Espacio asférico

En topología , una rama de las matemáticas, un espacio asférico es un espacio topológico con todos los grupos de homotopía iguales a 0 cuando . ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle n>1}$

Si se trabaja con complejos CW , se puede reformular esta condición: un complejo CW asférico es un complejo CW cuya cobertura universal es contráctil . De hecho, la contractibilidad de una cubierta universal es la misma, según el teorema de Whitehead , que su asfericalidad. Y es una aplicación de la secuencia exacta de una fibración que los grupos de homotopía superior de un espacio y su cobertura universal son iguales. (Por el mismo argumento, si E es un espacio conectado por caminos y es cualquier mapa de cobertura , entonces E es asférico si y sólo si B es asférico). ${\displaystyle p\colon E\to B}$

Cada espacio asférico X es, por definición, un espacio de Eilenberg-MacLane de tipo , donde es el grupo fundamental de X . También directamente de la definición, un espacio asférico es un espacio de clasificación para su grupo fundamental (considerado un grupo topológico cuando está dotado de topología discreta ). ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G=\pi _{1}(X)}$

Ejemplos

• Usando la segunda de las definiciones anteriores, vemos fácilmente que todas las superficies compactas orientables de género mayor que 0 son asféricas (ya que tienen el plano euclidiano o el plano hiperbólico como cubierta universal).
• De ello se deduce que todas las superficies no orientables, excepto el plano proyectivo real , son también asféricas, ya que pueden estar cubiertas por una superficie orientable de género 1 o superior.
• De manera similar, un producto de cualquier número de círculos es asférico. Como lo es cualquier variedad plana riemanniana completa.
• Cualquier variedad 3 hiperbólica está, por definición, cubierta por el espacio 3 hiperbólico H ³ , por lo tanto, asférica. Como lo es cualquier n -variedad cuyo espacio de cobertura universal sea hiperbólico n -espacio H ⁿ .
• Sea X  =  G / K un espacio simétrico riemanniano de tipo negativo, y Γ una red en G que actúa libremente sobre X. Entonces el espacio localmente simétrico es asférico. ${\displaystyle \Gamma \backslash G/K}$
• La construcción de Bruhat-Tits de un grupo algebraico simple sobre un campo con una valoración discreta es asférica.
• El complemento de un nudo en S ³ es asférico, según el teorema de la esfera
• Los espacios métricos con curvatura no positiva en el sentido de Aleksandr D. Aleksandrov (localmente espacios CAT(0) ) son asféricos. En el caso de las variedades de Riemann , esto se deriva del teorema de Cartan-Hadamard , que Mikhail Gromov y Hans Werner Ballmann han generalizado a espacios métricos geodésicos . Esta clase de espacios asféricos incluye todos los ejemplos dados anteriormente.
• Cualquier variedad nula es asférica.

Colectores simpléticamente asféricos

En el contexto de las variedades simplécticas , el significado de "asférico" es un poco diferente. Específicamente, decimos que una variedad simpléctica (M,ω) es simplécticamente asférica si y sólo si

${\displaystyle \int _{S^{2}}f^{*}\omega =\langle c_{1}(TM),f_{*}[S^{2}]\rangle =0}$

para cada mapeo continuo

${\displaystyle f\colon S^{2}\to M,}$

donde denota la primera clase Chern de una estructura casi compleja que es compatible con ω. ${\displaystyle c_{1}(TM)}$

Según el teorema de Stokes , vemos que las variedades simplécticas que son asféricas también son variedades simplécticas asféricas. Sin embargo, existen variedades simplécticamente asféricas que no son espacios asféricos. ^[1]

Algunas referencias ^[2] eliminan el requisito de c ₁ en su definición de "simplécticamente asférico". Sin embargo, es más común que las variedades simplécticas que satisfacen sólo esta condición más débil se llamen "débilmente exactas".

Ver también

• Espacio acíclico
• variedad esencial
• Conjetura de Whitehead

Notas

1. Gompf, Robert E. (1998). "Variedades simplécticamente asféricas con π ₂ no trivial ". Cartas de investigación matemática . 5 (5): 599–603. arXiv : matemáticas/9808063 . CiteSeerX  10.1.1.235.9135 . doi :10.4310/MRL.1998.v5.n5.a4. SEÑOR  1666848. S2CID  15738108.
2. Kedra, Jarek; Rudyak, Yuli ; Tralle, Aleksey (2008). "Variedades simplécticamente asféricas". Revista de teoría y aplicaciones del punto fijo . 3 : 1–21. arXiv : 0709.1799 . CiteSeerX 10.1.1.245.455 . doi :10.1007/s11784-007-0048-z. SEÑOR  2402905. S2CID  13630163. 

Referencias

• Bridson, Martín R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 319. Berlín, Heidelberg: Springer . doi :10.1007/978-3-662-12494-9. ISBN 978-3-642-08399-0. SEÑOR  1744486.

enlaces externos

• Colectores asféricos en el Manifold Atlas.