Curva hiperelíptica imaginaria

Concepto en matemáticas

Una curva hiperelíptica es un tipo particular de curva algebraica . Existen curvas hiperelípticas de cada género . Si el género de una curva hiperelíptica es igual a 1, simplemente llamamos a la curva una curva elíptica . Por lo tanto, podemos ver las curvas hiperelípticas como generalizaciones de las curvas elípticas. Existe una estructura de grupo bien conocida en el conjunto de puntos que se encuentran en una curva elíptica sobre algún cuerpo , que podemos describir geométricamente con cuerdas y tangentes. Generalizar esta estructura de grupo al caso hiperelíptica no es sencillo. No podemos definir la misma ley de grupo en el conjunto de puntos que se encuentran en una curva hiperelíptica, en cambio, se puede definir una estructura de grupo en el llamado jacobiano de una curva hiperelíptica. Los cálculos difieren según el número de puntos en el infinito. Las curvas hiperelípticas imaginarias son curvas hiperelípticas con exactamente 1 punto en el infinito: las curvas hiperelípticas reales tienen dos puntos en el infinito. ${\displaystyle g\geq 1}$ ${\displaystyle K}$

Definición formal

Las curvas hiperelípticas se pueden definir sobre cuerpos de cualquier característica . Por lo tanto, consideramos un cuerpo arbitrario y su clausura algebraica . Una curva hiperelíptica (imaginaria) de género sobre está dada por una ecuación de la forma donde es un polinomio de grado no mayor que y es un polinomio mónico de grado . Además, requerimos que la curva no tenga puntos singulares . En nuestro contexto, esto implica que ningún punto satisface tanto y las ecuaciones y . Esta definición difiere de la definición de una curva hiperelíptica general en el hecho de que también puede tener grado en el caso general. De ahora en adelante, eliminamos el adjetivo imaginario y simplemente hablamos de curvas hiperelípticas, como se hace a menudo en la literatura. Nótese que el caso corresponde a ser un polinomio cúbico, de acuerdo con la definición de una curva elíptica. Si vemos la curva como si se encontrara en el plano proyectivo con coordenadas , vemos que hay un punto particular que se encuentra en la curva, a saber, el punto en el infinito denotado por . Entonces podríamos escribir . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)\in K[x,y]}$$ ${\displaystyle h(x)\in K[x]}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)\in K[x]}$ ${\displaystyle 2g+1}$ ${\displaystyle (x,y)\in {\overline {K}}\times {\overline {K}}}$ ${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$ ${\displaystyle 2y+h(x)=0}$ ${\displaystyle h'(x)y=f'(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2g+2}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(K)}$ ${\displaystyle (X:Y:Z)}$ ${\displaystyle (0:1:0)}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle C=\{(x,y)\in K^{2}|y^{2}+h(x)y=f(x)\}\cup \{O\}}$

Supongamos que el punto distinto de se encuentra en la curva y consideremos . Como se puede simplificar a , vemos que también es un punto en la curva. se denomina opuesto de y se denomina punto de Weierstrass si , es decir . Además, el opuesto de se define simplemente como . ${\displaystyle P=(a,b)}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {\overline {P}}=(a,-b-h(a))}$ ${\displaystyle (-b-h(a))^{2}+h(a)(-b-h(a))}$ ${\displaystyle b^{2}+h(a)b}$ ${\displaystyle {\overline {P}}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P={\overline {P}}}$ ${\displaystyle h(a)=-2b}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {\overline {O}}=O}$

Definición alternativa

La definición de una curva hiperelíptica se puede simplificar ligeramente si requerimos que la característica de no sea igual a 2. Para ver esto, consideramos el cambio de variables y , lo cual tiene sentido si char . Bajo este cambio de variables reescribimos a que, a su vez, puede reescribirse como . Como sabemos que y por lo tanto es un polinomio mónico de grado . Esto significa que sobre un cuerpo con char cada curva hiperelíptica de género es isomorfa a una dada por una ecuación de la forma donde es un polinomio mónico de grado y la curva no tiene puntos singulares. Nótese que para curvas de esta forma es fácil verificar si se cumple el criterio de no singularidad. Un punto en la curva es singular si y solo si y . Como y , debe ser el caso de que y por lo tanto es una raíz múltiple de . Concluimos que la curva no tiene puntos singulares si y solo si no tiene raíces múltiples. Si bien la definición de una curva hiperelíptica es bastante fácil cuando char , no debemos olvidarnos de los campos de característica 2 ya que la criptografía de curva hiperelíptica hace un uso extensivo de dichos campos. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x\rightarrow x}$ ${\displaystyle y\rightarrow y-{\frac {h(x)}{2}}}$ ${\displaystyle (K)\not =2}$ ${\displaystyle y^{2}+h(x)y=f(x)}$ ${\textstyle \left(y-{\frac {h(x)}{2}}\right)^{2}+h(x)\left(y-{\frac {h(x)}{2}}\right)=f(x)}$ ${\displaystyle y^{2}=f(x)+{\frac {h(x)^{2}}{4}}}$ ${\displaystyle \deg(h)\leq g}$ ${\displaystyle \deg(h^{2})\leq 2g}$ ${\displaystyle f(x)+{\frac {h(x)^{2}}{4}}}$ ${\displaystyle 2g+1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (K)\not =2}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2g+1}$ ${\displaystyle P=(a,b)}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle f'(a)=0}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle b^{2}=f(a)}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (K)\not =2}$

Ejemplo

Figura 1: Ejemplo de una curva hiperelíptica

Como ejemplo, considere dónde sobre . Como tiene grado 5 y las raíces son todas distintas, es una curva de género . Su gráfico se representa en la Figura 1. ${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{5}-2x^{4}-7x^{3}+8x^{2}+12x=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g=2}$

De esta imagen se desprende inmediatamente que no podemos utilizar el método de cuerdas y tangentes para definir una ley de grupo sobre el conjunto de puntos de una curva hiperelíptica. La ley de grupo sobre curvas elípticas se basa en el hecho de que una línea recta que pasa por dos puntos que se encuentran sobre una curva elíptica tiene un único tercer punto de intersección con la curva. Nótese que esto siempre es cierto ya que se encuentra sobre la curva. De la gráfica de se desprende claramente que esto no tiene por qué ser válido para una curva hiperelíptica arbitraria. En realidad, el teorema de Bézout establece que una línea recta y una curva hiperelíptica de género 2 se cortan en 5 puntos. Por lo tanto, una línea recta que pasa por dos puntos que se encuentran sobre no tiene un único tercer punto de intersección, tiene otros tres puntos de intersección. ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Anillo de coordenadas

El anillo de coordenadas de C sobre K se define como

${\displaystyle K[C]=K[x,y]/(y^{2}+h(x)y-f(x)).}$

El polinomio es irreducible sobre , por lo que ${\displaystyle r(x,y)=y^{2}+h(x)y-f(x)}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$

${\displaystyle {\overline {K}}[C]={\overline {K}}[x,y]/(y^{2}+h(x)y-f(x))}$

es un dominio integral .

Prueba

Si r ( x , y ) fuera reducible sobre , se factorizaría como ( y − u ( x ))⋅( y − v ( x )) para algún . Pero entonces u ( x )⋅ v ( x ) = f ( x ) por lo que tiene grado 2 g + 1 , y u ( x ) + v ( x ) = h ( x ) por lo que tiene grado menor que g , lo cual es imposible. ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle u,v\in {\overline {K}}}$

Tenga en cuenta que cualquier función polinómica se puede escribir de forma única como ${\displaystyle G(x,y)\in {\overline {K}}[C]}$

${\displaystyle G(x,y)=u(x)-v(x)y}$  con ${\displaystyle u(x),v(x)\in {\overline {K}}[x]}$

Norma y grado

El conjugado de una función polinómica G ( x , y ) = u ( x ) − v ( x ) y en se define como ${\displaystyle {\overline {K}}[C]}$

${\displaystyle {\overline {G}}(x,y)=u(x)+v(x)(h(x)+y).}$

La norma de G es la función polinómica . Nótese que N ( G ) = u ( x ) ² + u ( x ) v ( x ) h ( x ) − v ( x ) ² f ( x ) , por lo que N ( G ) es un polinomio en una sola variable . ${\displaystyle N(G)=G{\overline {G}}}$

Si G ( x , y ) = u ( x ) − v ( x ) ⋅ y , entonces el grado de G se define como

${\displaystyle \deg(G)=\max[2\deg(u),2g+1+2\deg(v)].}$

Propiedades:

${\displaystyle \deg(G)=\deg _{x}(N(G))}$

${\displaystyle \deg(GH)=\deg(G)+\deg(H)}$

${\displaystyle \deg(G)=\deg({\overline {G}})}$

Campo de función

El campo de funciones K(C) de C sobre K es el campo de fracciones de K[C] , y el campo de funciones de C sobre es el campo de fracciones de . Los elementos de se llaman funciones racionales sobre C . Para R una función racional de este tipo, y P un punto finito sobre C , se dice que R está definido en P si existen funciones polinómicas G, H tales que R = G/H y H(P) ≠ 0 , y entonces el valor de R en P es ${\displaystyle {\overline {K}}(C)}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle {\overline {K}}[C]}$ ${\displaystyle {\overline {K}}(C)}$

${\displaystyle R(P)=G(P)/H(P).}$

Para P un punto en C que no es finito, es decir P = , definimos R(P) como: ${\displaystyle O}$

Si entonces , es decir, R tiene un cero en O. ${\displaystyle \deg(G)<\deg(H)}$  ${\displaystyle R(O)=0}$

Si entonces no está definido, es decir, R tiene un polo en O. ${\displaystyle \deg(G)>\deg(H)}$  ${\displaystyle R(O)}$ 

Si entonces es la relación de los coeficientes principales de G y H. ${\displaystyle \deg(G)=\deg(H)}$  ${\displaystyle R(O)}$ 

Para y , ${\displaystyle R\in {\overline {K}}(C)^{*}}$ ${\displaystyle P\in C}$

Si entonces se dice que R tiene un cero en P , ${\displaystyle R(P)=0}$

Si R no está definido en P entonces se dice que R tiene un polo en P , y escribimos . ${\displaystyle R(P)=\infty }$

Orden de una función polinómica en un punto

Para y , el orden de G en P se define como: ${\displaystyle G=u(x)-v(x)\cdot y\in {\overline {K}}[C]^{2}}$ ${\displaystyle P\in C}$

${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(G)=r+s}$si P = ( a , b ) es un punto finito que no es Weierstrass. Aquí r es la potencia más alta de ( x − a ) que divide tanto a u ( x ) como a v ( x ) . Escribe G ( x , y ) = ( x − a ) ^r ( u ₀ ( x ) − v ₀ ( x ) y ) y si u ₀ ( a ) − v ₀ ( a ) b = 0 , entonces s es la potencia más alta de ( x − a ) que divide a N ( u ₀ ( x ) − v ₀ ( x ) y ) = u ₀ ² + u ₀ v ₀ h − v ₀ ² f , de lo contrario, s = 0 .

${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(G)=2r+s}$si P = ( a , b ) es un punto de Weierstrass finito, con r y s como arriba.

${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(G)=-\deg(G)}$si P = O .

El divisor y el jacobiano

Para definir el jacobiano, primero necesitamos la noción de divisor. Consideremos una curva hiperelíptica sobre algún cuerpo . Luego definimos un divisor como una suma formal de puntos en , es decir, donde y además es un conjunto finito. Esto significa que un divisor es una suma formal finita de múltiplos escalares de puntos. Nótese que no hay simplificación de dada por un solo punto (como se podría esperar de la analogía con las curvas elípticas). Además, definimos el grado de como . El conjunto de todos los divisores de la curva forma un grupo abeliano donde la adición se define puntualmente de la siguiente manera . Es fácil ver que actúa como el elemento identidad y que el inverso de es igual a . El conjunto de todos los divisores de grado 0 se puede verificar fácilmente como un subgrupo de . Demostración . Consideremos la función definida por , observe que forma un grupo bajo la adición habitual. Entonces y por lo tanto es un homomorfismo de grupo . Ahora, es el núcleo de este homomorfismo y por lo tanto es un subgrupo de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\textstyle D=\sum _{P\in C}{c_{P}[P]}}$ ${\displaystyle c_{P}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{c_{P}\mid c_{P}\neq 0\}}$ ${\displaystyle c_{P}[P]}$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle \deg(D)=\sum _{P\in C}{c_{P}}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {Div} (C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\textstyle \sum _{P\in C}{c_{P}[P]}+\sum _{P\in C}{d_{P}[P]}=\sum _{P\in C}{(c_{P}+d_{P})[P]}}$ ${\textstyle 0=\sum _{P\in C}{0[P]}}$ ${\textstyle \sum _{P\in C}{c_{P}[P]}}$ ${\textstyle \sum _{P\in C}{-c_{P}[P]}}$ ${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(C)=\{D\in \mathrm {Div} (C)\mid \deg(D)=0\}}$ ${\displaystyle \mathrm {Div} (C)}$
${\displaystyle \varphi :\mathrm {Div} (C)\rightarrow \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \varphi (D)=\deg(D)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\textstyle \varphi (\sum _{P\in C}{c_{P}[P]}+\sum _{P\in C}{d_{P}[P]})=\varphi (\sum _{P\in C}{(c_{P}+d_{P})[P]})=\sum _{P\in C}{c_{P}+d_{P}}=\sum _{P\in C}{c_{p}}+\sum _{P\in C}{d_{p}}=\varphi (\sum _{P\in C}{c_{P}[P]})+\varphi (\sum _{P\in C}{d_{P}[P]})}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(C)}$ ${\displaystyle \mathrm {Div} (C)}$

Consideremos una función , entonces podemos observar la suma formal div . Aquí denota el orden de en . Tenemos que ord si tiene un polo de orden en , si está definido y no es cero en y si tiene un cero de orden en . ^[1] Se puede demostrar que tiene solo un número finito de ceros y polos, ^[2] y, por lo tanto, solo un número finito de los ord son distintos de cero. Esto implica que div es un divisor. Además, como , ^[2] es el caso de que es un divisor de grado 0. Dichos divisores, es decir, divisores que provienen de alguna función racional , se denominan divisores principales y el conjunto de todos los divisores principales es un subgrupo de . Demostración . El elemento identidad proviene de una función constante que no es cero. Supongamos que son dos divisores principales que provienen de y respectivamente. Entonces proviene de la función , y, por lo tanto, también es un divisor principal. Concluimos que es cerrado bajo la adición y las inversas, lo que lo convierte en un subgrupo. ${\displaystyle f\in {\overline {K}}(C)^{*}}$ ${\textstyle (f)=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(f)[P]}}$ ${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle _{P}(f)<0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle -\mathrm {ord} _{P}(f)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {ord} _{P}(f)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle _{P}(f)}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\textstyle \sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(f)}=0}$ ${\displaystyle \operatorname {div} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {Princ} (C)}$ ${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(C)}$
${\textstyle 0=\sum _{P\in C}{0[P]}}$ ${\textstyle D_{1}=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(f)[P]},D_{2}=\sum _{P\in C}{\mathrm {ord} _{P}(g)[P]}\in \mathrm {Princ} (C)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\textstyle D_{1}-D_{2}=\sum _{P\in C}{(\mathrm {ord} _{P}(f)-\mathrm {ord} _{P}(g))[P]}}$ ${\displaystyle f/g}$ ${\displaystyle D_{1}-D_{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Princ} (C)}$

Ahora podemos definir el grupo cociente que se llama jacobiano o grupo de Picard de . Dos divisores se llaman equivalentes si pertenecen al mismo elemento de , este es el caso si y solo si es un divisor principal. Consideremos, por ejemplo, una curva hiperelíptica sobre un cuerpo y un punto en . Para la función racional tiene un cero de orden tanto en como como y tiene un polo de orden en . Por lo tanto, encontramos y podemos simplificar esto a si es un punto de Weierstrass. ${\displaystyle J(C):=\mathrm {Div} ^{0}(C)/\mathrm {Princ} (C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D_{1},D_{2}\in \mathrm {Div} ^{0}(C)}$ ${\displaystyle J(C)}$ ${\displaystyle D_{1}-D_{2}}$ ${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P=(a,b)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{>0}}$ ${\displaystyle f(x)=(x-a)^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {P}}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \operatorname {div} (f)=nP+n{\overline {P}}-2nO}$ ${\displaystyle \operatorname {div} (f)=2nP-2nO}$ ${\displaystyle P}$

Ejemplo: el jacobiano de una curva elíptica

Para las curvas elípticas, el jacobiano resulta ser simplemente isomorfo al grupo habitual en el conjunto de puntos de esta curva, esto es básicamente un corolario del teorema de Abel-Jacobi . Para ver esto, considere una curva elíptica sobre un cuerpo . El primer paso es relacionar un divisor con cada punto de la curva. A un punto en asociamos el divisor , en particular en vinculado al elemento identidad . De manera sencilla, ahora podemos relacionar un elemento de con cada punto al vincularlo con la clase de , denotada por . Entonces, el mapa del grupo de puntos en al jacobiano de definido por es un homomorfismo de grupo. Esto se puede mostrar observando tres puntos en sumando hasta , es decir, tomamos con o . Ahora relacionamos la ley de adición en el jacobiano con la ley del grupo geométrico en curvas elípticas. Sumar y geométricamente significa dibujar una línea recta a través de y , esta línea interseca la curva en otro punto. Luego definimos como el opuesto de este punto. Por lo tanto, en el caso de que tengamos que estos tres puntos son colineales, entonces existe alguna función lineal tal que , y satisface . Ahora, que es el elemento identidad de como es el divisor en la función racional y por lo tanto es un divisor principal. Concluimos que . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle D_{P}=1[P]-1[O]}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O-O=0}$ ${\displaystyle J(E)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle D_{P}}$ ${\displaystyle [D_{P}]}$ ${\displaystyle \varphi :E\to J(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi (P)=[D_{P}]}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P,Q,R\in E}$ ${\displaystyle P+Q+R=O}$ ${\displaystyle P+Q=-R}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P+Q}$ ${\displaystyle P+Q+R=O}$ ${\displaystyle f\in K[x,y]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(x,y)=0}$ ${\displaystyle \varphi (P)+\varphi (Q)+\varphi (R)=[D_{P}]+[D_{Q}]+[D_{R}]=[[P]+[Q]+[R]-3[O]]}$ ${\displaystyle J(E)}$ ${\displaystyle [P]+[Q]+[R]-3[O]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi (P)+\varphi (Q)+\varphi (R)=\varphi (O)=\varphi (P+Q+R)}$

El teorema de Abel-Jacobi establece que un divisor es principal si y solo si tiene grado 0 y bajo la ley de adición usual para puntos en curvas cúbicas. Como dos divisores son equivalentes si y solo si es principal, concluimos que y son equivalentes si y solo si . Ahora, cada divisor no trivial de grado 0 es equivalente a un divisor de la forma , esto implica que hemos encontrado una forma de atribuir un punto en a cada clase . Es decir, a atribuimos el punto . Esta aplicación se extiende al elemento neutro 0 que se asigna a . Como tal, la aplicación definida por es la inversa de . Por lo que es de hecho un isomorfismo de grupo , lo que demuestra que y son isomorfos. ${\textstyle D=\sum _{P\in E}{c_{P}[P]}}$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle \sum _{P\in E}{c_{P}P}=O}$ ${\displaystyle D_{1},D_{2}\in \mathrm {Div} ^{0}(E)}$ ${\displaystyle D_{1}-D_{2}}$ ${\textstyle D_{1}=\sum _{P\in E}{c_{P}[P]}}$ ${\textstyle D_{2}=\sum _{P\in E}{d_{P}[P]}}$ ${\textstyle \sum _{P\in E}{c_{P}P}=\sum _{P\in E}{d_{P}P}}$ ${\displaystyle [P]-[O]}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [D_{P}]}$ ${\displaystyle [D_{P}]=[1[P]-1[O]]}$ ${\displaystyle (P-O)+O=P}$ ${\displaystyle 0+O=O}$ ${\displaystyle \psi :J(E)\rightarrow E}$ ${\displaystyle \psi ([D_{P}])=P}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle J(E)}$

El jacobiano de una curva hiperelíptica

El caso hiperelíptico general es un poco más complicado. Consideremos una curva hiperelíptica de género sobre un cuerpo . Un divisor de se llama reducido si tiene la forma donde , para todos y para . Nótese que un divisor reducido siempre tiene grado 0, también es posible que si , pero solo si no es un punto de Weierstrass. Se puede demostrar que para cada divisor hay un divisor reducido único tal que es equivalente a . ^[3] Por lo tanto, cada clase del grupo del cociente tiene precisamente un divisor reducido. En lugar de mirar podemos mirar el conjunto de todos los divisores reducidos. ${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\textstyle D=\sum _{i=1}^{k}{[P_{i}]}-k[O]}$ ${\displaystyle k\leq g}$ ${\displaystyle P_{i}\not =O}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,k}$ ${\displaystyle P_{i}\not ={\overline {P_{j}}}}$ ${\displaystyle i\not =j}$ ${\displaystyle P_{i}=P_{j}}$ ${\displaystyle i\not =j}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle D\in \mathrm {Div} ^{0}(C)}$ ${\displaystyle D'}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D'}$ ${\displaystyle J(C)}$ ${\displaystyle J(C)}$

Divisores reducidos y su representación Mumford

Una forma conveniente de ver los divisores reducidos es a través de su representación Mumford. Un divisor en esta representación consiste en un par de polinomios tales que es mónico, y . Cada divisor reducido no trivial puede representarse por un par único de tales polinomios. Esto se puede ver al factorizar que se puede hacer como tal como es mónico. La última condición en y luego implica que el punto se encuentra en para cada . Por lo tanto , es un divisor y de hecho se puede demostrar que es un divisor reducido. Por ejemplo, la condición asegura que . Esto da la correspondencia 1-1 entre divisores reducidos y divisores en representación Mumford. Como ejemplo, es el divisor reducido único que pertenece al elemento identidad de . Su representación Mumford es y . Ir y venir entre divisores reducidos y su representación Mumford ahora es una tarea fácil. Por ejemplo, considere la curva hiperelíptica de género 2 sobre los números reales. Podemos encontrar los siguientes puntos en la curva , y . Luego podemos definir divisores reducidos y . La representación de Mumford de consiste en polinomios y con y sabemos que las primeras coordenadas de y , es decir, 1 y 3, deben ser ceros de . Por lo tanto, tenemos . Como y debe ser el caso de que y y por lo tanto tiene grado 1. Hay exactamente un polinomio de grado 1 con estas propiedades, a saber . Por lo tanto, la representación de Mumford de es y . De manera similar, podemos encontrar la representación de Mumford de , tenemos y . Si aparece un punto con multiplicidad n , el polinomio v debe satisfacer para . ${\displaystyle u,v\in K[x]}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \deg(v)<\deg(u)\leq g}$ ${\displaystyle u|v^{2}+vh-f}$ ${\textstyle u(x)=\prod _{i=1}^{k}{(x-x_{i})}}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},v(x_{i}))}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle i=1,...,k}$ ${\textstyle D=\sum _{i=1}^{k}{[P_{i}]}-k[O]}$ ${\displaystyle \deg(u)\leq g}$ ${\displaystyle k\leq g}$ ${\textstyle 0=\sum _{P\in C}{0[P]}}$ ${\displaystyle J(C)}$ ${\displaystyle u(x)=1}$ ${\displaystyle v(x)=0}$ ${\displaystyle C:y^{2}=x^{5}-4x^{4}-14x^{3}+36x^{2}+45x=x(x+1)(x-3)(x+3)(x-5)}$ ${\displaystyle P=(1,8)}$ ${\displaystyle Q=(3,0)}$ ${\displaystyle R=(5,0)}$ ${\displaystyle D=[P]+[Q]-2[O]}$ ${\displaystyle D'=[P]+[R]-2[O]}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \deg(v)<\deg(u)\leq g=2}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u(x)=(x-1)(x-3)=x^{2}-4x+3}$ ${\displaystyle P=(1,v(1))}$ ${\displaystyle Q=(3,v(3))}$ ${\displaystyle v(1)=8}$ ${\displaystyle v(3)=0}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v(x)=-4x+12}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u(x)=x^{2}-4x+3}$ ${\displaystyle v(x)=-4x+12}$ ${\displaystyle (u',v')}$ ${\displaystyle D'}$ ${\displaystyle u'(x)=(x-1)(x-5)=x^{2}-6x+5}$ ${\displaystyle v(x)=-2x+10}$ ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$ ${\textstyle \left.\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}\left[v(x)^{2}+v(x)h(x)-f(x)\right]\right|_{x=x_{i}}=0}$ ${\displaystyle 0\leq j\leq n_{i}-1}$

Algoritmo de Cantor

Existe un algoritmo que toma dos divisores reducidos y en su representación Mumford y produce el único divisor reducido , nuevamente en su representación Mumford, tal que es equivalente a . ^[4] Como cada elemento del jacobiano puede representarse por el divisor reducido que contiene, el algoritmo permite realizar la operación de grupo en estos divisores reducidos dados en su representación Mumford. El algoritmo fue desarrollado originalmente por David G. Cantor (que no debe confundirse con Georg Cantor ), lo que explica el nombre del algoritmo. Cantor solo miró el caso , el caso general se debe a Koblitz . La entrada son dos divisores reducidos y en su representación Mumford de la curva hiperelíptica de género sobre el cuerpo . El algoritmo funciona de la siguiente manera ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{1}+D_{2}}$ ${\displaystyle h(x)=0}$ ${\displaystyle D_{1}=(u_{1},v_{1})}$ ${\displaystyle D_{2}=(u_{2},v_{2})}$ ${\displaystyle C:y^{2}+h(x)y=f(x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K}$

1. Utilizando el algoritmo euclidiano extendido calcule los polinomios tales que y . ${\displaystyle d_{1},e_{1},e_{2}\in K[x]}$ ${\displaystyle d_{1}=\gcd(u_{1},u_{2})}$ ${\displaystyle d_{1}=e_{1}u_{1}+e_{2}u_{2}}$
2. Nuevamente con el uso del algoritmo euclidiano extendido calcule los polinomios con y . ${\displaystyle d,c_{1},c_{2}\in K[x]}$ ${\displaystyle d=\gcd(d_{1},v_{1}+v_{2}+h)}$ ${\displaystyle d=c_{1}d_{1}+c_{2}(v_{1}+v_{2}+h)}$
3. Ponga , y , lo que da . ${\displaystyle s_{1}=c_{1}e_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}=c_{1}e_{2}}$ ${\displaystyle s_{3}=c_{2}}$ ${\displaystyle d=s_{1}u_{1}+s_{2}u_{2}+s_{3}(v_{1}+v_{2}+h)}$
4. Establecer y . ${\displaystyle u={\frac {u_{1}u_{2}}{d^{2}}}}$ ${\displaystyle v={\frac {s_{1}u_{1}v_{2}+s_{2}u_{2}v_{1}+s_{3}(v_{1}v_{2}+f)}{d}}\mod u}$
5. Establecer y . ${\displaystyle u'={\frac {f-vh-v^{2}}{u}}}$ ${\displaystyle v'=-h-v\mod u'}$
6. Si , entonces configure y repita el paso 5 hasta que . ${\displaystyle \deg(u')>g}$ ${\displaystyle u=u'}$ ${\displaystyle v=v'}$ ${\displaystyle \deg(u')\leq g}$
7. Haz monic dividiéndolo por su coeficiente principal. ${\displaystyle u'}$
8. Producción . ${\displaystyle D=(u',v')}$

La prueba de que el algoritmo es correcto se puede encontrar en ^{[5] .}

Ejemplo

Como ejemplo, considere la curva

${\displaystyle C:y^{2}=x^{5}-4x^{4}-14x^{3}+36x^{2}+45x=x(x+1)(x-3)(x+3)(x-5)}$

del género 2 sobre los números reales. Para los puntos

${\displaystyle P=(1,8)}$, y ${\displaystyle Q=(3,0)}$ ${\displaystyle R=(5,0)}$

y los divisores reducidos

${\displaystyle D_{1}=[P]+[Q]-2[O]}$y ${\displaystyle D_{2}=[P]+[R]-2[O]}$

Nosotros sabemos que

${\displaystyle (u_{1}=x^{2}-4x+3,v_{1}=-4x+12)}$, y

${\displaystyle (u_{2}=x^{2}-6x+5,v_{2}=-2x+10)}$

son las representaciones de Mumford de y respectivamente. ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$

Podemos calcular su suma utilizando el algoritmo de Cantor. Comenzamos calculando

${\displaystyle d_{1}=\gcd(u_{1},u_{2})=x-1}$, y

${\displaystyle d_{1}=e_{1}u_{1}+e_{2}u_{2}}$

para , y . ${\displaystyle e_{1}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle e_{2}=-{\frac {1}{2}}}$

En el segundo paso encontramos

${\displaystyle d=\gcd(d_{1},v_{1}+v_{2}+h)=\gcd(x-1,-6x+22)=1}$y

${\displaystyle 1=c_{1}d_{1}+c_{2}(v_{1}+v_{2}+h)}$

para y . ${\displaystyle c_{1}={\frac {3}{8}}}$ ${\displaystyle c_{2}={\frac {1}{16}}}$

Ahora podemos calcular

${\displaystyle s_{1}=c_{1}e_{1}={\frac {3}{16}}}$,

${\displaystyle s_{2}=c_{1}e_{2}=-{\frac {3}{16}}}$y

${\displaystyle s_{3}=c_{2}={\frac {1}{16}}}$.

Entonces

${\displaystyle u={\frac {u_{1}u_{2}}{d^{2}}}=u_{1}u_{2}=x^{4}-10x^{3}+32x^{2}-38x+15}$y

${\displaystyle {\begin{aligned}v&={\frac {s_{1}u_{1}v_{2}+s_{2}u_{2}v_{1}+s_{3}(v_{1}v_{2}+f)}{d}}\mod u\\&={\frac {1}{16}}(x^{5}-4x^{4}-8x^{3}-10x^{2}+119x+30)\mod u\\&={\frac {1}{4}}(5x^{3}-41x^{2}+83x-15).\end{aligned}}}$

Por último encontramos

${\displaystyle u'={\frac {f-v^{2}}{u}}={\frac {1}{16}}(-25x^{2}+176x-15)}$y

${\displaystyle v'=-v\mod u'=-{\frac {72}{125}}(17x-5)}$.

Luego de hacer monic concluimos que ${\displaystyle u'}$

${\displaystyle D=(-25x^{2}+176x-15,-{\frac {72}{125}}(17x-5))}$

es equivalente a . ${\displaystyle D_{1}+D_{2}}$

Más sobre el algoritmo de Cantor

El algoritmo de Cantor que se presenta aquí tiene una forma general, es válido para curvas hiperelípticas de cualquier género y sobre cualquier cuerpo. Sin embargo, el algoritmo no es muy eficiente. Por ejemplo, requiere el uso del algoritmo euclidiano extendido. Si fijamos el género de la curva o la característica del cuerpo (o ambos), podemos hacer que el algoritmo sea más eficiente. Para algunos casos especiales incluso obtenemos fórmulas explícitas de adición y duplicación que son muy rápidas. Por ejemplo, existen fórmulas explícitas para curvas hiperelípticas de género 2 ^{[6] [7]} y género 3.

Para las curvas hiperelípticas también es bastante fácil visualizar la suma de dos divisores reducidos. Supongamos que tenemos una curva hiperelíptica de género 2 sobre los números reales de la forma

${\displaystyle C:y^{2}=f(x)}$

y dos divisores reducidos

${\displaystyle D_{1}=[P]+[Q]-2[O]}$y

${\displaystyle D_{2}=[R]+[S]-2[O]}$.

Supongamos que

${\displaystyle P,Q\not ={\overline {R}},{\overline {S}}}$,

Este caso debe tratarse por separado. Hay exactamente 1 polinomio cúbico.

${\displaystyle a(x)=a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}}$

Pasando por los cuatro puntos

${\displaystyle P,Q,R,S}$.

Nótese aquí que podría ser posible que, por ejemplo , , por lo tanto, debemos tener en cuenta las multiplicidades . Al poner encontramos que ${\displaystyle P=Q}$ ${\displaystyle y=a(x)}$

${\displaystyle y^{2}=f(x)=a^{2}(x)}$

y por lo tanto

${\displaystyle f(x)-a^{2}(x)=0}$.

Como es un polinomio de grado 6, tenemos que tiene seis ceros y por lo tanto tiene además dos puntos de intersección más con , llamémoslos y , con . Ahora, son puntos de intersección de con una curva algebraica. Por lo tanto sabemos que el divisor ${\displaystyle f(x)-a^{2}(x)}$ ${\displaystyle f(x)-a^{2}(x)}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle P,Q,R,S}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T\not ={\overline {U}}}$ ${\displaystyle P,Q,R,S,T,U}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle D=[P]+[Q]+[R]+[S]+[T]+[U]-6[O]}$

es principal lo que implica que el divisor

${\displaystyle [P]+[Q]+[R]+[S]-4[O]}$

es equivalente al divisor

${\displaystyle -([T]+[U]-2[O])}$.

Además, el divisor

${\displaystyle [P]+[{\overline {P}}]-2[O]}$

es principal para cada punto en ya que proviene de la función racional . Esto da que y son equivalentes. Combinando estas dos propiedades concluimos que ${\displaystyle P=(a,b)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle b(x)=x-a}$ ${\displaystyle -([P]-[O])}$ ${\displaystyle [{\overline {P}}]-[O]}$

${\displaystyle D_{1}+D_{2}=([P]+[Q]-2[O])+([R]+[S]-2[O])}$

es equivalente al divisor reducido

${\displaystyle [{\overline {T}}]+[{\overline {U}}]-2[O]}$.

En una imagen esto se parece a la Figura 2. Es posible calcular explícitamente los coeficientes de , de esta manera podemos llegar a fórmulas explícitas para sumar dos divisores reducidos. ${\displaystyle a(x)}$

Figura 2: Ejemplo de adición de dos elementos del jacobiano

Referencias

1. Isabelle Déchène, El grupo Picard, o cómo construir un grupo a partir de un conjunto
2. Menezes, Alfred J.; Wu, Yi-Hong; Zuccherato, Robert J. (7 de noviembre de 1996). "Una introducción elemental a las curvas hiperelípticas" (PDF) . p. 15. Consultado el 28 de junio de 2024 .
3. Menezes, Wu y Zuccherato 1996, pág. 20.
4. Menezes, Wu y Zuccherato 1996, págs. 22-27.
5. Cantor, David G. (1987). "Computación en el jacobiano de una curva hiperelíptica". Matemáticas de la computación . 48 (177): 95–101. doi : 10.1090/S0025-5718-1987-0866101-0 .
6. Frank Leitenberger, Acerca de la ley de grupo para la variedad de Jacobi de una curva hiperelíptica
7. T. Lange (2005). "Fórmulas para la aritmética en curvas hiperelípticas del género $2$". Álgebra aplicable en ingeniería, comunicación y computación . 15 (5): 295–328. CiteSeerX 10.1.1.109.578 . doi :10.1007/s00200-004-0154-8.