En la teoría de la bifurcación , una oscilación acotada que nace sin pérdida de estabilidad del conjunto estacionario se denomina oscilación oculta . En la teoría de control no lineal , el nacimiento de una oscilación oculta en un sistema de control invariante en el tiempo con estados acotados significa cruzar una frontera, en el dominio de los parámetros, donde la estabilidad local de los estados estacionarios implica estabilidad global (véase, por ejemplo, la conjetura de Kalman ). Si una oscilación oculta (o un conjunto de tales oscilaciones ocultas que llenan un subconjunto compacto del espacio de fases del sistema dinámico ) atrae a todas las oscilaciones cercanas, entonces se denomina atractor oculto . Para un sistema dinámico con un único punto de equilibrio que es globalmente atractivo, el nacimiento de un atractor oculto corresponde a un cambio cualitativo en el comportamiento de monoestabilidad a biestabilidad. En el caso general, un sistema dinámico puede resultar multiestable y tener atractores locales coexistentes en el espacio de fases. Aunque los atractores triviales, es decir, los puntos de equilibrio estables , se pueden encontrar fácilmente de forma analítica o numérica, la búsqueda de atractores periódicos y caóticos puede resultar un problema desafiante (véase, por ejemplo, la segunda parte del 16º problema de Hilbert ).
Para identificar un atractor local en un experimento físico o numérico, es necesario elegir un estado inicial del sistema en la cuenca de atracción del atractor y observar cómo el estado del sistema, a partir de este estado inicial, después de un proceso transitorio, visualiza al atractor. La clasificación de los atractores como ocultos o autoexcitados refleja las dificultades de revelar las cuencas de atracción y buscar los atractores locales en el espacio de fases .
Definición . [1] [2] [3] Un atractor se denomina atractor oculto si su cuenca de atracción no se interseca con un cierto vecindario abierto de puntos de equilibrio; en caso contrario se denomina atractor autoexcitado.
La clasificación de los atractores como ocultos o autoexcitados fue introducida por G. Leonov y N. Kuznetsov en relación con el descubrimiento del atractor oculto de Chua [4] [5] [6] [7] por primera vez en el año 2009. De manera similar, una oscilación arbitrariamente acotada, que no necesariamente tiene un vecindario abierto como cuenca de atracción en el espacio de fases, se clasifica como una oscilación autoexcitada u oculta.
Para un atractor autoexcitado, su cuenca de atracción está conectada con un equilibrio inestable y, por lo tanto, los atractores autoexcitados se pueden encontrar numéricamente mediante un procedimiento computacional estándar en el que después de un proceso transitorio, una trayectoria, comenzando en una vecindad de un equilibrio inestable, es atraída al estado de oscilación y luego lo traza (ver, por ejemplo, proceso de autooscilación ). Por lo tanto, los atractores autoexcitados, incluso coexistiendo en el caso de multiestabilidad , se pueden revelar y visualizar numéricamente fácilmente. En el sistema de Lorenz , para los parámetros clásicos, el atractor es autoexcitado con respecto a todos los equilibrios existentes y se puede visualizar mediante cualquier trayectoria desde sus proximidades; sin embargo, para algunos otros valores de parámetros hay dos atractores triviales que coexisten con un atractor caótico, que es autoexcitado solo con respecto al equilibrio cero. Los atractores clásicos en los sistemas dinámicos de Van der Pol , Beluosov–Zhabotinsky , Rössler , Chua y Hénon son autoexcitados.
Una conjetura es que la dimensión de Lyapunov de un atractor autoexcitado no excede la dimensión de Lyapunov de uno de los equilibrios inestables, cuya variedad inestable se interseca con la cuenca de atracción y visualiza al atractor. [8]
Los atractores ocultos tienen cuencas de atracción que no están conectadas con los equilibrios y están “ocultas” en algún lugar del espacio de fases. Por ejemplo, los atractores ocultos son atractores en los sistemas sin equilibrios: por ejemplo, sistemas dinámicos electromecánicos rotatorios con efecto Sommerfeld (1902), en los sistemas con un solo equilibrio, que es estable: por ejemplo, contraejemplos de la conjetura de Aizerman (1949) y la conjetura de Kalman (1957) sobre la monoestabilidad de los sistemas de control no lineal. Uno de los primeros problemas teóricos relacionados es la segunda parte del problema 16 de Hilbert sobre el número y la disposición mutua de los ciclos límite en sistemas polinómicos bidimensionales donde los ciclos límite estables anidados son atractores periódicos ocultos. La noción de atractor oculto se ha convertido en un catalizador para el descubrimiento de atractores ocultos en muchos modelos dinámicos aplicados. [1] [9] [10]
En general, el problema con los atractores ocultos es que no hay métodos generales sencillos para rastrear o predecir tales estados para la dinámica del sistema (ver, por ejemplo, [11] ). Mientras que para sistemas bidimensionales, las oscilaciones ocultas se pueden investigar utilizando métodos analíticos (ver, por ejemplo, los resultados de la segunda parte del problema 16 de Hilbert ), para el estudio de la estabilidad y las oscilaciones en sistemas multidimensionales no lineales complejos, a menudo se utilizan métodos numéricos. En el caso multidimensional, es poco probable que la integración de trayectorias con datos iniciales aleatorios proporcione una localización de un atractor oculto, ya que una cuenca de atracción puede ser muy pequeña y la dimensión del atractor en sí puede ser mucho menor que la dimensión del sistema considerado. Por lo tanto, para la localización numérica de atractores ocultos en el espacio multidimensional, es necesario desarrollar procedimientos computacionales analítico-numéricos especiales, [1] [12] [8] que permiten elegir datos iniciales en el dominio de atracción de la oscilación oculta (que no contiene vecindades de equilibrios), y luego realizar el cálculo de la trayectoria. Existen métodos efectivos correspondientes basados en homotopía y continuación numérica : se construye una secuencia de sistemas similares, de modo que para el primer sistema (de partida), los datos iniciales para el cálculo numérico de una solución oscilante (oscilación de partida) se pueden obtener analíticamente, y luego se sigue numéricamente la transformación de esta oscilación de partida en la transición de un sistema a otro.
La clasificación de los atractores como autoexistentes u ocultos fue una premisa fundamental para el surgimiento de la teoría de las oscilaciones ocultas, que representa el desarrollo moderno de la teoría de las oscilaciones de Andronov. [13] : 39 Es clave para determinar los límites exactos de la estabilidad global, partes de la cual son clasificadas por N. Kuznetsov como triviales (es decir, determinadas por bifurcaciones locales) o como ocultas (es decir, determinadas por bifurcaciones no locales y por el nacimiento de oscilaciones ocultas). [14] [15]