Anillo de Gorenstein

En álgebra conmutativa , un anillo local de Gorenstein es un anillo local noetheriano conmutativo R con dimensión inyectiva finita como un R -módulo . Hay muchas condiciones equivalentes, algunas de ellas enumeradas a continuación, que a menudo dicen que un anillo de Gorenstein es autodual en algún sentido.

Los anillos de Gorenstein fueron introducidos por Grothendieck en su seminario de 1961 (publicado en (Hartshorne 1967)). El nombre proviene de una propiedad de dualidad de las curvas planas singulares estudiadas por Gorenstein (1952) (a quien le gustaba afirmar que no entendía la definición de un anillo de Gorenstein ^{[ cita requerida ]} ). El caso de dimensión cero había sido estudiado por Macaulay (1934). Serre (1961) y Bass (1963) publicitaron el concepto de anillos de Gorenstein.

Los anillos de Frobenius son análogos no conmutativos de los anillos de Gorenstein de dimensión cero. Los esquemas de Gorenstein son la versión geométrica de los anillos de Gorenstein.

Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones.

Anillos catenarios universales ⊃ Anillos de Cohen-Macaulay ⊃ Anillos de Gorenstein ⊃ Anillos de intersección completos ⊃ Anillos locales regulares

Definiciones

Un anillo de Gorenstein es un anillo noetheriano conmutativo, de modo que cada localización en un ideal primo es un anillo local de Gorenstein, como se define a continuación. Un anillo de Gorenstein es, en particular, un anillo de Cohen–Macaulay .

Una caracterización elemental es: un anillo local noetheriano R de dimensión cero (equivalentemente, con R de longitud finita como un R -módulo) es Gorenstein si y solo si Hom _R ( k , R ) tiene dimensión 1 como un k - espacio vectorial , donde k es el cuerpo de residuos de R . Equivalentemente, R tiene zócalo simple como un R -módulo. ^[1] De manera más general, un anillo local noetheriano R es Gorenstein si y solo si hay una secuencia regular a ₁ ,..., a _n en el ideal maximal de R tal que el anillo cociente R /( a ₁ ,..., a _n ) es Gorenstein de dimensión cero.

Por ejemplo, si R es un álgebra graduada conmutativa sobre un cuerpo k tal que R tiene dimensión finita como un espacio vectorial k , R = k ⊕ R ₁ ⊕ ... ⊕ R _m , entonces R es Gorenstein si y solo si satisface la dualidad de Poincaré , lo que significa que la parte graduada superior R _m tiene dimensión 1 y el producto R _a × R _{m − a} → R _m es un emparejamiento perfecto para cada a . ^[2]

Otra interpretación de la propiedad de Gorenstein como un tipo de dualidad, para anillos no necesariamente graduados , es: para un cuerpo F , una F -álgebra conmutativa R de dimensión finita como un F -espacio vectorial (por lo tanto de dimensión cero como un anillo) es Gorenstein si y solo si existe una función F -lineal e : R → F tal que la forma bilineal simétrica ( x , y ):= e ( xy ) en R (como un F -espacio vectorial) es no degenerada . ^[3]

Para un anillo local noetheriano conmutativo ( R , m , k ) de dimensión de Krull n , los siguientes son equivalentes: ^[4]

R tiene dimensión inyectiva finita como un R -módulo;
R tiene dimensión inyectiva n como un R -módulo;
El grupo Ext para i ≠ n mientras $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;$
$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ para algunos i > n ;
$\operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,R)=0$ para todo i < n y $\operatorname {Ext} _{R}^{n}(k,R)\cong k;$
R es un anillo de Gorenstein n -dimensional.

Un anillo R (no necesariamente conmutativo) se denomina Gorenstein si R tiene dimensión inyectiva finita tanto como módulo R izquierdo como módulo R derecho . Si R es un anillo local, se dice que R es un anillo Gorenstein local.

Ejemplos

Cada anillo de intersección local completo , en particular cada anillo local regular , es Gorenstein.
El anillo R = k [ x , y , z ]/( x ² , y ² , xz , yz , z ² − xy ) es un anillo de Gorenstein de dimensión 0 que no es un anillo de intersección completo. En más detalle: una base para R como un espacio vectorial k viene dada por: R es Gorenstein porque el zócalo tiene dimensión 1 como un espacio vectorial k , abarcado por z ² . Alternativamente, se puede observar que R satisface la dualidad de Poincaré cuando se lo ve como un anillo graduado con x , y , z todos del mismo grado. Finalmente. R no es una intersección completa porque tiene 3 generadores y un conjunto mínimo de 5 (no 3) relaciones. $\{1,x,y,z,z^{2}\}.$

El anillo R = k [ x , y ]/( x ² , y ² , xy ) es un anillo de Cohen-Macaulay de dimensión 0 que no es un anillo de Gorenstein. En más detalle: una base para R como un espacio vectorial k está dada por: R no es Gorenstein porque el zócalo tiene dimensión 2 (no 1) como un espacio vectorial k , abarcado por x e y . $\{1,x,y\}.$

Propiedades

Un anillo local noetheriano es Gorenstein si y sólo si su finalización es Gorenstein. ^[5]

El módulo canónico de un anillo local de Gorenstein R es isomorfo a R . En términos geométricos, se deduce que el complejo dualizante estándar de un esquema de Gorenstein X sobre un cuerpo es simplemente un fibrado lineal (visto como un complejo de grado −dim( X )); este fibrado lineal se denomina fibrado canónico de X . Usando el fibrado canónico, la dualidad de Serre toma la misma forma para los esquemas de Gorenstein que en el caso suave .

En el contexto de los anillos graduados R , el módulo canónico de un anillo de Gorenstein R es isomorfo a R con algún desplazamiento de grado. ^[6]

Para un anillo local de Gorenstein ( R , m , k ) de dimensión n , la dualidad local de Grothendieck toma la siguiente forma. ^[7] Sea E ( k ) la envoltura inyectiva del cuerpo de residuos k como un R -módulo. Entonces, para cualquier R -módulo finitamente generado M y entero i , el grupo de cohomología local es dual en el sentido de que: $Estilo de visualización H_{m}^{i}(M)}$ $\operatorname {Ext} _{R}^{ni}(M,R)$

H_{m}^{i}(M)\cong \operatorname {Hom}_{R}(\operatorname {Ext}_{R}^{ni}(M,R),E(k)).

Stanley demostró que para un álgebra graduada conmutativa finitamente generada R sobre un cuerpo k tal que R es un dominio integral , la propiedad de Gorenstein depende únicamente de la propiedad de Cohen-Macaulay junto con la serie de Hilbert.

f(t)=\sum \nolimits _{j}\dim _{k}(R_{j})t^{j}.

Es decir, un dominio graduado R es Gorenstein si y solo si es Cohen-Macaulay y la serie de Hilbert es simétrica en el sentido de que

f\left({\tfrac {1}{t}}\right)=(-1)^{n}t^{s}f(t)

para algún entero s , donde n es la dimensión de R . ^[8]

Sea ( R , m , k ) un anillo local noetheriano de codimensión de incrustación c , lo que significa que c = dim _k ( m / m ² ) − dim( R ). En términos geométricos, esto se cumple para un anillo local de un subesquema de codimensión c en un esquema regular. Para c como máximo 2, Serre demostró que R es Gorenstein si y solo si es una intersección completa . ^[9] También existe un teorema de estructura para anillos de Gorenstein de codimensión 3 en términos de los Pfaffianos de una matriz antisimétrica, de Buchsbaum y Eisenbud . ^[10] En 2011, Miles Reid extendió este teorema de estructura al caso de codimensión 4. ^[11]

Notas

^ Eisenbud (1995), Proposición 21.5.
^ Huneke (1999), Teorema 9.1.
^ Lam (1999), Teoremas 3.15 y 16.23.
^ Matsumura (1989), Teorema 18.1.
^ Matsumura (1989), Teorema 18.3.
^ Eisenbud (1995), sección 21.11.
^ Bruns y Herzog (1993), Teorema 3.5.8.
^ Stanley (1978), Teorema 4.4.
^ Eisenbud (1995), Corolario 21.20.
^ Bruns y Herzog (1993), Teorema 3.4.1.
^ Reid (2011)

Referencias