Oscilador paramétrico

Oscilador armónico cuyos parámetros oscilan en el tiempo.

Uno de los primeros amplificadores paramétricos varactor, inventado en Bell Labs alrededor de 1958. Este amplificador de 4 etapas logró una ganancia de 10 dB a 400 MHz. Los amplificadores paramétricos se utilizan en aplicaciones que requieren un ruido extremadamente bajo.

Un oscilador paramétrico es un oscilador armónico impulsado en el que las oscilaciones son impulsadas variando algunos parámetros del sistema en algunas frecuencias, generalmente diferentes de la frecuencia natural del oscilador. Un ejemplo simple de un oscilador paramétrico es un niño que bombea un columpio en un patio de recreo parándose y agachándose periódicamente para aumentar el tamaño de las oscilaciones del columpio. ^{[1] [2] [3]} Los movimientos del niño varían el momento de inercia del columpio a modo de péndulo . Los movimientos de "bombeo" del niño deben tener el doble de frecuencia que las oscilaciones del columpio. Ejemplos de parámetros que pueden variarse son la frecuencia de resonancia y la amortiguación del oscilador . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \beta }$

Los osciladores paramétricos se utilizan en varias áreas de la física. El oscilador paramétrico varactor clásico consta de un diodo varactor semiconductor conectado a un circuito resonante o resonador de cavidad . Se activa variando la capacitancia del diodo aplicando un voltaje de polarización variable . El circuito que varía la capacitancia del diodo se llama "bomba" o "controlador". En la electrónica de microondas, los osciladores paramétricos basados ​​en guías de onda / YAG funcionan de la misma manera. Otro ejemplo importante es el oscilador óptico paramétrico , que convierte una onda de luz láser de entrada en dos ondas de salida de menor frecuencia ( ). ${\displaystyle \omega _{s},\omega _{i}}$

Cuando se opera a niveles de bombeo por debajo de la oscilación, el oscilador paramétrico puede amplificar una señal, formando un amplificador paramétrico ( paramp ). Los amplificadores paramétricos Varactor fueron desarrollados como amplificadores de bajo ruido en el rango de frecuencia de radio y microondas. La ventaja de un amplificador paramétrico es que tiene mucho menos ruido que un amplificador basado en un dispositivo de ganancia como un transistor o una válvula de vacío . Esto se debe a que en el amplificador paramétrico se varía una reactancia en lugar de una resistencia (que produce ruido) . Se utilizan en receptores de radio de muy bajo ruido en radiotelescopios y antenas de comunicación de naves espaciales . ^[4]

La resonancia paramétrica ocurre en un sistema mecánico cuando un sistema se excita paramétricamente y oscila en una de sus frecuencias de resonancia. La excitación paramétrica difiere del forzado porque la acción aparece como una modificación variable en el tiempo en un parámetro del sistema.

Historia

Las oscilaciones paramétricas se observaron por primera vez en mecánica. Michael Faraday (1831) fue el primero en notar oscilaciones de una frecuencia excitadas por fuerzas del doble de frecuencia, en las crujientes (ondas superficiales rizadas) observadas en una copa de vino excitada para "cantar". ^[5] Franz Melde (1860) generó oscilaciones paramétricas en una cuerda empleando un diapasón para variar periódicamente la tensión al doble de la frecuencia de resonancia de la cuerda. ^[6] Rayleigh (1883,1887) trató por primera vez la oscilación paramétrica como un fenómeno general . ^{[7] [8] [9]}

Uno de los primeros en aplicar el concepto a los circuitos eléctricos fue George Francis FitzGerald , quien en 1892 intentó excitar oscilaciones en un circuito LC bombeándolo con una inductancia variable proporcionada por una dinamo. ^{[10] [11]} Los amplificadores paramétricos ( paramps ) se utilizaron por primera vez en 1913-1915 para radiotelefonía desde Berlín a Viena y Moscú, y se predijo que tendrían un futuro útil ( Ernst Alexanderson , 1916). ^[12] Estos primeros amplificadores paramétricos utilizaban la no linealidad de un inductor de núcleo de hierro , por lo que solo podían funcionar a bajas frecuencias.

En 1948, Aldert van der Ziel señaló una importante ventaja del amplificador paramétrico: debido a que utilizaba una reactancia variable en lugar de una resistencia para la amplificación, tenía un ruido inherentemente bajo. ^[13] Un amplificador paramétrico utilizado como extremo frontal de un receptor de radio podría amplificar una señal débil e introducir muy poco ruido. En 1952, Harrison Rowe, de los Laboratorios Bell, amplió algunos trabajos matemáticos de 1934 sobre oscilaciones bombeadas de Jack Manley y publicó la teoría matemática moderna de las oscilaciones paramétricas, las relaciones Manley-Rowe . ^[13]

El diodo varactor inventado en 1956 tenía una capacitancia no lineal que se podía utilizar en frecuencias de microondas. El amplificador paramétrico varactor fue desarrollado por Marion Hines en 1956 en Western Electric . ^[13] En el momento de su invención, las microondas apenas estaban siendo explotadas, y el amplificador varactor fue el primer amplificador semiconductor en frecuencias de microondas. ^[13] Se aplicó a receptores de radio de bajo ruido en muchas áreas y se ha utilizado ampliamente en radiotelescopios , estaciones terrestres de satélite y radares de largo alcance . Es el principal tipo de amplificador paramétrico que se utiliza en la actualidad. Desde entonces se han construido amplificadores paramétricos con otros dispositivos activos no lineales como las uniones Josephson .

La técnica se ha extendido a frecuencias ópticas en amplificadores y osciladores paramétricos ópticos que utilizan cristales no lineales como elemento activo.

Análisis matemático

Un oscilador paramétrico es un oscilador armónico cuyas propiedades físicas varían con el tiempo. La ecuación de tal oscilador es

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta (t){\frac {dx}{dt}}+\omega ^{2}(t)x=0}$

Esta ecuación es lineal en . Por supuesto, los parámetros dependen únicamente del tiempo y no dependen del estado del oscilador. En general, y/o se supone que varían periódicamente, con el mismo periodo . ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta (t)}$ ${\displaystyle \omega ^{2}(t)}$ ${\displaystyle T}$

Si los parámetros varían aproximadamente el doble de la frecuencia natural del oscilador (definida a continuación), el oscilador se bloquea en fase con la variación paramétrica y absorbe energía a una velocidad proporcional a la energía que ya tiene. Sin un mecanismo compensador de pérdida de energía proporcionado por , la amplitud de oscilación crece exponencialmente. (Este fenómeno se llama excitación paramétrica , resonancia paramétrica o bombeo paramétrico ). Sin embargo, si la amplitud inicial es cero, seguirá siéndolo; esto la distingue de la resonancia no paramétrica de osciladores armónicos simples accionados , en los que la amplitud crece linealmente en el tiempo independientemente del estado inicial. ${\displaystyle \beta }$

Una experiencia familiar de oscilación tanto paramétrica como impulsada es jugar en un columpio. ^{[1] [2] [3]} Balancearse hacia adelante y hacia atrás bombea el swing como un oscilador armónico impulsado , pero una vez que se mueve, el swing también puede ser impulsado paramétricamente estando de pie y agachándose alternativamente en puntos clave del arco del swing. Esto cambia el momento de inercia del columpio y, por tanto, la frecuencia de resonancia, y los niños pueden alcanzar rápidamente grandes amplitudes siempre que tengan cierta amplitud para empezar (por ejemplo, recibir un empujón). Sin embargo, estar de pie y en cuclillas en reposo no conduce a ninguna parte.

Transformación de la ecuación.

Empezamos haciendo un cambio de variable.

${\displaystyle q(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{D(t)}x(t)}$

¿Dónde es la integral de tiempo del coeficiente de amortiguación? ${\displaystyle D(t)}$

${\displaystyle D(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\beta (\tau )\,d\tau }$.

Este cambio de variable elimina el término de amortiguamiento en la ecuación diferencial, reduciéndolo a

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\Omega ^{2}(t)q=0}$

donde la frecuencia transformada se define como

${\displaystyle \Omega ^{2}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega ^{2}(t)-{\frac {1}{2}}{\frac {d\beta }{dt}}-{\frac {1}{4}}\beta ^{2}(t)}$.

En general, las variaciones en la amortiguación y la frecuencia son perturbaciones relativamente pequeñas.

${\displaystyle \beta (t)=\omega _{0}{\big [}b+g(t){\big ]}}$

${\displaystyle \omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}{\big [}1+h(t){\big ]}}$

donde y son constantes, es decir, la frecuencia del oscilador promediada en el tiempo y la amortiguación, respectivamente. La frecuencia transformada se puede escribir de manera similar a como ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \Omega ^{2}(t)=\omega _{n}^{2}{\big [}1+f(t){\big ]}}$,

¿Dónde está la frecuencia natural del oscilador armónico amortiguado? ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \omega _{n}^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \omega _{0}^{2}\left(1-{\frac {b^{2}}{4}}\right)}$

y

${\displaystyle f(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega _{n}^{2}}}\left[h(t)-{\frac {1}{2\omega _{0}}}{\frac {dg}{dt}}-{\frac {b}{2}}g(t)-{\frac {1}{4}}g^{2}(t)\right]}$.

Por lo tanto, nuestra ecuación transformada se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{n}^{2}{\big [}1+f(t){\big ]}q=0}$.

Las variaciones independientes en la amortiguación del oscilador y la frecuencia de resonancia, respectivamente, se pueden combinar en una única función de bombeo . La conclusión inversa es que cualquier forma de excitación paramétrica se puede lograr variando la frecuencia de resonancia o la amortiguación, o ambas. ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle f(t)}$

Solución de la ecuación transformada.

Supongamos que es sinusoidal con una frecuencia aproximadamente el doble de la frecuencia natural del oscilador: ${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin(2\omega _{p}t)}$

donde la frecuencia de bombeo no tiene por qué ser igual exactamente. Usando el método de variación de parámetros , la solución a nuestra ecuación transformada se puede escribir como ${\displaystyle \omega _{p}\approx \omega _{n}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle q(t)}$

${\displaystyle q(t)=A(t)\cos(\omega _{p}t)+B(t)\sin(\omega _{p}t)}$

donde los componentes que varían rápidamente, y , se han factorizado para aislar las amplitudes que varían lentamente y . ${\displaystyle \cos(\omega _{p}t)}$ ${\displaystyle \sin(\omega _{p}t)}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle B(t)}$

Procedemos sustituyendo esta solución en la ecuación diferencial y considerando que ambos coeficientes delante de y deben ser cero para satisfacer la ecuación diferencial de manera idéntica. También omitimos las segundas derivadas de y debido a que y varían lentamente, así como también omitimos los términos sinusoidales que no están cerca de la frecuencia natural, ya que no contribuyen significativamente a la resonancia. El resultado es el siguiente par de ecuaciones diferenciales acopladas: ${\displaystyle \cos(\omega _{p}t)}$ ${\displaystyle \sin(\omega _{p}t)}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle B(t)}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle B(t)}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle 2\omega _{p}{\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}f_{0}\omega _{n}^{2}A-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)B}$

${\displaystyle 2\omega _{p}{\frac {dB}{dt}}=\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)A-{\frac {1}{2}}f_{0}\omega _{n}^{2}B}$.

Este sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes se puede desacoplar y resolver mediante métodos de valores propios / vectores propios . Esto produce la solución

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A(t)\\B(t)\end{bmatrix}}=c_{1}{\vec {V_{1}}}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}{\vec {V_{2}}}e^{\lambda _{2}t}}$

donde y son los valores propios de la matriz ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\omega _{p}}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}f_{0}\omega _{n}^{2}&-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)\\\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}&-{\frac {1}{2}}f_{0}\omega _{n}^{2}\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle {\vec {V_{1}}}}$y son vectores propios correspondientes, y y son constantes arbitrarias. Los valores propios están dados por ${\displaystyle {\vec {V_{2}}}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\pm {\frac {1}{2\omega _{p}}}{\sqrt {\left({\frac {f_{0}\omega _{n}^{2}}{2}}\right)^{2}-\left(\omega _{p}^{2}-\omega _{n}^{2}\right)^{2}}}}$.

Si escribimos la diferencia entre y como y la reemplazamos con todos los lugares donde la diferencia no es importante, obtenemos ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$ ${\displaystyle \Delta \omega =\omega _{p}-\omega _{n}}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle \omega _{n}}$

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {\left({\frac {f_{0}\omega _{n}}{4}}\right)^{2}-\Delta \omega ^{2}}}}$.

Si , entonces los valores propios son reales y exactamente uno es positivo, lo que conduce a un crecimiento exponencial para y . Esta es la condición para la resonancia paramétrica, con la tasa de crecimiento dada por el valor propio positivo . Sin embargo, tenga en cuenta que esta tasa de crecimiento corresponde a la amplitud de la variable transformada , mientras que la amplitud de la variable no transformada puede crecer o disminuir dependiendo de si aumenta o disminuye. ${\displaystyle |\Delta \omega |<{\frac {f_{0}\omega _{n}}{4}}}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle B(t)}$ ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {\left({\frac {f_{0}\omega _{n}}{4}}\right)^{2}-\Delta \omega ^{2}}}}$ ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle x(t)=q(t)e^{-D(t)}}$ ${\displaystyle \lambda t-D(t)}$

Derivación intuitiva de excitación paramétrica.

La derivación anterior puede parecer un juego de manos matemático, por lo que puede resultar útil dar una derivación intuitiva. La ecuación se puede escribir en la forma ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+\omega _{n}^{2}q=-\omega _{n}^{2}f(t)q}$

que representa un oscilador armónico simple (o, alternativamente, un filtro de paso de banda ) impulsado por una señal que es proporcional a su respuesta . ${\displaystyle -\omega _{n}^{2}f(t)q}$ ${\displaystyle q(t)}$

Supongamos que ya tiene una oscilación en frecuencia y que el bombeo tiene el doble de frecuencia y una pequeña amplitud . Aplicando una identidad trigonométrica para productos de sinusoides, su producto produce dos señales impulsoras, una en frecuencia y la otra en frecuencia . ${\displaystyle q(t)=A\cos(\omega _{p}t)}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle f(t)=f_{0}\sin(2\omega _{p}t)}$ ${\displaystyle f_{0}\ll 1}$ ${\displaystyle q(t)f(t)}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle 3\omega _{p}}$

${\displaystyle f(t)q(t)={\frac {f_{0}}{2}}A{\big [}\sin(\omega _{p}t)+\sin(3\omega _{p}t){\big ]}}$

Al estar fuera de resonancia, la señal se atenúa y puede despreciarse inicialmente. Por el contrario, la señal está en resonancia, sirve para amplificar y es proporcional a la amplitud . Por tanto, la amplitud de crece exponencialmente a menos que inicialmente sea cero. ${\displaystyle 3\omega _{p}}$ ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle q(t)}$

Expresada en el espacio de Fourier, la multiplicación es una convolución de sus transformadas de Fourier y . La retroalimentación positiva surge porque el componente de convierte el componente de en una señal de conducción en y viceversa (invierte los signos). Esto explica por qué la frecuencia de bombeo debe ser cercana al doble de la frecuencia natural del oscilador. Bombear a una frecuencia muy diferente no se acoplaría (es decir, no proporcionaría retroalimentación positiva mutua) entre los componentes y de . ${\displaystyle f(t)q(t)}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}(\omega )}$ ${\displaystyle {\tilde {Q}}(\omega )}$ ${\displaystyle +2\omega _{p}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle -\omega _{p}}$ ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle +\omega _{p}}$ ${\displaystyle 2\omega _{n}}$ ${\displaystyle -\omega _{p}}$ ${\displaystyle +\omega _{p}}$ ${\displaystyle q(t)}$

resonancia paramétrica

La resonancia paramétrica es el fenómeno de resonancia paramétrica de perturbación y oscilación mecánica a ciertas frecuencias (y los armónicos asociados ). Este efecto se diferencia de la resonancia regular porque presenta el fenómeno de inestabilidad .

La resonancia paramétrica ocurre en un sistema mecánico cuando un sistema se excita paramétricamente y oscila en una de sus frecuencias de resonancia. La excitación paramétrica difiere del forzado porque la acción aparece como una modificación variable en el tiempo en un parámetro del sistema. El ejemplo clásico de resonancia paramétrica es el del péndulo forzado verticalmente. La resonancia paramétrica tiene lugar cuando la frecuencia de excitación externa es igual al doble de la frecuencia natural del sistema dividida por un número entero positivo . Para una excitación paramétrica con pequeña amplitud en ausencia de fricción, el ancho de banda de la resonancia es de orden principal . ^[14] El efecto de la fricción es introducir un umbral finito para que la amplitud de la excitación paramétrica dé como resultado una inestabilidad. ^[15] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(|h|^{n})}$

Para amplitudes pequeñas y mediante linealización, la estabilidad de la solución periódica viene dada por la ecuación de Mathieu :

${\displaystyle {\ddot {u}}+(a+B\cos t)u=0}$

donde hay alguna perturbación de la solución periódica. Aquí el término actúa como una fuente de "energía" y se dice que excita paramétricamente el sistema. La ecuación de Mathieu describe muchos otros sistemas físicos con una excitación paramétrica sinusoidal, como un circuito LC donde las placas del capacitor se mueven de manera sinusoidal. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle B\ \cos(t)}$

La resonancia autoparamétrica ocurre en un sistema con dos osciladores acoplados, de modo que las vibraciones de uno actúan como resonancia paramétrica en el segundo. El punto cero del segundo oscilador se vuelve inestable y, por tanto, comienza a oscilar. ^{[16] [17]}

amplificadores paramétricos

Introducción

Como mezclador se implementa un amplificador paramétrico . La ganancia del mezclador aparece en la salida como ganancia del amplificador. La señal débil de entrada se mezcla con una señal fuerte del oscilador local y la salida fuerte resultante se utiliza en las siguientes etapas del receptor.

Los amplificadores paramétricos también funcionan cambiando un parámetro del amplificador. Intuitivamente, esto puede entenderse de la siguiente manera, para un amplificador basado en condensador variable. La carga en un capacitor obedece: , por lo tanto el voltaje a través de es . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q=C\times V}$
${\displaystyle V={\frac {Q}{C}}}$

Sabiendo lo anterior, si un capacitor se carga hasta que su voltaje sea igual al voltaje muestreado de una señal débil entrante, y si luego se reduce la capacitancia del capacitor (por ejemplo, separando más las placas manualmente), entonces el voltaje a través del capacitor aumentará. . De esta forma se amplifica el voltaje de la señal débil.

Si el condensador es un diodo varicap , entonces "mover las placas" se puede hacer simplemente aplicando voltaje CC variable en el tiempo al diodo varicap. Este voltaje impulsor generalmente proviene de otro oscilador, a veces llamado "bomba".

La señal de salida resultante contiene frecuencias que son la suma y diferencia de la señal de entrada (f1) y la señal de la bomba (f2): (f1 + f2) y (f1 − f2).

Un oscilador paramétrico práctico necesita las siguientes conexiones: una para el "común" o " tierra ", una para alimentar la bomba, otra para recuperar la salida y tal vez una cuarta para polarizar. Un amplificador paramétrico necesita un quinto puerto para ingresar la señal que se está amplificando. Dado que un diodo varactor tiene solo dos conexiones, solo puede ser parte de una red LC con cuatro vectores propios con nodos en las conexiones. Esto se puede implementar como amplificador de transimpedancia , amplificador de ondas progresivas o mediante un circulador .

Ecuación matemática

La ecuación del oscilador paramétrico se puede ampliar agregando una fuerza impulsora externa : ${\displaystyle E(t)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta (t){\frac {dx}{dt}}+\omega ^{2}(t)x=E(t)}$.

Suponemos que la amortiguación es lo suficientemente fuerte como para que, en ausencia de la fuerza impulsora , la amplitud de las oscilaciones paramétricas no diverja, es decir, que . En esta situación, el bombeo paramétrico actúa para reducir la amortiguación efectiva en el sistema. A modo de ilustración, supongamos que la amortiguación sea constante y suponga que la fuerza impulsora externa está en la frecuencia de resonancia media , es decir ,. La ecuación se convierte ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha t<D}$ ${\displaystyle \beta (t)=\omega _{0}b}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle E(t)=E_{0}\sin \omega _{0}t}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b\omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}\left[1+h_{0}\sin 2\omega _{0}t\right]x=E_{0}\sin \omega _{0}t}$

cuya solución es aproximadamente

${\displaystyle x(t)={\frac {2E_{0}}{\omega _{0}^{2}\left(2b-h_{0}\right)}}\cos \omega _{0}t}$.

A medida que se acerca al umbral , la amplitud diverge. Cuando , el sistema entra en resonancia paramétrica y la amplitud comienza a crecer exponencialmente, incluso en ausencia de una fuerza impulsora . ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle 2b}$ ${\displaystyle h_{0}\geq 2b}$ ${\displaystyle E(t)}$

Ventajas

1. es muy sensible
2. Amplificador de bajo nivel de ruido para señales de radio de frecuencia ultra alta y microondas.

Otros resultados matemáticos relevantes

Si los parámetros de cualquier ecuación diferencial lineal de segundo orden se varían periódicamente, el análisis de Floquet muestra que las soluciones deben variar de forma sinusoidal o exponencial.

La ecuación anterior con variación periódica es un ejemplo de ecuación de Hill . Si es una sinusoide simple, la ecuación se llama ecuación de Mathieu . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle f(t)}$

Ver también

• Oscilador armónico
• ecuación de Mathieu
• Amplificador paramétrico óptico
• Oscilador paramétrico óptico

Referencias

1. Caso, William. "Dos formas de accionar el columpio infantil". Archivado desde el original el 9 de diciembre de 2011 . Consultado el 27 de noviembre de 2011 .Nota: En los parques infantiles de la vida real, los columpios son predominantemente osciladores accionados, no paramétricos.
2. Caso, WB (1996). "El bombeo de un columpio desde la posición de pie". Revista Estadounidense de Física . 64 (3): 215–220. Código Bib : 1996AmJPh..64..215C. doi :10.1119/1.18209.
3. Roura, P.; González, JA (2010). "Hacia una descripción más realista del bombeo por oscilación debido al intercambio de momento angular". Revista Europea de Física . 31 (5): 1195-1207. Código Bib : 2010EJPh...31.1195R. doi :10.1088/0143-0807/31/5/020. S2CID  122086250.
4. Bryerton, Eric; Mayo, María (15 de mayo de 2015). "Amplificadores de bajo ruido: superando los límites del bajo ruido". Observatorio Nacional de Radioastronomía . Consultado el 11 de febrero de 2020 .
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6. Melde, F. (1860) "Über Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers" [Sobre la excitación de ondas estacionarias en una cuerda], Annalen der Physik und Chemie (segunda serie), 109 : 193-215.
7. Strutt, JW (Lord Rayleigh) (1883) "Sobre vibraciones mantenidas", Archivado el 13 de agosto de 2016 en Wayback Machine Philosophical Magazine , quinta serie, 15 : 229-235.
8. Strutt, JW (Lord Rayleigh) (1887) "Sobre el mantenimiento de vibraciones mediante fuerzas de doble frecuencia y sobre la propagación de ondas a través de un medio dotado de estructura periódica", ^{[ enlace muerto permanente ]} Revista Filosófica , quinta serie, 24 : 145-159.
9. Strutt, JW (Lord Rayleigh) La teoría del sonido , 2º. ed. (Nueva York, Nueva York: Dover, 1945), vol. 1, páginas 81-85.
10. Ver:
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    • Reimpreso: George Francis Fitzgerald con Joseph Larmor, ed., The Scientific Writings of the Late George Francis Fitzgerald (Londres, Inglaterra: Longmans, Green, & Co., 1902; Dublín, Irlanda: Hodges, Figgis, & Co., 1902) , págs. 277–281. Archivado el 7 de julio de 2014 en Wayback Machine .
    • Reimpreso: (Anónimo) (11 de febrero de 1892) "Physical Society, 22 de enero", archivado el 12 de julio de 2011 en Wayback Machine Nature , 45 : 358-359.
11. Hong, Sungook Hong (201). Inalámbrico: de la Black-Box de Marconi al Audion. Prensa del MIT. págs. 158-161. ISBN 978-0262082983.
12. Alexanderson, Ernst FW (abril de 1916) "Un amplificador magnético para audiotelefonía" Actas del Instituto de Ingenieros de Radio , 4 : 101-149.
13. Roer, TG (2012). Dispositivos electrónicos de microondas. Springer Science and Business Media. pag. 7.ISBN​ 978-1461525004.
14. Campana, M. (1957). "Una nota sobre las funciones de Mathieu". Revista de Matemáticas de Glasgow . 3 (3): 132-134. doi :10.1017/S204061850003358X.
15. Landau, LD; Lifshitz, EM (1976). Mecánica (3ª ed.). Prensa de Pérgamo. ISBN 0 7506 2896 0.
16. Verhulst, Ferdinand (2009), "Análisis de perturbaciones de resonancia paramétrica" ​​(PDF) , Encyclopedia of Complexity and Systems Science , Nueva York, NY: Springer New York, págs. 6625–6639, doi :10.1007/978-0-387 -30440-3_393, ISBN 978-0-387-75888-6, archivado desde el original el 3 de diciembre de 2020 , consultado el 25 de junio de 2023.
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Otras lecturas

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• Mumford, WW (1960). "Algunas notas sobre la historia de los transductores paramétricos". Actas del Instituto de Ingenieros de Radio . 48 (5): 848–853. doi :10.1109/jrproc.1960.287620. S2CID  51646108.
• Pungs L.DRGM Nr. 588 822 (24 de octubre de 1913); DRP nº. 281440 (1913); Electrotecnología. Z. , 44 , 78-81 (¿1923?); Proc. IRE , 49 , 378 (1961).
• Elmer, Franz-Josef, " Laboratorio de péndulo de resonancia paramétrica de la Universidad de Basilea ". unibas.ch, 20 de julio de 1998.
• Cooper, Jeffery, " Resonancia paramétrica en ecuaciones de onda con potencial periódico en el tiempo ". Revista SIAM de Análisis Matemático, Volumen 31, Número 4, págs. Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, 2000.
• " Péndulo Impulsado: Resonancia Paramétrica ". phys.cmu.edu (Demostración de mecánica física o mecánica clásica. Oscilaciones de resonancia configuradas en un péndulo simple mediante una longitud del péndulo que varía periódicamente).
• Mumford, WW, "Algunas notas sobre la historia de los transductores paramétricos ". Actas de la IRE, Volumen 98, Número 5, págs. 848–853. Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos, mayo de 1960.
• 2009, Ferdinand Verhulst, Análisis de perturbaciones de resonancia paramétrica , Enciclopedia de complejidad y ciencia de sistemas, Springer.

enlaces externos

• Resonancia autoparamétrica de Tim: un vídeo de Tim Rowett que muestra cómo aparece la resonancia autoparamétrica en un péndulo hecho con un resorte.