En geometría y combinatoria , una disposición de hiperplanos es una disposición de un conjunto finito A de hiperplanos en un espacio lineal , afín o proyectivo S. Las preguntas sobre una disposición de hiperplanos A generalmente se refieren a propiedades geométricas, topológicas u otras propiedades del complemento , M ( A ), que es el conjunto que permanece cuando los hiperplanos se eliminan de todo el espacio. Uno puede preguntarse cómo se relacionan estas propiedades con la disposición y su semirretículo de intersección. El semirretículo de intersección de A , escrito L ( A ), es el conjunto de todos los subespacios que se obtienen al intersecar algunos de los hiperplanos; entre estos subespacios están S en sí, todos los hiperplanos individuales, todas las intersecciones de pares de hiperplanos, etc. (excluyendo, en el caso afín, el conjunto vacío). Estos subespacios de intersección de A también se denominan planos de A . El semirretículo de intersección L ( A ) está parcialmente ordenado por inclusión inversa .
Si todo el espacio S es bidimensional, los hiperplanos son líneas ; a este tipo de disposición se le suele llamar disposición de líneas . Históricamente, las primeras disposiciones investigadas fueron las disposiciones reales de líneas. Si S es tridimensional, se tiene una disposición de planos .
La semirretícula de intersección L ( A ) es una semirretícula de intersección y, más específicamente, es una semirretícula geométrica. Si la disposición es lineal o proyectiva, o si la intersección de todos los hiperplanos no está vacía, la retícula de intersección es una retícula geométrica . (Por eso la semirretícula debe ordenarse por inclusión inversa, en lugar de por inclusión, lo que podría parecer más natural pero no produciría una (semi)retícula geométrica).
Cuando L ( A ) es una red, el matroide de A , escrito M ( A ), tiene A como su conjunto fundamental y tiene función de rango r ( S ) := codim( I ), donde S es cualquier subconjunto de A e I es la intersección de los hiperplanos en S . En general, cuando L ( A ) es una semired, existe una estructura análoga similar a un matroide llamada semimatroide, que es una generalización de un matroide (y tiene la misma relación con la semired de intersección que la del matroide con la red en el caso de la red), pero no es un matroide si L ( A ) no es una red.
Para un subconjunto B de A , definamos f ( B ) := la intersección de los hiperplanos en B ; esto es S si B está vacío. El polinomio característico de A , escrito p A ( y ), puede definirse por
sumado sobre todos los subconjuntos B de A excepto, en el caso afín, los subconjuntos cuya intersección está vacía. (La dimensión del conjunto vacío se define como −1). Este polinomio ayuda a resolver algunas cuestiones básicas; véase más abajo. Otro polinomio asociado con A es el polinomio de número de Whitney w A ( x , y ), definido por
sumado sobre B ⊆ C ⊆ A tal que f ( B ) no está vacío.
Al ser una red o semirretícula geométrica, L ( A ) tiene un polinomio característico, p L ( A ) ( y ), que tiene una teoría extensa (ver matroide ). Por lo tanto, es bueno saber que p A ( y ) = y i p L ( A ) ( y ), donde i es la dimensión más pequeña de cualquier plano, excepto que en el caso proyectivo es igual a y i + 1 p L ( A ) ( y ). El polinomio del número de Whitney de A está relacionado de manera similar con el de L ( A ). (El conjunto vacío se excluye de la semirretícula en el caso afín específicamente para que estas relaciones sean válidas).
La semirretícula de intersección determina otro invariante combinatorio del arreglo, el álgebra de Orlik-Solomon. Para definirlo, fijemos un subanillo conmutativo K del cuerpo base y formemos el álgebra exterior E del espacio vectorial.
generado por los hiperplanos. Una estructura compleja en cadena se define en E con el operador de contorno habitual . El álgebra de Orlik-Solomon es entonces el cociente de E por el ideal generado por elementos de la forma para los cuales tienen intersección vacía, y por contornos de elementos de la misma forma para los cuales tiene codimensión menor que p .
En el espacio afín real , el complemento está desconectado: está formado por piezas separadas llamadas celdas o regiones o cámaras , cada una de las cuales es una región acotada que es un politopo convexo , o una región no acotada que es una región poliédrica convexa que se extiende hasta el infinito. Cada plano de A también está dividido en piezas por los hiperplanos que no contienen el plano; estas piezas se denominan caras de A. Las regiones son caras porque todo el espacio es un plano. Las caras de codimensión 1 pueden denominarse facetas de A. El semirretículo de caras de una disposición es el conjunto de todas las caras, ordenadas por inclusión . Al añadir un elemento superior adicional al semirretículo de caras se obtiene el retículo de caras .
En dos dimensiones (es decir, en el plano afín real ) cada región es un polígono convexo (si está acotado) o una región poligonal convexa que se extiende hasta el infinito.
Los problemas típicos sobre un arreglo en un espacio real n -dimensional son decir cuántas regiones hay, o cuántas caras de dimensión 4, o cuántas regiones acotadas. Estas preguntas pueden ser respondidas simplemente a partir de la semired de intersección. Por ejemplo, dos teoremas básicos, de Zaslavsky (1975), son que el número de regiones de un arreglo afín es igual a (−1) n p A (−1) y el número de regiones acotadas es igual a (−1) n p A (1). De manera similar, el número de caras k -dimensionales o caras acotadas puede leerse como el coeficiente de x n − k en (−1) n w A (− x , −1) o (−1) n w A (− x , 1).
Meiser (1993) diseñó un algoritmo rápido para determinar la cara de una disposición de hiperplanos que contienen un punto de entrada.
Otra cuestión sobre una disposición en el espacio real es decidir cuántas regiones son símplices (la generalización n -dimensional de triángulos y tetraedros ). Esto no se puede responder basándose únicamente en la semired de intersección. El problema de McMullen pide la disposición más pequeña de una dimensión dada en posición general en el espacio proyectivo real para la cual no existe una celda tocada por todos los hiperplanos.
Un arreglo lineal real tiene, además de su semirretículo de caras, un conjunto de regiones , una diferente para cada región. Este conjunto se forma eligiendo una región base arbitraria, B 0 , y asociando a cada región R el conjunto S ( R ) que consiste en los hiperplanos que separan R de B . Las regiones están parcialmente ordenadas de modo que R 1 ≥ R 2 si S ( R 1 , R ) contiene a S ( R 2 , R ). En el caso especial en que los hiperplanos surgen de un sistema raíz , el conjunto resultante es el grupo de Weyl correspondiente con el orden débil. En general, el conjunto de regiones se clasifica por el número de hiperplanos que lo separan y se ha calculado su función de Möbius (Edelman 1984).
Vadim Schechtman y Alexander Varchenko introdujeron una matriz indexada por regiones. El elemento de la matriz para la región y está dado por el producto de variables indeterminadas para cada hiperplano H que separa estas dos regiones. Si estas variables están especializadas para ser todas de valor q, entonces esto se llama la matriz q (sobre el dominio euclidiano ) para la disposición y mucha información está contenida en su forma normal de Smith .
En el espacio afín complejo (que es difícil de visualizar porque incluso el plano afín complejo tiene cuatro dimensiones reales), el complemento está conectado (en una sola pieza) con agujeros donde se eliminaron los hiperplanos.
Un problema típico sobre una disposición en el espacio complejo es describir los agujeros.
El teorema básico sobre los arreglos complejos es que la cohomología del complemento M ( A ) está completamente determinada por la semired de intersección. Para ser precisos, el anillo de cohomología de M ( A ) (con coeficientes enteros) es isomorfo al álgebra de Orlik-Solomon sobre Z .
El isomorfismo se puede describir explícitamente y da una presentación de la cohomología en términos de generadores y relaciones, donde los generadores se representan (en la cohomología de De Rham ) como formas diferenciales logarítmicas.
con cualquier forma lineal que defina el hiperplano genérico de la disposición.
A veces es conveniente permitir que el hiperplano degenerado , que es todo el espacio S , pertenezca a un arreglo. Si A contiene el hiperplano degenerado, entonces no tiene regiones porque el complemento está vacío. Sin embargo, todavía tiene planos, una semired de intersección y caras. La discusión anterior supone que el hiperplano degenerado no está en el arreglo.
A veces es conveniente permitir la repetición de hiperplanos en la disposición. No consideramos esta posibilidad en el análisis anterior, pero no supone ninguna diferencia sustancial.
![{\displaystyle \mathbb {Q} [q]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb8eacebeb38984c2dc0ddf1e0bf6c1fa1b8737)
