avion laguerre

En matemáticas , un plano de Laguerre es uno de los tres tipos de plano de Benz , que son el plano de Möbius , el plano de Laguerre y el plano de Minkowski . Los aviones de Laguerre llevan el nombre del matemático francés Edmond Nicolas Laguerre .

Plano clásico de Laguerre: modelo 2d/3d

El plano de Laguerre clásico es una estructura de incidencia que describe el comportamiento de incidencia de las curvas , es decir, parábolas y rectas, en el plano afín real . Para simplificar la estructura, a cualquier curva se le añade el punto . Una ventaja adicional de esta finalización es que la geometría plana de las parábolas/líneas completadas es isomorfa a la geometría de las secciones planas de un cilindro (ver más abajo). ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle (\infty ,a)}$

El clásico avión real de Laguerre

Originalmente, el plano de Laguerre clásico se definió como la geometría de las líneas y círculos orientados en el plano euclidiano real (ver ^[1] ). Aquí preferimos el modelo de parábola del plano clásico de Laguerre.

Definimos:

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\mathbb {R} ^{2}\cup (\{\infty \}\times \mathbb {R} ),\ \infty \notin \mathbb {R} ,}$el conjunto de puntos , el conjunto de ciclos . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=ax^{2}+bx+c\}\cup \{(\infty ,a)\}\mid a,b,c\in \mathbb {R} \}}$

La estructura de incidencia se denomina plano de Laguerre clásico . ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

El conjunto de puntos es más una copia de (ver figura). Cualquier parábola/línea obtiene el punto adicional . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle (\infty ,a)}$

Los puntos con la misma coordenada x no se pueden conectar mediante curvas . Por ello definimos: ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

Dos puntos son paralelos ( ) si o no hay ningún ciclo que contenga y . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\parallel B}$ ${\displaystyle A=B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Para la descripción del plano real clásico de Laguerre, dos puntos superiores son paralelos si y sólo si . es una relación de equivalencia , similar a la paralelidad de rectas. ${\displaystyle (a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})}$ ${\displaystyle a_{1}=b_{1}}$ ${\displaystyle \parallel }$

La estructura de incidencia tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

Lema:

• Para tres puntos cualesquiera , por pares y no paralelos, hay exactamente un ciclo que contiene . ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C}$
• Para cualquier punto y ciclo hay exactamente un punto tal que . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P'\in z}$ ${\displaystyle P\parallel P'}$
• Para cualquier ciclo , cualquier punto y cualquier punto que no sea paralelo a hay exactamente un ciclo que pasa por , es decir, y se tocan entre sí en . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P\in z}$ ${\displaystyle Q\notin z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P}$

Plano de Laguerre: proyección estereográfica del plano xz sobre un cilindro

Similar al modelo esférico del plano clásico de Moebius, existe un modelo cilíndrico para el plano clásico de Laguerre:

${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un cilindro circular en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

El siguiente mapeo es una proyección con centro que mapea el plano xz en el cilindro con la ecuación , eje y radio. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (0,1,0)}$ ${\displaystyle u^{2}+v^{2}-v=0}$ ${\displaystyle (0,{\tfrac {1}{2}},..)}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}\ :}$

${\displaystyle \Phi :\ (x,z)\rightarrow ({\frac {x}{1+x^{2}}},{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}},{\frac {z}{1+x^{2}}})=(u,v,w)\ .}$

• Los puntos (la línea del cilindro que pasa por el centro) no aparecen como imágenes. ${\displaystyle (0,1,a)}$
• ${\displaystyle \Phi }$proyecta la parábola/línea con ecuación en el plano . Entonces, la imagen de la parábola/línea es la sección plana del cilindro con un plano no perpendicular y por lo tanto un círculo/elipse sin punto . Las parábolas/líneas se asignan a círculos (horizontales). ${\displaystyle z=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle w-a=bu+(a-c)(v-1)}$ ${\displaystyle (0,1,a)}$ ${\displaystyle z=ax^{2}+a}$
• Una línea (a=0) se asigna a un círculo/elipse que pasa por el centro y una parábola ( ) a un círculo/elipse que no contiene . ${\displaystyle (0,1,0)}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle (0,1,0)}$

Los axiomas de un plano de Laguerre.

El Lema anterior da lugar a la siguiente definición:

Sea una estructura de incidencia con conjunto de puntos y conjunto de ciclos . Dos puntos son paralelos ( ) si o no hay ningún ciclo que contenga y . Se llama plano de Laguerre si se cumplen los siguientes axiomas: ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$
${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\parallel B}$ ${\displaystyle A=B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Plano de Laguerre: axiomas

B1: Para tres puntos cualesquiera , por pares y no paralelos, hay exactamente un ciclo que contiene . ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C}$

B2: Para cualquier punto y cualquier ciclo existe exactamente un punto tal que . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P'\in z}$ ${\displaystyle P\parallel P'}$

B3: Para cualquier ciclo , cualquier punto y cualquier punto que no sea paralelo a, hay exactamente un ciclo con , ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P\in z}$ ${\displaystyle Q\notin z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$

es decir, y tocarse en . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P}$

B4: Cualquier ciclo contiene al menos tres puntos. Hay al menos un ciclo. Hay al menos cuatro puntos que no están en un ciclo.

Cuatro puntos son concíclicos si hay un ciclo con . ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C,D\in z}$

De la definición de relación y el axioma B2 obtenemos ${\displaystyle \parallel }$

Lema: La relación es una relación de equivalencia . ${\displaystyle \parallel }$

Siguiendo el modelo cilíndrico del plano de Laguerre clásico introducimos la denotación:

a) Porque fijamos . b) Una clase de equivalencia se llama generador . ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}:=\{Q\in {\mathcal {P}}\ |\ P\parallel Q\}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}}$

Para el plano clásico de Laguerre, un generador es una línea paralela al eje y (modelo plano) o una línea en el cilindro (modelo espacial).

La conexión con la geometría lineal viene dada por la siguiente definición:

Para un plano de Laguerre definimos la estructura local. ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus \{{\overline {P}}\},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\ |\ P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{{\overline {Q}}\ |\ Q\in {\mathcal {P}}\setminus \{{\overline {P}}\},\in )}$

y llámalo residuo en el punto P.

En el modelo plano del plano clásico de Laguerre es el plano afín real . En general obtenemos ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Teorema: Cualquier residuo de un plano de Laguerre es un plano afín .

Y la definición equivalente de avión de Laguerre:

Teorema: Una estructura de incidencia junto con una relación de equivalencia es un plano de Laguerre si y sólo si para cualquier punto el residuo es un plano afín. ${\displaystyle \parallel }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}}$

Planos finitos de Laguerre

modelo mínimo de un avión de Laguerre (solo se muestran 4 de 8 ciclos)

La siguiente estructura de incidencia es un "modelo mínimo" de un avión de Laguerre:

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\{A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}\}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{\{A_{i},B_{j},C_{k}\}\ |\ i,j,k=1,2\}\ ,}$

${\displaystyle A_{1}\parallel A_{2},\ B_{1}\parallel B_{2},\ C_{1}\parallel C_{2}\ .}$

Por lo tanto y ${\displaystyle |{\mathcal {P}}|=6}$ ${\displaystyle |{\mathcal {Z}}|=8\ .}$

Para planos de Laguerre finitos, es decir , obtenemos: ${\displaystyle |{\mathcal {P}}|<\infty }$

Lema: Para cualquier ciclo y cualquier generador de un plano de Laguerre finito tenemos: ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

${\displaystyle |z_{1}|=|z_{2}|=|{\overline {P}}|+1}$.

Para un plano de Laguerre finito y un ciclo, el número entero se llama orden de . ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ ${\displaystyle z\in {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle n:=|z|-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

De la combinatoria obtenemos

Lema: Sea un Laguerre: plano de orden . Entonces ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ ${\displaystyle n}$

a) cualquier residuo es un plano de orden afín b) c) ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}}$ ${\displaystyle n\quad ,}$ ${\displaystyle |{\mathcal {P}}|=n^{2}+n,}$ ${\displaystyle |{\mathcal {Z}}|=n^{3}.}$

Aviones de Miquelián Laguerre.

A diferencia de los planos de Moebius, la generalización formal del modelo clásico de un plano de Laguerre, es decir, la sustitución por un campo arbitrario , siempre conduce a un ejemplo de plano de Laguerre. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$

Teorema: Para un campo y ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=K^{2}\cup }$ ${\displaystyle (\{\infty \}\times K),\ \infty \notin K}$,

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{\{(x,y)\in K^{2}\ |\ y=ax^{2}+bx+c\}\cup \{(\infty ,a)\}\ |\ a,b,c\in K\}}$la estructura de incidencia

${\displaystyle {\mathcal {L}}(K):=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$es un plano de Laguerre con la siguiente relación paralela: si y sólo si . ${\displaystyle (a_{1},a_{2})\parallel (b_{1},b_{2})}$ ${\displaystyle a_{1}=b_{1}}$

De manera similar a un plano de Möbius, la versión de Laguerre del Teorema de Miquel sostiene:

Teorema de Miquel (círculos dibujados en lugar de parábolas)

Teorema de Miquel: Para el plano de Laguerre se cumple lo siguiente: ${\displaystyle {\mathcal {L}}(K)}$

Si para 8 pares de puntos no paralelos que se pueden asignar a los vértices de un cubo de modo que los puntos en 5 caras correspondan a cuádruples concíclicos, entonces el sexto cuádruple de puntos también es concíclico. ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{8}}$

(Para una mejor visión general en la figura hay círculos dibujados en lugar de parábolas)

La importancia del Teorema de Miquel se demuestra en el siguiente teorema, que se debe a vd Waerden, Smid y Chen:

Teorema: Sólo un plano de Laguerre satisface el teorema de Miquel. ${\displaystyle {\mathcal {L}}(K)}$

Por este último teorema se le llama "plano de Miquelian Laguerre". ${\displaystyle {\mathcal {L}}(K)}$

El modelo mínimo de un avión de Laguerre es miqueliano. Es isomorfo al plano de Laguerre con (campo ). ${\displaystyle {\mathcal {L}}(K)}$ ${\displaystyle K=GF(2)}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$

Una proyección estereográfica adecuada muestra que es isomorfa a la geometría de las secciones planas de un cilindro cuádrico sobre el campo . ${\displaystyle {\mathcal {L}}(K)}$ ${\displaystyle K}$

Planos ovoidales de Laguerre

Hay muchos planos de Laguerre que no son miquelianos (ver enlace web más abajo). La clase que más se parece a los aviones miquelianos de Laguerre son los aviones ovoidales de Laguerre . Un plano ovoidal de Laguerre es la geometría de las secciones planas de un cilindro que se construye utilizando un óvalo en lugar de una cónica no degenerada. Un óvalo es un conjunto cuadrático y tiene las mismas propiedades geométricas que una cónica no degenerada en un plano proyectivo: 1) una recta corta a un óvalo en cero, uno o dos puntos y 2) en cualquier punto hay una tangente única. Se puede construir un óvalo simple en el plano real pegando dos mitades adecuadas de elipses diferentes, de modo que el resultado no sea una cónica. Incluso en el caso finito existen óvalos (ver conjunto cuadrático ).

Ver también

• Transformaciones de Laguerre

Referencias

1. Benz, Walter (2013) [1973], Vorlesungen über Geometrie der Algebren (en alemán), Heidelberg: Springer , p. 11, ISBN 9783642886713

enlaces externos

• Avión Benz en la Enciclopedia de Matemáticas.
• Nota de conferencia Geometrías de círculos planos, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski, págs.67