Angulo solido

Medida de qué tan grande parece un objeto a un observador en un punto dado en el espacio tridimensional.

En geometría , un ángulo sólido (símbolo: Ω ) es una medida de la cantidad de campo de visión que cubre un objeto determinado desde un punto determinado. Es decir, es una medida de cuán grande parece el objeto a un observador que mira desde ese punto. El punto desde el que se ve el objeto se llama vértice del ángulo sólido, y se dice que el objeto subtiende su ángulo sólido en ese punto.

En el Sistema Internacional de Unidades (SI), un ángulo sólido se expresa en una unidad adimensional llamada estereorradián (símbolo: sr), que es igual a un radián cuadrado, sr = rad ² . Un estereorradián corresponde a una unidad de área (de cualquier forma) en la esfera unitaria que rodea el vértice, por lo que un objeto que bloquee todos los rayos del vértice cubriría una cantidad de estereorradián igual a la superficie total de la esfera unitaria, . Los ángulos sólidos también se pueden medir en cuadrados de medidas angulares como grados , minutos y segundos. ${\displaystyle 4\pi }$

Un objeto pequeño cercano puede subtender el mismo ángulo sólido que un objeto más grande que se encuentra más lejos. Por ejemplo, aunque la Luna es mucho más pequeña que el Sol , también está mucho más cerca de la Tierra . De hecho, vistos desde cualquier punto de la Tierra, ambos objetos tienen aproximadamente el mismo ángulo sólido (y, por lo tanto, tamaño aparente). Esto es evidente durante un eclipse solar .

Definición y propiedades

La magnitud del ángulo sólido de un objeto en estereorradianes es igual al área del segmento de una esfera unitaria , centrado en el vértice, que cubre el objeto. Dar el área de un segmento de una esfera unitaria en estereorradianes es análogo a dar la longitud de un arco de un círculo unitario en radianes. Así como la magnitud de un ángulo plano en radianes en el vértice de un sector circular es la relación entre la longitud de su arco y su radio, la magnitud de un ángulo sólido en estereorradianes es la relación entre el área cubierta en una esfera por un objeto y el cuadrado del radio de la esfera. La fórmula para la magnitud del ángulo sólido en estereorradianes es

$${\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}},}$$

donde es el área (de cualquier forma) de la superficie de la esfera y es el radio de la esfera. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$

Los ángulos sólidos se utilizan a menudo en astronomía , física y, en particular, astrofísica . El ángulo sólido de un objeto que está muy lejos es aproximadamente proporcional a la relación entre el área y la distancia al cuadrado. Aquí, "área" significa el área del objeto cuando se proyecta a lo largo de la dirección de observación.

Cualquier área de una esfera que sea igual en área al cuadrado de su radio, cuando se observa desde su centro, subtiende exactamente un estereorradián .

El ángulo sólido de una esfera medido desde cualquier punto de su interior es 4 π  sr. El ángulo sólido subtendido en el centro de un cubo por una de sus caras es un sexto de ese, o 2 π /3 sr.El ángulo sólido subtendido en la esquina de un cubo (un octante ) o abarcado por un octante esférico es π /2 sr, un octavo del ángulo sólido de una esfera. ^[1]

Los ángulos sólidos también se pueden medir en grados cuadrados (1 sr = ( 180/ π ) ² grados cuadrados), en minutos de arco cuadrados y segundos de arco cuadrados , o en fracciones de la esfera (1 sr = ⁠1/4π​Área fraccionaria ), también conocida como spat (1 sp = 4 π  sr).

En coordenadas esféricas existe una fórmula para la diferencial ,

$${\displaystyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}$$

donde θ es la colatitud (ángulo desde el Polo Norte) y φ es la longitud.

El ángulo sólido de una superficie S orientada arbitrariamente subtendida en un punto P es igual al ángulo sólido de la proyección de la superficie S a la esfera unitaria con centro P , que puede calcularse como la integral de superficie :

$${\displaystyle \Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}$$

donde es el vector unitario correspondiente a , el vector de posición de un área infinitesimal de superficie dS respecto del punto P , y donde representa el vector unitario normal a dS . Incluso si la proyección sobre la esfera unitaria a la superficie S no es isomorfa , los pliegues múltiples se consideran correctamente según la orientación de la superficie descrita por el signo del producto escalar . ${\displaystyle {\hat {r}}={\vec {r}}/r}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}$

De esta manera, se puede aproximar el ángulo sólido subtendido por una faceta pequeña que tiene un área de superficie plana dS , orientación y distancia r desde el observador como: ${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle d\Omega =4\pi \left({\frac {dS}{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}),}$$

donde el área superficial de una esfera es A = 4 π r ² .

Aplicaciones prácticas

• Definición de intensidad luminosa y luminancia , y las magnitudes radiométricas correspondientes intensidad radiante y radiancia
• Cálculo del exceso esférico E de un triángulo esférico
• Cálculo de potenciales mediante el método de elementos de contorno (BEM)
• Evaluación del tamaño de los ligandos en complejos metálicos, véase ángulo del cono del ligando
• Cálculo del campo eléctrico y de la intensidad del campo magnético alrededor de distribuciones de carga
• Derivación de la ley de Gauss
• Cálculo de la potencia emisiva y la irradiación en la transferencia de calor
• Cálculo de secciones transversales en dispersión de Rutherford
• Cálculo de secciones transversales en dispersión Raman
• El ángulo sólido del cono de aceptación de la fibra óptica
• El cálculo de densidades nodales en mallas. ^[2]

Ángulos sólidos para objetos comunes

Cono, casquete esférico, hemisferio

Diagrama que muestra una sección a través del centro de un cono (1) que subtiende un ángulo sólido de 1 estereorradián en una esfera de radio r, junto con la "tapa" esférica (2). El área de superficie externa A de la tapa es igual a r2 solo si el ángulo sólido del cono es exactamente 1 estereorradián. Por lo tanto, en esta figura θ = A /2 y r = 1 .

El ángulo sólido de un cono con su vértice en el vértice del ángulo sólido, y con un ángulo de vértice de 2 θ , es el área de un casquete esférico en una esfera unitaria.

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

Para θ pequeño tal que cos θ ≈ 1 − ⁠θ2^​/2Esto se reduce a π θ ² , el área de un círculo.

Lo anterior se obtiene calculando la siguiente integral doble utilizando el elemento de superficie unitario en coordenadas esféricas :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi &=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\\&=2\pi \left(1-\cos \theta \right).\end{aligned}}}$$

Esta fórmula también se puede derivar sin el uso de cálculo .

Hace más de 2.200 años, Arquímedes demostró que el área de la superficie de un casquete esférico es siempre igual al área de un círculo cuyo radio es igual a la distancia desde el borde del casquete esférico hasta el punto donde el eje de simetría del casquete lo intersecta. ^[3]

Teorema de Arquímedes que establece que el área de la superficie de la región de la esfera debajo del plano horizontal H en el diagrama dado es igual al área de un círculo de radio t.

En el diagrama coloreado anterior, este radio se da como

$${\displaystyle 2r\sin {\frac {\theta }{2}}.}$$En el diagrama en blanco y negro adyacente, este radio se da como "t".

Por lo tanto, para una esfera unitaria, el ángulo sólido de la tapa esférica se da como

$${\displaystyle \Omega =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=2\pi \left(1-\cos \theta \right).}$$

Cuando θ = ⁠π/2⁠ , la tapa esférica se convierte en un hemisferio que tiene un ángulo sólido 2 π .

El ángulo sólido del complemento del cono es

$${\displaystyle 4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos \theta \right)=4\pi \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

Este es también el ángulo sólido de la parte de la esfera celeste que un observador astronómico situado en la latitud θ puede ver a medida que la Tierra gira. En el ecuador es visible toda la esfera celeste; en cada polo, solo la mitad.

El ángulo sólido subtendido por un segmento de un casquete esférico cortado por un plano en un ángulo γ desde el eje del cono y que pasa por el vértice del cono se puede calcular mediante la fórmula ^[4]

$${\displaystyle \Omega =2\left[\arccos \left({\frac {\sin \gamma }{\sin \theta }}\right)-\cos \theta \arccos \left({\frac {\tan \gamma }{\tan \theta }}\right)\right].}$$

Por ejemplo, si γ = − θ , entonces la fórmula se reduce a la fórmula de casquete esférico anterior: el primer término se convierte en π , y el segundo π cos θ .

Tetraedro

Sean OABC los vértices de un tetraedro con origen en O subtendido por la cara triangular ABC donde son las posiciones vectoriales de los vértices A, B y C. Definamos el ángulo del vértice θ _a como el ángulo BOC y definamos θ _b , θ _c correspondientemente. Sea el ángulo diedro entre los planos que contienen las caras tetraédricas OAC y OBC y definamos , correspondientemente. El ángulo sólido Ω subtendido por la superficie triangular ABC está dado por ${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$ ${\displaystyle \phi _{ab}}$ ${\displaystyle \phi _{ac}}$ ${\displaystyle \phi _{bc}}$

$${\displaystyle \Omega =\left(\phi _{ab}+\phi _{bc}+\phi _{ac}\right)\ -\pi .}$$

Esto se desprende de la teoría del exceso esférico y conduce al hecho de que existe un teorema análogo al teorema de que "La suma de los ángulos internos de un triángulo plano es igual a π " , para la suma de los cuatro ángulos sólidos internos de un tetraedro como sigue:

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}\ -4\pi ,}$$

donde abarca los seis ángulos diedros entre dos planos cualesquiera que contengan las caras tetraédricas OAB, OAC, OBC y ABC. ^[5] ${\displaystyle \phi _{i}}$

Una fórmula útil para calcular el ángulo sólido del tetraedro en el origen O que es puramente una función de los ángulos de vértice θ _a , θ _b , θ _c viene dada por el teorema de L'Huilier ^{[6] [7]} como

$${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},}$$

dónde $${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}.}$$

Otra fórmula interesante implica expresar los vértices como vectores en el espacio tridimensional. Sean las posiciones vectoriales de los vértices A, B y C, y sean a , b y c la magnitud de cada vector (la distancia del punto de origen). El ángulo sólido Ω subtendido por la superficie triangular ABC es: ^{[8] [9]} ${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$

$${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {\left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|}{abc+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)c+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)b+\left({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\right)a}},}$$

dónde $${\displaystyle \left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})}$$

denota el triple producto escalar de los tres vectores y denota el producto escalar . ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$

Aquí se debe tener cuidado para evitar ángulos sólidos negativos o incorrectos. Una fuente de posibles errores es que el producto triple escalar puede ser negativo si a , b , c tienen el devanado incorrecto . Calcular el valor absoluto es una solución suficiente ya que ninguna otra parte de la ecuación depende del devanado. El otro problema surge cuando el producto triple escalar es positivo pero el divisor es negativo. En este caso, devuelve un valor negativo que debe incrementarse en π .

Pirámide

El ángulo sólido de una pirámide rectangular recta de cuatro lados con ángulos en el vértice a y b ( ángulos diedros medidos en las caras laterales opuestas de la pirámide) es $${\displaystyle \Omega =4\arcsin \left(\sin \left({a \over 2}\right)\sin \left({b \over 2}\right)\right).}$$

Si se conocen las longitudes de los lados ( α y β ) de la base de la pirámide y la distancia ( d ) desde el centro del rectángulo de la base hasta el vértice de la pirámide (el centro de la esfera), entonces la ecuación anterior se puede manipular para obtener

$${\displaystyle \Omega =4\arctan {\frac {\alpha \beta }{2d{\sqrt {4d^{2}+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}}.}$$

El ángulo sólido de una pirámide n- gonal recta, donde la base de la pirámide es un polígono regular de n lados de radio circunscrito r , con una altura de pirámide h es

$${\displaystyle \Omega =2\pi -2n\arctan \left({\frac {\tan \left({\pi \over n}\right)}{\sqrt {1+{r^{2} \over h^{2}}}}}\right).}$$

El ángulo sólido de una pirámide arbitraria con una base de n lados definida por la secuencia de vectores unitarios que representan los bordes { s ₁ , s ₂ }, ... s _n se puede calcular de manera eficiente mediante: ^[4]

$${\displaystyle \Omega =2\pi -\arg \prod _{j=1}^{n}\left(\left(s_{j-1}s_{j}\right)\left(s_{j}s_{j+1}\right)-\left(s_{j-1}s_{j+1}\right)+i\left[s_{j-1}s_{j}s_{j+1}\right]\right).}$$

donde los paréntesis (* *) son un producto escalar y los corchetes [* * *] son ​​un producto triple escalar , e i es una unidad imaginaria . Los índices son cíclicos: s ₀ = s _n y s ₁ = s _{n + 1.} Los productos complejos suman la fase asociada con cada ángulo de vértice del polígono. Sin embargo, se pierde un múltiplo de en el corte de la rama de y se debe realizar un seguimiento por separado. Además, el producto corriente de fases complejas debe escalarse ocasionalmente para evitar el desbordamiento en el límite de segmentos casi paralelos. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \arg }$

Rectángulo de latitud y longitud

El ángulo sólido de un rectángulo de latitud-longitud en un globo es donde φ _N y φ _S son las líneas norte y sur de latitud (medidas desde el ecuador en radianes con un ángulo que aumenta hacia el norte), y θ _E y θ _W son las líneas este y oeste de longitud (donde el ángulo en radianes aumenta hacia el este). ^[10] Matemáticamente, esto representa un arco de ángulo ϕ _N − ϕ _S barrido alrededor de una esfera por θ _E − θ _W radianes. Cuando la longitud abarca 2 π radianes y la latitud abarca π radianes, el ángulo sólido es el de una esfera. $${\displaystyle \left(\sin \phi _{\mathrm {N} }-\sin \phi _{\mathrm {S} }\right)\left(\theta _{\mathrm {E} }-\theta _{\mathrm {W} }\,\!\right)\;\mathrm {sr} ,}$$

Un rectángulo de latitud y longitud no debe confundirse con el ángulo sólido de una pirámide rectangular. Los cuatro lados de una pirámide rectangular intersecan la superficie de la esfera en arcos de círculo máximo . En un rectángulo de latitud y longitud, solo las líneas de longitud son arcos de círculo máximo; las líneas de latitud no lo son.

Objetos celestes

Utilizando la definición de diámetro angular , la fórmula para el ángulo sólido de un objeto celeste se puede definir en términos del radio del objeto, , y la distancia del observador al objeto, : ${\textstyle R}$ ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-{\frac {\sqrt {d^{2}-R^{2}}}{d}}\right):d\geq R.}$$

Al ingresar los valores promedio apropiados para el Sol y la Luna (en relación con la Tierra), el ángulo sólido promedio del Sol es6,794 × 10 ⁻⁵ estereorradianes y el ángulo sólido promedio de la Luna es6,418 × 10 ⁻⁵ estereorradianes. En términos de la esfera celeste total, el Sol y la Luna subtienden áreas fraccionarias promedio de0,000 5406 % (5,406  ppm ) y0,000 5107 % (5,107 ppm ), respectivamente. Como estos ángulos sólidos son aproximadamente del mismo tamaño, la Luna puede causar eclipses solares tanto totales como anulares dependiendo de la distancia entre la Tierra y la Luna durante el eclipse.

Ángulos sólidos en dimensiones arbitrarias

El ángulo sólido subtendido por la superficie esférica completa de dimensión ( d − 1 ) de la esfera unitaria en el espacio euclidiano de dimensión d se puede definir en cualquier número de dimensiones d . A menudo se necesita este factor de ángulo sólido en cálculos con simetría esférica. Se da por la fórmula donde Γ es la función gamma . Cuando d es un entero, la función gamma se puede calcular explícitamente. ^[11] De ello se deduce que $${\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{\frac {d}{2}}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}},}$$ $${\displaystyle \Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {1}{\left({\frac {d}{2}}-1\right)!}}2\pi ^{\frac {d}{2}}\ &d{\text{ even}}\\{\frac {\left({\frac {1}{2}}\left(d-1\right)\right)!}{(d-1)!}}2^{d}\pi ^{{\frac {1}{2}}(d-1)}\ &d{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

Esto da los resultados esperados de 4 π estereorradianes para la esfera 3D delimitada por una superficie de área 4π r ² y 2 π radianes para el círculo 2D delimitado por una circunferencia de longitud 2π r . También da el ligeramente menos obvio 2 para el caso 1D, en el que la "esfera" 1D centrada en el origen es el intervalo [− r , r ] y este está delimitado por dos puntos límite.

La contraparte de la fórmula vectorial en dimensión arbitraria fue derivada por Aomoto ^{[12] [13]} e independientemente por Ribando ^[14] . Las expresa como una serie de Taylor multivariada infinita : Dados d vectores unitarios que definen el ángulo, sea V la matriz formada al combinarlos de modo que la i- ésima columna sea , y . Las variables forman una multivariable . Para un multiexponente entero "congruente" defina . Nótese que aquí = enteros no negativos, o números naturales que comienzan con 0. La notación para significa la variable , de manera similar para los exponentes . Por lo tanto, el término significa la suma de todos los términos en en los que l aparece como el primer o segundo índice. Donde esta serie converge, converge al ángulo sólido definido por los vectores. $${\displaystyle \Omega =\Omega _{d}{\frac {\left|\det(V)\right|}{(4\pi )^{d/2}}}\sum _{{\vec {a}}\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}}}\left[{\frac {(-2)^{\sum _{i<j}a_{ij}}}{\prod _{i<j}a_{ij}!}}\prod _{i}\Gamma \left({\frac {1+\sum _{m\neq i}a_{im}}{2}}\right)\right]{\vec {\alpha }}^{\vec {a}}.}$$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}={\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{j}=\alpha _{ji},\alpha _{ii}=1}$ ${\displaystyle \alpha _{ij},1\leq i<j\leq d}$ ${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{12},\dotsc ,\alpha _{1d},\alpha _{23},\dotsc ,\alpha _{d-1,d})\in \mathbb {R} ^{\binom {d}{2}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{12},\dotsc ,a_{1d},a_{23},\dotsc ,a_{d-1,d})\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}},}$ ${\textstyle {\vec {\alpha }}^{\vec {a}}=\prod \alpha _{ij}^{a_{ij}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{ji}}$ ${\displaystyle j>i}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle a_{ji}}$ ${\textstyle \sum _{m\neq l}a_{lm}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

Referencias

1. "octante". PlanetMath.org . 2013-03-22 . Consultado el 2024-10-21 .
2. Falla, Romain (2023). "Adaptación de malla para flujos bidimensionales acotados y de superficie libre con el método de elementos finitos de partículas". Mecánica de partículas computacionales . 10 : 1049–1076.
3. "Arquímedes sobre esferas y cilindros". Páginas de matemáticas . 2015.
4. Mazonka, Oleg (2012). "Ángulo sólido de superficies cónicas, conos poliédricos y casquetes esféricos que se intersecan". arXiv : 1205.1396 [math.MG].
5. Hopf, Heinz (1940). "Capítulos selectos de geometría" (PDF) . ETH Zurich : 1–2. Archivado (PDF) desde el original el 21 de septiembre de 2018.
6. "Teorema de L'Huilier - de Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 2015-10-19 . Consultado el 19 de octubre de 2015 .
7. "Exceso esférico – de Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 19 de octubre de 2015. Consultado el 19 de octubre de 2015 .
8. Eriksson, Folke (1990). "Sobre la medida de ángulos sólidos". Math. Mag . 63 (3): 184–187. doi :10.2307/2691141. JSTOR  2691141.
9. Van Oosterom, A; Strackee, J (1983). "El ángulo sólido de un triángulo plano". IEEE Trans. Biomed. Eng . BME-30 (2): 125–126. doi :10.1109/TBME.1983.325207. PMID  6832789. S2CID  22669644.
10. "Área de un rectángulo de latitud y longitud". Foro de Matemáticas @ Drexel . 2003.
11. Jackson, FM (1993). "Polítopos en el espacio n euclidiano". Boletín del Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones . 29 (11/12): 172–174.
12. Aomoto, Kazuhiko (1977). "Estructura analítica de la función Schläfli". Nagoya Math. J. 68 : 1–16. doi : 10.1017/s0027763000017839 .
13. Beck, M.; Robins, S.; Sam, S.V. (2010). "Teoremas de positividad para polinomios de ángulos sólidos". Contribuciones al álgebra y la geometría . 51 (2): 493–507. arXiv : 0906.4031 . Código Bibliográfico :2009arXiv0906.4031B.
14. Ribando, Jason M. (2006). "Medición de ángulos sólidos más allá de la dimensión tres". Geometría discreta y computacional . 36 (3): 479–487. doi : 10.1007/s00454-006-1253-4 .

Lectura adicional

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• Naito, Minoru (1957). "Un método para calcular el ángulo sólido subtendido por una apertura circular". J. Phys. Soc. Jpn . 12 (10): 1122–1129. Bibcode :1957JPSJ...12.1122N. doi :10.1143/JPSJ.12.1122.
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Enlaces externos

• Arthur P. Norton, Un atlas estelar, Gall and Inglis, Edimburgo, 1969.
• MG Kendall, Un curso sobre geometría de N dimensiones, n.º 8 de Griffin's Statistical Monographs & Courses, ed. MG Kendall, Charles Griffin & Co. Ltd, Londres, 1961
• Weisstein, Eric W. "Ángulo sólido". MundoMatemático .