sistema lorenz

Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con soluciones caóticas.

Una solución de muestra en el atractor de Lorenz cuando ρ  = 28 , σ  = 10 y β  = 8/3

El sistema de Lorenz es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias estudiado por primera vez por el matemático y meteorólogo Edward Lorenz . Se destaca por tener soluciones caóticas para ciertos valores de parámetros y condiciones iniciales. En particular, el atractor de Lorenz es un conjunto de soluciones caóticas del sistema de Lorenz. El término " efecto mariposa " en los medios populares puede surgir de las implicaciones del mundo real del atractor de Lorenz, es decir, que varias condiciones caóticas iniciales diferentes evolucionan en el espacio de fases de una manera que nunca se repite, por lo que todo caos es impredecible. Esto subraya que los sistemas caóticos pueden ser completamente deterministas y aún así ser inherentemente impredecibles durante largos períodos de tiempo. Debido a que el caos aumenta continuamente en los sistemas, es imposible predecir bien el futuro de los sistemas. Por ejemplo, incluso el pequeño aleteo de una mariposa podría poner al mundo en una trayectoria muy diferente, como provocar un huracán. La forma del propio atractor de Lorenz, cuando se representa en el espacio de fases , también puede parecerse a una mariposa.

Descripción general

En 1963, Edward Lorenz , con la ayuda de Ellen Fetter , responsable de las simulaciones numéricas y figuras, ^[1] y Margaret Hamilton , que ayudó en los cálculos numéricos iniciales que condujeron a los hallazgos del modelo de Lorenz, ^[2] desarrolló un modelo matemático simplificado para la convección atmosférica . ^[1] El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias ahora conocidas como ecuaciones de Lorenz:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

Las ecuaciones relacionan las propiedades de una capa de fluido bidimensional calentada uniformemente desde abajo y enfriada desde arriba. En particular, las ecuaciones describen la tasa de cambio de tres cantidades con respecto al tiempo: x es proporcional a la tasa de convección, y a la variación de temperatura horizontal y z a la variación de temperatura vertical. ^[3] Las constantes σ , ρ y β son parámetros del sistema proporcionales al número de Prandtl , al número de Rayleigh y a ciertas dimensiones físicas de la propia capa. ^[3]

Las ecuaciones de Lorenz pueden surgir en modelos simplificados para láseres , ^[4] dinamos , ^[5] termosifones , ^[6] motores de CC sin escobillas , ^[7] circuitos eléctricos , ^[8] reacciones químicas ^[9] y ósmosis directa . ^[10] Las ecuaciones de Lorenz son también las ecuaciones que rigen en el espacio de Fourier para la rueda hidráulica de Malkus . ^{[11] [12]} La rueda hidráulica Malkus exhibe un movimiento caótico donde, en lugar de girar en una dirección a una velocidad constante, su rotación acelerará, desacelerará, se detendrá, cambiará de dirección y oscilará hacia adelante y hacia atrás entre combinaciones de tales comportamientos en una manera impredecible.

Desde un punto de vista técnico, el sistema de Lorenz es no lineal , aperiódico, tridimensional y determinista . Las ecuaciones de Lorenz han sido objeto de cientos de artículos de investigación y al menos de un estudio extenso. ^[3]

Análisis

Normalmente se supone que los parámetros σ , ρ y β son positivos. Lorenz utilizó los valores σ = 10 , β =8/3y ρ = 28 . El sistema exhibe un comportamiento caótico para estos valores (y los cercanos). ^[13]

Si ρ < 1 entonces sólo hay un punto de equilibrio, que está en el origen. Este punto no corresponde a ninguna convección. Todas las órbitas convergen hacia el origen, que es un atractor global , cuando ρ < 1 . ^[14]

Se produce una bifurcación en forma de horquilla en ρ = 1 , y para ρ > 1 aparecen dos puntos críticos adicionales en

$${\displaystyle \left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)\quad {\text{and}}\quad \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).}$$

${\displaystyle \rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},}$

que puede ser válido sólo para ρ positivo si σ > β + 1 . En el valor crítico, ambos puntos de equilibrio pierden estabilidad debido a una bifurcación de Hopf subcrítica . ^[15]

Cuando ρ  = 28 , σ  = 10 y β  = 8/3, el sistema de Lorenz tiene soluciones caóticas (pero no todas las soluciones son caóticas). Casi todos los puntos iniciales tenderán a un conjunto invariante (el atractor de Lorenz), un atractor extraño , un fractal y un atractor autoexcitado con respecto a los tres equilibrios. Su dimensión de Hausdorff se estima desde arriba mediante la dimensión de Lyapunov (dimensión de Kaplan-Yorke) como2,06 ± 0,01 , ^[16] y se estima que la dimensión de correlación es2,05 ± 0,01 . ^[17] La ​​fórmula exacta de la dimensión de Lyapunov del atractor global se puede encontrar analíticamente bajo restricciones clásicas sobre los parámetros: ^{[18] [16] [19]}

${\displaystyle 3-{\frac {2(\sigma +\beta +1)}{\sigma +1+{\sqrt {\left(\sigma -1\right)^{2}+4\sigma \rho }}}}}$

El atractor de Lorenz es difícil de analizar, pero la acción de la ecuación diferencial sobre el atractor se describe mediante un modelo geométrico bastante simple. ^[20] Demostrar que este es efectivamente el caso es el decimocuarto problema en la lista de problemas de Smale . Este problema fue el primero en ser resuelto por Warwick Tucker en 2002. ^[21]

Para otros valores de ρ , el sistema muestra órbitas periódicas anudadas. Por ejemplo, con ρ = 99,96 se convierte en un nudo toroide T (3,2) .

Conexión al mapa de la tienda

Una recreación de los resultados de Lorenz creada en Mathematica . Los puntos por encima de la línea roja corresponden a los lóbulos de conmutación del sistema.

En la Figura 4 de su artículo, ^[1] Lorenz trazó el valor máximo relativo en la dirección z logrado por el sistema frente al máximo relativo anterior en la dirección z . Este procedimiento se conoció más tarde como mapa de Lorenz (que no debe confundirse con un diagrama de Poincaré , que traza las intersecciones de una trayectoria con una superficie prescrita). El gráfico resultante tiene una forma muy similar al mapa de la tienda . Lorenz también descubrió que cuando el valor z máximo está por encima de un cierto límite, el sistema cambiará al siguiente lóbulo. Combinando esto con el caos que se sabe que exhibe el mapa de la tienda, demostró que el sistema cambia entre los dos lóbulos de forma caótica.

Un sistema de Lorenz generalizado

En los últimos años, una serie de artículos sobre modelos de Lorenz de alta dimensión han producido un modelo de Lorenz generalizado, ^[22] que puede simplificarse al modelo de Lorenz clásico para tres variables de estado o al siguiente modelo de Lorenz de cinco dimensiones para cinco estados. variables: ^[23]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-xy_{1}-\beta z,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y_{1}}{\mathrm {d} t}}&=xz-2xz_{1}-d_{0}y_{1},\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z_{1}}{\mathrm {d} t}}&=2xy_{1}-4\beta z_{1}.\end{aligned}}}$$

Se ha aplicado una elección del parámetro para que sea coherente con la elección de los demás parámetros. Ver detalles en. ^{[22] [23]} ${\textstyle d_{0}={\dfrac {19}{3}}}$

Simulaciones

Simulación de Julia

simulación de julia

usando Plots # define el atractor de Lorenz @kwdef estructura mutable Lorenz dt :: Float64 = 0.02 σ :: Float64 = 10 ρ :: Float64 = 28 β :: Float64 = 8 / 3 x :: Float64 = 2 y :: Float64 = 1 z :: Float64 = 1 extremo                         paso de función ! ( l :: Lorenz ) dx = l . σ * ( l . y - l . x ); yo . x += l . dt * dx dy = l . x * ( l . ρ - l . z ) - l . y ; yo . y += l . dt * dy dz = l . x * l . y - l . β * l . z ; yo . z += l . dt * dz final                                         atractor = Lorenz ()  # inicializa un gráfico 3D con 1 serie vacía plt = plot3d ( 1 , xlim = ( - 30 , 30 ), ylim = ( - 30 , 30 ), zlim = ( 0 , 60 ), title = "Atractor de Lorenz" , marcador = 2 , )                     # ¡Construye un gif animado insertando nuevos puntos en la trama, guardando cada 10.º fotograma @gif para i = 1 : 1500 pasos! ( atractor ) ¡empuja! ( plt , atractor . x , atractor . y , atractor . z ) finaliza cada 10         

Simulación de arce

deq := [ diff ( x ( t ) , t ) = 10 * ( y ( t ) - x ( t ) ) , diff ( y ( t ) , t ) = 28 * x ( t ) - y ( t ) - x ( t ) * z ( t ) , diff ( z ( t ) , t ) = x ( t ) * y ( t ) - 8/3 * z ( t ) ] : con ( DEtools ) : DEplot3d ( deq , {​ x ( t ) , y ( t ) , z ( t )} , t = 0 .. 100 , [[ x ( 0 ) = 10 , y ( 0 ) = 10 , z ( 0 ) = 10 ]] , tamaño de paso = 0.01 , x = - 20 .. 20 , y = - 25 .. 25 , z = 0 .. 50 , color de línea = sin ( t * Pi / 3 ) , espesor = 1 , orientación = [ -40 , 80 ] , título = `Atractor caótico de Lorenz` ) ;                                                                     

Simulación máxima

[ sigma , rho , beta ] : [ 10 , 28 , 8 / 3 ]$ eq : [ sigma * ( y - x ), x * ( rho - z ) - y , x * y - beta * z ] $ sol : rk ( eq , [ x , y , z ], [ 1 , 0 , 0 ] , [ t , 0 , 50 , 1/100 ] )$ len : longitud ( sol )$ x : lista de creación ( sol [ k ] [ 2 ], k , len )$ y : makelist ( sol [ k ][ 3 ], k , len )$ z : makelist ( sol [ k ][ 4 ], k , len )$ draw3d ( points_joined = true , point_type =- 1 , puntos ( x , y , z ), ejes_proporcionales = xyz )$                                  

simulaciónMATLAB

% Resolver en el intervalo de tiempo [0,100] con condiciones iniciales [1,1,1] % ''f'' es un conjunto de ecuaciones diferenciales % ''a'' es una matriz que contiene las variables x, y y z % ''t' 'es variable en el tiemposigma = 10 ; beta = 8/3 ;​​ ro = 28 ; f = @( t , a ) [ - sigma * a ( 1 ) + sigma * a ( 2 ); rho * un ( 1 ) - un ( 2 ) - un ( 1 ) * un ( 3 ); - beta * a ( 3 ) + a ( 1 ) * a ( 2 )]; [ t , a ] = oda45 ( f ,[ 0 100 ],[ 1 1 1 ]); % Runge-Kutta Gráfico de resolución de EDO de cuarto/quinto orden3 ( a (:, 1 ), a (:, 2 ), a (:, 3 ))                         

Simulación matemática

Manera estándar:

tender = 50 ; eq = { x ' [ t ] == σ ( y [ t ] - x [ t ]), y ' [ t ] == x [ t ] ( ρ - z [ t ]) - y [ t ], z ' [ t ] == x [ t ] y [ t ] - β z [ t ]}; inicio = { x [ 0 ] == 10 , y [ 0 ] == 10 , z [ 0 ] == 10 }; pars = { σ -> 10 , ρ -> 28 , β - > 8/3 } ; { xs , ys , zs } = NDSolveValue [{ eq /. pars , init }, { x , y , z }, { t , 0 , tend }]; ParametricPlot3D [{ xs [ t ], ys [ t ], zs [ t ]}, { t , 0 , tend }]                                                           

Menos detallado:

lorenz = NonlinearStateSpaceModel [{{ σ ( y - x ), x ( ρ - z ) - y , x y - β z }, {}}, { x , y , z }, { σ , ρ , β }]; soln [ t_ ] = RespuestaEstado [ { lorenz , { 10 , 10 , 10 }}, { 10 , 28 , 8/3 } , { t , 0 , 50 }]; ParametricPlot3D [ soln [ t ], { t , 0 , 50 }]                                     

Simulación de Python

importar  matplotlib.pyplot  como  plt importar  numpy  como  npdef  lorenz ( xyz ,  * ,  s = 10 ,  r = 28 ,  b = 2.667 ): """  Parámetros  ----------  xyz : tipo matriz, forma (3,)  Punto de interés en tres -espacio dimensional.  s, r, b : float  Parámetros que definen el atractor de Lorenz.  Devuelve  -------  xyz_dot : matriz, forma (3,)  Valores de las derivadas parciales del atractor de Lorenz en *xyz*.  """  x ,  y ,  z  =  xyz  x_dot  =  s * ( y  -  x )  y_dot  =  r * x  -  y  -  x * z  z_dot  =  x * y  -  b * z  return  np . matriz ([ x_dot ,  y_dot ,  z_dot ])dt  =  0,01 núm_pasos  =  10000xyzs  =  np . vacío (( num_steps  +  1 ,  3 ))  # Necesita uno más para los valores iniciales xyzs [ 0 ]  =  ( 0. ,  1. ,  1.05 )  # Establecer valores iniciales # Paso a través del "tiempo", calculando las derivadas parciales en el momento actual punto # y usarlos para estimar el siguiente punto para  i  en  el rango ( num_steps ):  xyzs [ i  +  1 ]  =  xyzs [ i ]  +  lorenz ( xyzs [ i ])  *  dt# Trazar ax  =  plt . cifra () . add_subplot ( proyección = '3d' )hacha . trazar ( * xyzs . T ,  lw = 0,6 ) hacha . set_xlabel ( "Eje X" ) eje . set_ylabel ( "Eje Y" ) eje . set_zlabel ( "Eje Z" ) eje . set_title ( "Atractor de Lorenzo" )pl . espectáculo ()

Simulación R

simulación R

biblioteca ( deSolve ) biblioteca ( ploly ) # parámetros prm <- lista ( sigma = 10 , rho = 28 , beta = 8/3 ) # valores iniciales varini < - c ( X = 1 , Y = 1 , Z = 1 )                      Lorenz <- function ( t , vars , prm ) { con ( as.list ( vars ), { dX < - prm $ sigma * ( Y - X ) dY < - X * ( prm $ rho - Z ) - Y dZ < - X * Y - prm $ beta * Z retorno ( lista ( c ( dX , dY , dZ ))) }) }                            times <- seq ( from = 0 , to = 100 , by = 0.01 ) # llamar al solucionador de odas < - ode ( y = varini , times = times , func = Lorenz , parms = prm )                       # para asignar color a los puntos gfill <- function ( repArr , long ) { rep ( repArr , techo ( long / length ( repArr )))[ 1 : long ] }      dout <- as.data.frame ( fuera )  dout $ color <- gfill ( arco iris ( 10 ), nrow ( dout ))   # Producción de gráficos con Plotly: plot_ly ( datos = dout , x = ~ X , y = ~ Y , z = ~ Z , tipo = 'scatter3d' , modo = 'líneas' , opacidad = 1 , línea = lista ( ancho = 6 , color = ~ color , escala inversa = FALSO ) )                              

Aplicaciones

Modelo de convección atmosférica.

Como se muestra en el artículo original de Lorenz, ^[24] el sistema de Lorenz es una versión reducida de un sistema más grande estudiado anteriormente por Barry Saltzman. ^[25] Las ecuaciones de Lorenz se derivan de la aproximación de Oberbeck-Boussinesq a las ecuaciones que describen la circulación de fluidos en una capa poco profunda de fluido, calentada uniformemente desde abajo y enfriada uniformemente desde arriba. ^[26] Esta circulación de fluido se conoce como convección de Rayleigh-Bénard . Se supone que el fluido circula en dos dimensiones (vertical y horizontal) con condiciones de contorno rectangulares periódicas. ^[27]

Las ecuaciones diferenciales parciales que modelan la función de la corriente y la temperatura del sistema están sujetas a una aproximación espectral de Galerkin : los campos hidrodinámicos se expanden en series de Fourier, que luego se truncan severamente a un solo término para la función de la corriente y dos términos para la temperatura. Esto reduce las ecuaciones del modelo a un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales acopladas. Se puede encontrar una derivación detallada, por ejemplo, en textos sobre dinámica no lineal de Hilborn (2000), Apéndice C; Bergé, Pomeau y Vidal (1984), Apéndice D; o Shen (2016), ^[28] Materiales complementarios.

Modelo de la naturaleza del caos y el orden en la atmósfera.

La comunidad científica acepta que las características caóticas encontradas en los modelos de Lorenz de baja dimensión podrían representar características de la atmósfera de la Tierra ( ^{[29] [30] [31]} ), lo que produce la afirmación de que "el clima es caótico". En comparación, basándose en el concepto de coexistencia de atractores dentro del modelo generalizado de Lorenz ^[22] y el modelo de Lorenz original ( ^{[32] [33]} ), Shen y sus coautores ^{[31] [34]} propusieron una visión revisada que " El clima posee tanto caos como orden con clara previsibilidad”. La visión revisada, que es una ampliación de la visión convencional, se utiliza para sugerir que "las características caóticas y regulares encontradas en los modelos teóricos de Lorenz podrían representar mejor las características de la atmósfera terrestre".

Resolución del decimocuarto problema de Smale

El decimocuarto problema de Smale dice: "¿Las propiedades del atractor de Lorenz exhiben las de un atractor extraño ?". El problema fue respondido afirmativamente por Warwick Tucker en 2002. ^[21] Para probar este resultado, Tucker utilizó métodos numéricos rigurosos como la aritmética de intervalos y las formas normales . Primero, Tucker definió una sección transversal que es cortada transversalmente por las trayectorias del flujo. A partir de esto, se puede definir el mapa de primer retorno , que asigna a cada uno el punto donde se cruza la trayectoria del primero . ${\displaystyle \Sigma \subset \{x_{3}=r-1\}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in \Sigma }$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Luego la prueba se divide en tres puntos principales que se demuestran e implican la existencia de un atractor extraño. ^[35] Los tres puntos son:

• Existe una región invariante bajo el mapa de primer retorno, es decir . ${\displaystyle N\subset \Sigma }$ ${\displaystyle P(N)\subset N}$
• El mapa de retorno admite un campo de cono invariante hacia adelante.
• Los vectores dentro de este campo cónico invariante se expanden uniformemente mediante la derivada del mapa de retorno. ${\displaystyle DP}$

Para probar el primer punto, notamos que la sección transversal está cortada por dos arcos formados por . ^[35] Tucker cubre la ubicación de estos dos arcos mediante pequeños rectángulos , la unión de estos rectángulos da . Ahora, el objetivo es demostrar que para todos los puntos en , el flujo traerá de vuelta los puntos en , en . Para hacer eso, tomamos un plano a continuación a una distancia pequeña, luego, tomando el centro y usando el método de integración de Euler, se puede estimar dónde entrará el flujo, lo que nos da un nuevo punto . Luego, se puede estimar dónde se asignarán los puntos usando la expansión de Taylor, esto nos da un nuevo rectángulo centrado en . Por lo tanto sabemos que todos los puntos en serán mapeados en . El objetivo es hacer este método de forma recursiva hasta que el flujo regrese y obtengamos un rectángulo tal que sepamos que . El problema es que nuestra estimación puede volverse imprecisa después de varias iteraciones, por lo que lo que hace Tucker es dividirla en rectángulos más pequeños y luego aplicar el proceso de forma recursiva. Otro problema es que a medida que aplicamos este algoritmo, el flujo se vuelve más "horizontal", ^[35] lo que lleva a un aumento dramático de la imprecisión. Para evitar esto, el algoritmo cambia la orientación de las secciones transversales, volviéndolas horizontales o verticales. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle P(\Sigma )}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Sigma '}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma '}$ ${\displaystyle c_{i}'}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma '}$ ${\displaystyle R_{i}'}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}'}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle Rf_{i}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle P(R_{i})\subset Rf_{i}}$ ${\displaystyle R_{i}'}$ ${\displaystyle R_{i,j}}$

Galería

• 
  Una solución en el atractor de Lorenz representada a alta resolución en el plano xz .
• 
  Una solución en el atractor de Lorenz representada como SVG .
• Una animación que muestra trayectorias de múltiples soluciones en un sistema de Lorenz.
• 
  Una solución en el atractor de Lorenz representada como un alambre metálico para mostrar la dirección y la estructura 3D .
• Una animación que muestra la divergencia de soluciones cercanas al sistema Lorenz.
• 
  Una visualización del atractor de Lorenz cerca de un ciclo intermitente.
• 
  Dos líneas de corriente en un sistema de Lorenz, de ρ = 0 a ρ = 28 ( σ = 10 , b =8/3).
• 
  Animación de un Sistema Lorenz con rho-dependencia.
• 
  Animación del atractor de Lorenz en Brain Dynamics Toolbox. ^[36]

Ver también

• La conjetura de Eden sobre la dimensión de Lyapunov
• modelo lorenz 96
• Lista de mapas caóticos
• Teorema de Takens

Notas

1. Lorenz (1963)
2. Lorenz (1960)
3. gorrión (1982)
4. Haken (1975)
5. Knobloch (1981)
6. Gorman, Widmann y Robbins (1986)
7. Hematí (1994)
8. Cuomo y Oppenheim (1993)
9. Polonia (1993)
10. Tzenov (2014) ^{[ cita necesaria ]}
11. Kolář y Gumbs (1992)
12. Mishra y Sanghi (2006)
13. Hirsch, Smale y Devaney (2003), págs. 303–305
14. Hirsch, Smale y Devaney (2003), págs.306+307
15. Hirsch, Smale y Devaney (2003), págs. 307–308
16. Kuznetsov, NV; Mokaev, TN; Kuznetsova, OA; Kudryashova, EV (2020). "El sistema de Lorenz: límite oculto de estabilidad práctica y la dimensión de Lyapunov". Dinámica no lineal . 102 (2): 713–732. doi : 10.1007/s11071-020-05856-4 .
17. Grassberger y Procaccia (1983)
18. Leonov y otros. (2016)
19. Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2021). Estimaciones de las dimensiones del atractor para sistemas dinámicos: teoría y computación. Cham: Springer.
20. Guckenheimer, Juan; Williams, RF (1 de diciembre de 1979). "Estabilidad estructural de los atractores de Lorenz". Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 50 (1): 59–72. doi :10.1007/BF02684769. ISSN  0073-8301. S2CID  55218285.
21. Tucker (2002)
22. Shen, Bo-Wen (1 de marzo de 2019). "Retroalimentación negativa agregada en un modelo de Lorenz generalizado". Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 29 (3): 1950037–1950091. Código Bib : 2019IJBC...2950037S. doi : 10.1142/S0218127419500378 . ISSN  0218-1274. S2CID  132494234.
23. Shen, Bo-Wen (28 de abril de 2014). "Retroalimentación no lineal en un modelo de Lorenz de cinco dimensiones". Revista de Ciencias Atmosféricas . 71 (5): 1701-1723. Código Bib : 2014JAtS...71.1701S. doi :10.1175/jas-d-13-0223.1. ISSN  0022-4928. S2CID  123683839.
24. Lorenz (1963)
25. Saltzman (1962)
26. Lorenz (1963)
27. Lorenz (1963)
28. Shen, B.-W. (21 de diciembre de 2015). "Retroalimentación no lineal en un modelo de Lorenz de seis dimensiones: impacto de un término de calentamiento adicional". Procesos no lineales en geofísica . 22 (6): 749–764. Código Bib : 2015NPGeo..22..749S. doi : 10.5194/npg-22-749-2015 . ISSN  1607-7946.
29. Ghil, Michael; Lee, Pedro; Smith, Leonard (23 de julio de 2010). "Flujos geofísicos como sistemas dinámicos: la influencia de los experimentos de Hide". Astronomía y Geofísica . 51 (4): 4,28–4,35. Código Bib : 2010A&G....51d..28G. doi :10.1111/j.1468-4004.2010.51428.x. ISSN  1366-8781.
30. Leer, P. (1993). Aplicación del Caos a la Meteorología y el Clima. En La naturaleza del caos; Mullin, T., Ed . Oxford, Reino Unido: Publicaciones científicas de Oxford. págs. 220–260. ISBN 0198539541.
31. Shen, Bo-Wen; Pielke, Roger; Zeng, Xubin; Cui, Jialin; Faghih-Naini, Sara; Paxson, Wei; Kesarkar, Amit; Zeng, Xiping; Atlas, Robert (12 de noviembre de 2022). "La doble naturaleza del caos y el orden en la atmósfera". Atmósfera . 13 (11): 1892. Bibcode : 2022Atmos..13.1892S. doi : 10.3390/atmos13111892 . ISSN  2073-4433.
32. Yorke, James A.; Yorke, Ellen D. (1 de septiembre de 1979). "Caos metaestable: la transición a un comportamiento caótico sostenido en el modelo de Lorenz". Revista de Física Estadística . 21 (3): 263–277. Código Bib : 1979JSP....21..263Y. doi :10.1007/BF01011469. ISSN  1572-9613. S2CID  12172750.
33. Shen, Bo-Wen; Pielke, RA; Zeng, X.; Baik, J.-J.; Faghih-Naini, S.; Cui, J.; Atlas, R.; Reyes, TAL (2021), Skiadas, Christos H.; Dimotikalis, Yiannis (eds.), "¿Es el clima caótico? Atractores caóticos y no caóticos coexistentes dentro de los modelos de Lorenz", 13.ª Conferencia internacional de simulación y modelado caótico , Springer Proceedings in Complexity, Cham: Springer International Publishing, págs. doi :10.1007/978-3-030-70795-8_57, ISBN 978-3-030-70794-1, S2CID  245197840 , consultado el 22 de diciembre de 2022
34. Shen, Bo-Wen; Pielke, Roger A.; Zeng, Xubin; Baik, Jong-Jin; Faghih-Naini, Sara; Cui, Jialin; Atlas, Robert (1 de enero de 2021). "¿Es el clima caótico?: Coexistencia de caos y orden dentro de un modelo de Lorenz generalizado". Boletín de la Sociedad Meteorológica Estadounidense . 102 (1): E148-E158. Código Bib : 2021BAMS..102E.148S. doi : 10.1175/BAMS-D-19-0165.1 . ISSN  0003-0007. S2CID  208369617.
35. Viana (2000)
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Referencias

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Otras lecturas

• GA Leonov y NV Kuznetsov (2015). "Sobre diferencias y similitudes en el análisis de los sistemas Lorenz, Chen y Lu". Matemáticas Aplicadas y Computación . 256 : 334–343. arXiv : 1409.8649 . doi : 10.1016/j.amc.2014.12.132 .
• Pchelintsev, AN (2022). "Sobre un método de alta precisión para el estudio de atractores de sistemas dinámicos y sistemas de tipo explosivo". Matemáticas . 10 (8): 1207. arXiv : 2206.08195 . doi : 10.3390/math10081207 .

enlaces externos

• "Atractor de Lorenz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Atractor de Lorenzo". MundoMatemático .
• Atractor de Lorenz por Rob Morris, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Ecuación de Lorenz Archivado el 7 de junio de 2009 en Wayback Machine en planetmath.org
• Caos sincronizado y comunicaciones privadas, con Kevin Cuomo. La implementación del atractor de Lorenz en un circuito electrónico.
• Animación interactiva del atractor de Lorenz (necesita el complemento Adobe Shockwave)
• Atractores 3D: programa Mac para visualizar y explorar el atractor de Lorenz en 3 dimensiones
• Atractor de Lorenz implementado en electrónica analógica
• Animación interactiva del Atractor Lorenz (implementada en Ada con GTK+. Fuentes y ejecutable)
• Atractor Lorenz interactivo basado en web hecho con yoduro