Aproximación de ángulo pequeño

Simplificación de las funciones trigonométricas básicas.

Comportamiento aproximadamente igual de algunas funciones (trigonométricas) para x → 0

Las aproximaciones de ángulos pequeños pueden utilizarse para aproximar los valores de las principales funciones trigonométricas , siempre que el ángulo en cuestión sea pequeño y se mida en radianes :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}}$

Estas aproximaciones tienen una amplia gama de usos en ramas de la física y la ingeniería , incluida la mecánica , el electromagnetismo , la óptica , la cartografía , la astronomía y la informática . ^{[1] [2]} Una razón para esto es que pueden simplificar enormemente ecuaciones diferenciales que no necesitan responderse con absoluta precisión.

Hay varias formas de demostrar la validez de las aproximaciones de ángulos pequeños. El método más directo consiste en truncar la serie de Maclaurin para cada una de las funciones trigonométricas. Dependiendo del orden de la aproximación , se aproxima como o como . ^[3] ${\displaystyle \textstyle \cos \theta }$ ${\displaystyle 1}$ ${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

Justificaciones

Gráfico

La precisión de las aproximaciones se puede ver a continuación en la Figura 1 y la Figura 2. A medida que la medida del ángulo se acerca a cero, la diferencia entre la aproximación y la función original también se acerca a 0.

• 
  Figura 1. Una comparación de las funciones trigonométricas impares básicas con θ . Se ve que a medida que el ángulo se acerca a 0 las aproximaciones mejoran.
• 
  Figura 2. Comparación de cos θ con 1 −θ ²/2. Se ve que a medida que el ángulo se acerca a 0 la aproximación mejora.

Geométrico

La sección roja a la derecha, d , es la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa, H , y el lado adyacente, A. Como se muestra, H y A tienen casi la misma longitud, lo que significa que cos θ está cerca de 1 yθ ²/2ayuda a eliminar el rojo.

$${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$$

El cateto opuesto, O , es aproximadamente igual a la longitud del arco azul, s . Reuniendo datos de geometría, s = Aθ , de trigonometría, sen θ =oh/hy tan θ =oh/A, y de la imagen, O ≈ s y H ≈ A conduce a:

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$$

Hojas simplificadas,

$${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

Cálculo

Usando el teorema de compresión , ^[4] podemos demostrar que

$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$$

θ ${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$

Una aplicación más cuidadosa del teorema de compresión demuestra que

$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$$

θ ${\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta }$

Finalmente, la regla de L'Hôpital nos dice que

$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$$

θfórmula del doble ángulo ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A}$ ${\displaystyle \theta =2A}$ ${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

Algebraico

La aproximación de ángulo pequeño para la función seno.

La expansión de Maclaurin (la expansión de Taylor alrededor de 0) de la función trigonométrica relevante es ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$$

θ

$${\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots }$$

Se ve fácilmente que el segundo término más significativo (de tercer orden) cae como el cubo del primer término; por lo tanto, incluso para un argumento no tan pequeño como 0,01, el valor del segundo término más significativo es del orden de0.000 001 , o1/10 000el primer término. Por tanto, se puede aproximar con seguridad:

$${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$$

Por extensión, dado que el coseno de un ángulo pequeño es casi 1 y la tangente viene dada por el seno dividido por el coseno,

$${\displaystyle \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta ,}$$

números duales

Se pueden usar números duales , denotados como ε, a menudo considerados similares a una cantidad infinitesimal, con un cuadrado de 0. Al usar la serie de Maclaurin de coseno y seno y sustituyendo θ=θε, el resultado es cos(θε)=1 y sin( θε)=θε. Estas aproximaciones satisfacen la identidad pitagórica :

cos²(θε)+sin²(θε)=1²+(θε)²=1+θ²ε²=1+θ²0=1.

Error de las aproximaciones

Figura 3. Un gráfico de los errores relativos para las aproximaciones de ángulos pequeños.

La Figura 3 muestra los errores relativos de las aproximaciones de ángulos pequeños. Los ángulos en los que el error relativo supera el 1% son los siguientes:

• cos θ ≈ 1 a aproximadamente 0,1408 radianes (8,07°)
• tan θ ≈ θ a aproximadamente 0,1730 radianes (9,91°)
• sin θ ≈ θ a aproximadamente 0,2441 radianes (13,99°)
• porque θ ≈ 1 −θ ²/2a aproximadamente 0,6620 radianes (37,93°)

Suma y diferencia de ángulos

Los teoremas de suma y resta de ángulos se reducen a lo siguiente cuando uno de los ángulos es pequeño ( β ≈ 0):

Usos específicos

Astronomía

En astronomía , el tamaño angular o ángulo subtendido por la imagen de un objeto distante suele ser de sólo unos pocos segundos de arco (indicado por el símbolo ″), por lo que se adapta bien a la aproximación de ángulos pequeños. ^[6] El tamaño lineal ( D ) está relacionado con el tamaño angular ( X ) y la distancia del observador ( d ) mediante la fórmula simple:

${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265{''}}}}$

donde X se mide en segundos de arco.

La cantidad206 265 ″ es aproximadamente igual al número de segundos de arco en un círculo (1 296 000 ″ ), dividido por 2π , o el número de segundos de arco en 1 radian.

La fórmula exacta es

${\displaystyle D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000{''}}}\right)}$

y la aproximación anterior se obtiene cuando tan X se reemplaza por X .

Movimiento de un péndulo

La aproximación del coseno de segundo orden es especialmente útil para calcular la energía potencial de un péndulo , que luego se puede aplicar con un lagrangiano para encontrar la ecuación indirecta (de energía) del movimiento.

Al calcular el período de un péndulo simple, se utiliza la aproximación de ángulo pequeño para el seno para permitir que la ecuación diferencial resultante se resuelva fácilmente en comparación con la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple .

Óptica

En óptica, las aproximaciones de ángulo pequeño forman la base de la aproximación paraxial .

Interferencia de ondas

Las aproximaciones de ángulo pequeño seno y tangente se utilizan en relación con el experimento de doble rendija o una rejilla de difracción para simplificar ecuaciones, por ejemplo, 'espaciado de franjas' = 'longitud de onda' × 'distancia de las rendijas a la pantalla' ÷ 'separación de rendijas'. ^[7]

Mecánica estructural

La aproximación de ángulo pequeño también aparece en mecánica estructural, especialmente en análisis de estabilidad y bifurcación (principalmente de columnas cargadas axialmente listas para sufrir pandeo ). Esto conduce a simplificaciones significativas, aunque a un costo en precisión y conocimiento del verdadero comportamiento.

Pilotaje

La regla de 1 en 60 utilizada en la navegación aérea tiene su base en la aproximación de ángulo pequeño, más el hecho de que un radianes equivale aproximadamente a 60 grados.

Interpolación

Las fórmulas de suma y resta que involucran un ángulo pequeño se pueden usar para interpolar entre valores de tablas trigonométricas :

Ejemplo: pecado(0,755)

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}}$$

Ver también

• Triangulo flaco
• Pequeñas oscilaciones de un péndulo.
• Versine y Haversine
• Exsecante y excosecante

Referencias

1. Holbrow, Charles H.; et al. (2010), Introducción a la física moderna (2ª ed.), Springer Science & Business Media, págs. 30–32, ISBN 978-0387790794.
2. Plesha, Michael; et al. (2012), Ingeniería Mecánica: Estática y Dinámica (2ª ed.), McGraw-Hill Higher Education, pág. 12, ISBN 978-0077570613.
3. "Aproximación de ángulo pequeño | Wiki brillante de matemáticas y ciencias". brillante.org . Consultado el 22 de julio de 2020 .
4. Larson, Ron; et al. (2006), Cálculo de una sola variable: funciones trascendentales tempranas (4ª ed.), Cengage Learning, pág. 85, ISBN 0618606254.
5. Boas, María L. (2006). Métodos Matemáticos en las Ciencias Físicas . Wiley. pag. 26.ISBN​ 978-0-471-19826-0.
6. Green, Robin M. (1985), Astronomía esférica, Cambridge University Press, pág. 19, ISBN 0521317797.
7. "Interferencia de hendidura".