Álgebra finitamente generada

En matemáticas , un álgebra finitamente generada (también llamada álgebra de tipo finito ) es un álgebra asociativa conmutativa sobre un cuerpo donde existe un conjunto finito de elementos de tal que cada elemento de puede expresarse como un polinomio en , con coeficientes en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle K}$

De manera equivalente, existen elementos tales que el homomorfismo de evaluación en ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ ${\displaystyle {\bf {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle \phi _{\bf {a}}\colon K[X_{1},\dots ,X_{n}]\twoheadrightarrow A}$

es sobreyectiva ; por lo tanto, aplicando el primer teorema de isomorfismo , . ${\displaystyle A\simeq K[X_{1},\dots ,X_{n}]/{\rm {ker}}(\phi _{\bf {a}})}$

Por el contrario , para cualquier ideal es una -álgebra de tipo finito, de hecho, cualquier elemento de es un polinomio en las clases laterales con coeficientes en . Por lo tanto, obtenemos la siguiente caracterización de -álgebras finitamente generadas ^[1] ${\displaystyle A:=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$ ${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{i}:=X_{i}+I,i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle A}$es un -álgebra finitamente generada si y sólo si es isomorfa como un -álgebra a un anillo cociente del tipo por un ideal . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$ ${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$

Si es necesario enfatizar el campo K entonces se dice que el álgebra es finitamente generada sobre K. Las álgebras que no son finitamente generadas se denominan infinitamente generadas .

Ejemplos

• El álgebra polinómica se genera finitamente. El álgebra polinómica en un número infinito de generadores contables se genera infinitamente. ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$
• El cuerpo de funciones racionales en una variable sobre un cuerpo infinito no es un álgebra finitamente generada sobre . Por otra parte, es generada sobre un único elemento, , como un cuerpo . ${\displaystyle E=K(t)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t}$
• Si es una extensión de campo finito , entonces se deduce de las definiciones que es un álgebra generada finitamente sobre . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$
• Por el contrario, si es una extensión de cuerpo y es un álgebra finitamente generada sobre entonces la extensión de cuerpo es finita. Esto se llama lema de Zariski . Véase también extensión integral . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$
• Si es un grupo finitamente generado , entonces el álgebra de grupo es un álgebra finitamente generada sobre . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle KG}$ ${\displaystyle K}$

Propiedades

• Una imagen homomórfica de un álgebra finitamente generada es en sí misma finitamente generada. Sin embargo, una propiedad similar para las subálgebras no se cumple en general.
• Teorema de la base de Hilbert : si A es un álgebra conmutativa finitamente generada sobre un anillo noetheriano , entonces cada ideal de A es finitamente generado o, equivalentemente, A es un anillo noetheriano.

Relación con variedades afines

Las álgebras conmutativas reducidas finitamente generadas son objetos básicos de consideración en la geometría algebraica moderna , donde corresponden a variedades algebraicas afines ; por esta razón, estas álgebras también se denominan álgebras afines (conmutativas) . Más precisamente, dado un conjunto algebraico afín podemos asociar una -álgebra finitamente generada ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V)}$

llamado anillo de coordenadas afines de ; además, si es una función regular entre los conjuntos algebraicos afines y , podemos definir un homomorfismo de -álgebras ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi \colon V\to W}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle W\subseteq \mathbb {A} ^{m}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V),\,\phi ^{*}(f)=f\circ \phi ,}$

entonces, es un funtor contravariante de la categoría de conjuntos algebraicos afines con aplicaciones regulares a la categoría de -álgebras finitamente generadas reducidas : este funtor resulta ^[2] ser una equivalencia de categorías ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{affine algebraic sets}})^{\rm {opp}}\to ({\text{reduced finitely generated }}K{\text{-algebras}}),}$

y, restringiéndose a variedades afines (es decir, conjuntos algebraicos afines irreducibles ),

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{affine algebraic varieties}})^{\rm {opp}}\to ({\text{integral finitely generated }}K{\text{-algebras}}).}$

Álgebras finitas vs álgebras de tipo finito

Recordamos que un álgebra conmutativa es un homomorfismo de anillo ; la estructura del módulo de se define por ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi \colon R\to A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.}$

Un -álgebra se llama finita si se genera finitamente como un -módulo, es decir, hay un homomorfismo sobreyectivo de -módulos. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R^{\oplus _{n}}\twoheadrightarrow A.}$

Nuevamente, hay una caracterización de las álgebras finitas en términos de cocientes ^[3]

Un -álgebra es finita si y sólo si es isomorfa a un cociente por un submódulo - . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R^{\oplus _{n}}/M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M\subseteq R}$

Por definición, un álgebra finita es de tipo finito, pero lo inverso es falso: el anillo polinomial es de tipo finito pero no finito. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$

Las álgebras finitas y las álgebras de tipo finito están relacionadas con las nociones de morfismos finitos y morfismos de tipo finito .

Referencias

1. Kemper, Gregor (2009). Un curso de álgebra conmutativa. Springer. pág. 8. ISBN 978-3-642-03545-6.
2. Görtz, Ulrich ; Wedhorn, Torsten (2010). Geometría algebraica I. Esquemas con ejemplos y ejercicios. Springer. p. 19. doi :10.1007/978-3-8348-9722-0. ISBN 978-3-8348-0676-5.
3. Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, Ian Grant (1994). Introducción al álgebra conmutativa. CRC Press. p. 21. ISBN 9780201407518.

Véase también

• Módulo generado de forma finita
• Extensión de campo finitamente generada
• Lema Artin-Tate
• Álgebra finita
• Morfismo de tipo finito