Método de red de vórtices

Simulación de un avión utilizando Open VOGEL, un marco de código abierto para simulaciones aerodinámicas basado en UVLM.

El método de red de vórtices (VLM) es un método numérico utilizado en dinámica de fluidos computacional , principalmente en las primeras etapas del diseño de aeronaves y en la educación aerodinámica a nivel universitario. El VLM modela las superficies sustentadoras, como un ala , de una aeronave como una lámina infinitamente delgada de vórtices discretos para calcular la sustentación y la resistencia inducida . Se descuida la influencia del espesor y la viscosidad .

Los VLM pueden calcular el flujo alrededor de un ala con una definición geométrica rudimentaria. Para un ala rectangular, basta con conocer la envergadura y la cuerda. Por otro lado, pueden describir el flujo alrededor de una geometría de aeronave bastante compleja (con múltiples superficies sustentadoras con conicidad, torsiones, curvaturas, comba, superficies de control del borde de salida y muchas otras características geométricas).

Simulando el campo de flujo, se puede extraer la distribución de presión o, como en el caso del VLM, la distribución de fuerza, alrededor del cuerpo simulado. Este conocimiento se utiliza luego para calcular los coeficientes aerodinámicos y sus derivados que son importantes para evaluar las cualidades de manejo de la aeronave en la fase de diseño conceptual. Con una estimación inicial de la distribución de presión en el ala, los diseñadores estructurales pueden comenzar a diseñar las partes que soportan la carga de las alas, la aleta y el plano de cola y otras superficies sustentadoras. Además, aunque el VLM no puede calcular la resistencia viscosa, se puede estimar la resistencia inducida que surge de la producción de sustentación. Por lo tanto, como la resistencia debe equilibrarse con el empuje en la configuración de crucero, el grupo de propulsión también puede obtener datos importantes de la simulación VLM.

Antecedentes históricos

John DeYoung proporciona una historia de fondo del VLM en la documentación del taller de la NASA Langley SP-405. ^[1]

El VLM es la extensión de la teoría de líneas de sustentación de Prandtl , ^[2] donde el ala de un avión se modela como un número infinito de vórtices de herradura . El nombre fue acuñado por VM Falkner en su artículo del Consejo de Investigación Aeronáutica de 1946. ^[3] Desde entonces, el método ha sido desarrollado y refinado por WP Jones, H. Schlichting, GN Ward y otros.

Aunque los cálculos necesarios se pueden realizar a mano, el VLM se benefició de la llegada de las computadoras para la gran cantidad de cálculos que se requieren.

En lugar de un solo vórtice en forma de herradura por ala, como en la teoría de la línea de sustentación , el VLM utiliza una red de vórtices en forma de herradura, como lo describió Falkner en su primer artículo sobre este tema en 1943. ^[4] La cantidad de vórtices utilizados varía con la resolución de distribución de presión requerida y con la precisión requerida en los coeficientes aerodinámicos calculados. Una cantidad típica de vórtices sería de alrededor de 100 para un ala de avión completa; un informe del Consejo de Investigación Aeronáutica de Falkner publicado en 1949 menciona el uso de una "red de 84 vórtices antes de la estandarización de la red de 126" (p. 4). ^[5]

El método se describe de forma comprensible en todos los libros de texto de aerodinámica más importantes, como Katz & Plotkin, ^[6] Anderson, ^[7] Bertin & Smith ^[8] Houghton & Carpenter ^[9] o Drela, ^[10].

Teoría

El método de la red de vórtices se basa en la teoría del flujo ideal, también conocido como flujo potencial . El flujo ideal es una simplificación del flujo real que se experimenta en la naturaleza; sin embargo, para muchas aplicaciones de ingeniería, esta representación simplificada tiene todas las propiedades que son importantes desde el punto de vista de la ingeniería. Este método ignora todos los efectos viscosos. La turbulencia, la disipación y las capas límite no se resuelven en absoluto. Sin embargo, se puede evaluar la resistencia inducida por la sustentación y, teniendo especial cuidado, se pueden modelar algunos fenómenos de pérdida de sustentación.

Supuestos

En relación con el problema del método de red de vórtices se hacen las siguientes suposiciones:

• El campo de flujo es incompresible , no viscoso e irrotacional . Sin embargo, el flujo compresible subsónico con pequeñas perturbaciones se puede modelar si se incorpora al método la transformación general 3D de Prandtl-Glauert .
• Las superficies de sustentación son delgadas. Se desprecia la influencia del espesor en las fuerzas aerodinámicas.
• Tanto el ángulo de ataque como el ángulo de deslizamiento son pequeños, ángulos de aproximación pequeños .

Método

Según los supuestos anteriores, el campo de flujo es un campo vectorial conservativo , lo que significa que existe un potencial de velocidad de perturbación tal que el vector de velocidad total está dado por ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} _{\infty }+\nabla \varphi }$

y que satisface la ecuación de Laplace . ${\displaystyle \varphi }$

La ecuación de Laplace es una ecuación lineal de segundo orden, y como tal está sujeta al principio de superposición. Lo que significa que si y son dos soluciones de la ecuación diferencial lineal, entonces la combinación lineal también es una solución para cualquier valor de las constantes y . Como Anderson ^[7] lo expresó, "Un patrón de flujo complicado para un flujo irrotacional e incompresible se puede sintetizar sumando una serie de flujos elementales, que también son irrotacionales e incompresibles". Dichos flujos elementales son la fuente o sumidero puntual , el doblete y la línea de vórtice , cada uno de los cuales es una solución de la ecuación de Laplace. Estos se pueden superponer de muchas maneras para crear la formación de fuentes lineales, láminas de vórtices , etc. En el método de red de vórtices, cada uno de estos flujos elementales es el campo de velocidad de un vórtice de herradura con cierta fuerza . ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\displaystyle c_{1}\varphi _{1}+c_{2}\varphi _{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Modelo de avión

Todas las superficies sustentadoras de una aeronave se dividen en una serie de paneles cuadriláteros y en cada uno de ellos se coloca un vórtice en forma de herradura y un punto de colocación (o punto de control). El segmento transversal del vórtice se encuentra en la posición de 1/4 de la cuerda del panel, mientras que el punto de colocación se encuentra en la posición de 3/4 de la cuerda. Se debe determinar la intensidad del vórtice. También se coloca un vector normal en cada punto de colocación, que se establece de forma normal a la superficie de comba de la superficie sustentadora real. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Para un problema con paneles, la velocidad de perturbación en el punto de colocación se da sumando las contribuciones de todos los vórtices de herradura en términos de una matriz de coeficiente de influencia aerodinámica (AIC) . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbf {w} _{ij}}$

${\displaystyle \nabla \varphi _{i}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {w} _{ij}\Gamma _{j}}$

El vector de velocidad de corriente libre se da en términos de la velocidad de corriente libre y los ángulos de ataque y deslizamiento lateral, . ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$

${\displaystyle \mathbf {V} _{\infty }=V_{\infty }{\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta \\-\sin \beta \\\sin \alpha \cos \beta \end{bmatrix}}}$

En cada punto de colocación se aplica una condición de contorno de Neumann que establece que la velocidad normal a lo largo de la superficie de comba es cero. Las implementaciones alternativas también pueden utilizar la condición de contorno de Dirichlet directamente sobre el potencial de velocidad .

${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {n} _{i}=\left(\mathbf {V} _{\infty }+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {w} _{ij}\Gamma _{j}\right)\cdot \mathbf {n} _{i}=0}$

Esto también se conoce como condición de tangencia de flujo. Al evaluar los productos escalares anteriores, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones. La nueva matriz AIC de lavado normal es , y el lado derecho está formado por la velocidad de flujo libre y los dos ángulos aerodinámicos. ${\displaystyle a_{ij}=\mathbf {w} _{ij}\cdot \mathbf {n} _{i}}$ ${\displaystyle b_{i}=V_{\infty }[-\cos \alpha \cos \beta ,\sin \beta ,-\sin \alpha \cos \beta ]\cdot \mathbf {n} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1N}\\a_{21}&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\a_{N1}&\cdots &\cdots &a_{NN}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Gamma _{1}\\\Gamma _{2}\\\vdots \\\Gamma _{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{N}\end{bmatrix}}}$

Este sistema de ecuaciones se resuelve para todas las intensidades de vórtices . Luego, el vector de fuerza total y el vector de momento total respecto del origen se calculan sumando las contribuciones de todas las fuerzas en todos los vórtices individuales en forma de herradura, siendo α la densidad del fluido. ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\rho \Gamma _{i}(\mathbf {V} _{\infty }+\mathbf {v} _{i})\times \mathbf {l} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}\times \mathbf {r} _{i}}$

Aquí, está el vector del segmento transversal del vórtice y es la velocidad de perturbación en la ubicación central de este segmento (no en el punto de colocación). ${\displaystyle \mathbf {l} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

La sustentación y la resistencia inducida se obtienen a partir de los componentes del vector de fuerza total . Para el caso de deslizamiento lateral cero, estos se dan por ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}D_{i}&=&\;\;F_{x}\cos \alpha +F_{z}\sin \alpha \\L&=&\!-F_{x}\sin \alpha +F_{z}\cos \alpha \end{array}}}$

Extensión al caso dinámico

El diseño preliminar de aviones requiere modelos aerodinámicos inestables, generalmente escritos en el dominio de la frecuencia para análisis aeroelásticos. El método de red de dobletes se utiliza comúnmente, donde el sistema de alas se subdivide en paneles. Cada panel tiene una línea de dobletes de potencial de aceleración en la línea del primer cuarto, de manera similar a lo que se hace habitualmente en el método de red de vórtices. Cada panel tiene un punto de carga donde se supone que se aplica la fuerza de sustentación y un punto de control donde se aplica la condición de contorno aeroelástica. El método de red de dobletes evaluado en frecuencia cero se obtiene generalmente con una formulación de red de vórtices.

Referencias

1. NASA, Utilización de redes de vórtices . NASA SP-405, NASA-Langley, Washington, 1976.
2. Prandtl. L, Aplicaciones de la hidrodinámica moderna a la aeronáutica , NACA-TR-116, NASA, 1923.
3. Falkner. VM, La precisión de los cálculos basados ​​en la teoría de redes de vórtices , Rep. No. 9621, British ARC, 1946.
4. Falkner. VM, Los cálculos de carga aerodinámica en superficies de cualquier forma , R&M 1910, British ARC, 1943.
5. Falkner. VM, Una comparación de dos métodos para calcular la carga alar con margen para la compresibilidad , R&M 2685, British ARC, 1949.
6. J. Katz, A. Plotkin, Aerodinámica de baja velocidad, 2.ª ed., Cambridge University Press , Cambridge, 2001.
7. JD Anderson Jr, Fundamentos de la aerodinámica , 2.ª ed., McGraw-Hill Inc, 1991.
8. JJ Bertin, ML Smith, Aerodinámica para ingenieros , 3.ª ed., Prentice Hall, Nueva Jersey, 1998.
9. EL Houghton, PW Carpenter, Aerodinámica para estudiantes de ingeniería , 4.ª ed., Edward Arnold, Londres, 1993.
10. M. Drela, Aerodinámica de vehículos de vuelo, MIT Press , Cambridge, MA, 2014.

Enlaces externos

• http://web.mit.edu/drela/Public/web/avl/
• https://github.com/OpenVOGEL

Fuentes

• NASA, Utilización de redes de vórtices . NASA SP-405, NASA-Langley, Washington, 1976.
• Prandtl. L, Aplicaciones de la hidrodinámica moderna a la aeronáutica , NACA-TR-116, NASA, 1923.
• Falkner, VM, La precisión de los cálculos basados ​​en la teoría de redes de vórtices , Rep. No. 9621, British ARC, 1946.
• J. Katz, A. Plotkin, Aerodinámica de baja velocidad, 2.ª ed., Cambridge University Press , Cambridge, 2001.
• JD Anderson Jr, Fundamentos de aerodinámica , 2.a ed., McGraw-Hill Inc, 1991.
• JJ Bertin, ML Smith, Aerodinámica para ingenieros , 3.ª ed., Prentice Hall, Nueva Jersey, 1998.
• EL Houghton, PW Carpenter, Aerodinámica para estudiantes de ingeniería , 4ª ed., Edward Arnold, Londres, 1993.
• Lamar, JE, Herbert, HE, Versión de producción del programa informático FORTRAN de red de vórtices de la NASA-Langley ampliado. Volumen 1: Guía del usuario , NASA-TM-83303, NASA, 1982
• Lamar, JE, Herbert, HE, Versión de producción del programa informático FORTRAN de red de vórtices de la NASA-Langley ampliado. Volumen 2: Código fuente , NASA-TM-83304, NASA, 1982
• Melin, Thomas, Implementación de MATLAB de una red de vórtices para aplicaciones de alas aerodinámicas lineales , Instituto Real de Tecnología (KTH), Suecia, diciembre de 2000
• M. Drela, Aerodinámica de vehículos de vuelo , MIT Press, Cambridge, MA, 2014.