astronomía