Matriz de Vandermonde

Concepto matemático

En álgebra lineal , una matriz de Vandermonde , llamada así en honor a Alexandre-Théophile Vandermonde , es una matriz con los términos de una progresión geométrica en cada fila: una matriz ${\displaystyle (m+1)\times (n+1)}$

${\displaystyle V=V(x_{0},x_{1},\cdots ,x_{m})={\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}}$

con entradas , la ^potencia j del número , para todos los índices basados ​​en cero y . ^[1] Algunos autores definen la matriz de Vandermonde como la transpuesta de la matriz anterior. ^{[2] [3]} ${\displaystyle V_{i,j}=x_{i}^{j}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

El determinante de una matriz de Vandermonde cuadrada (cuando ) se denomina determinante de Vandermonde o polinomio de Vandermonde . Su valor es: ${\displaystyle n=m}$

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq m}(x_{j}-x_{i}).}$

Esto no es cero si y solo si todos son distintos (no hay dos iguales), lo que hace que la matriz de Vandermonde sea invertible . ${\displaystyle x_{i}}$

Aplicaciones

El problema de interpolación polinómica consiste en encontrar un polinomio que satisfaga para los puntos de datos dados . Este problema se puede reformular en términos de álgebra lineal mediante la matriz de Vandermonde, de la siguiente manera. calcula los valores de en los puntos mediante una multiplicación de matrices , donde es el vector de coeficientes y es el vector de valores (ambos escritos como vectores columna): ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle p(x_{0})=y_{0},\ldots ,p(x_{m})=y_{m}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{m},y_{m})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle x=x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{m}}$ ${\displaystyle Va=y}$ ${\displaystyle a=(a_{0},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle y=(y_{0},\ldots ,y_{m})=(p(x_{0}),\ldots ,p(x_{m}))}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p(x_{0})\\p(x_{1})\\\vdots \\p(x_{m})\end{bmatrix}}.}$$Si y son distintos, entonces V es una matriz cuadrada con determinante distinto de cero, es decir, una matriz invertible . Por lo tanto, dados V e y , se puede encontrar el requerido resolviendo sus coeficientes en la ecuación : ^[4] ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle x_{0},\dots ,\ x_{n}}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Va=y}$

${\displaystyle a=V^{-1}y}$.

Es decir, la función de los coeficientes en los valores de los polinomios es una función lineal biyectiva con la matriz V y el problema de interpolación tiene una solución única. Este resultado se denomina teorema de unisolvencia y es un caso especial del teorema chino del resto para polinomios .

En estadística , la ecuación significa que la matriz de Vandermonde es la matriz de diseño de la regresión polinomial . ${\displaystyle Va=y}$

En el análisis numérico , la solución de la ecuación de forma ingenua mediante eliminación gaussiana da como resultado un algoritmo con complejidad temporal O( n ³ ). Aprovechando la estructura de la matriz de Vandermonde, se puede utilizar el método de diferencias divididas de Newton ^[5] (o la fórmula de interpolación de Lagrange ^{[6] [7]} ) para resolver la ecuación en tiempo O( n ² ), que también da la factorización UL de . El algoritmo resultante produce soluciones extremadamente precisas, incluso si está mal condicionado . ^[2] (Véase interpolación polinómica ). ${\displaystyle Va=y}$ ${\displaystyle V^{-1}}$ ${\displaystyle V}$

El determinante de Vandermonde se utiliza en la teoría de representación del grupo simétrico . ^[8]

Cuando los valores pertenecen a un campo finito , el determinante de Vandermonde también se denomina determinante de Moore y tiene propiedades que son importantes en la teoría de los códigos BCH y los códigos de corrección de errores Reed-Solomon . ${\displaystyle x_{i}}$

La transformada discreta de Fourier se define mediante una matriz de Vandermonde específica, la matriz DFT , donde se eligen como raíces n -ésimas de la unidad . La transformada rápida de Fourier calcula el producto de esta matriz con un vector en el tiempo. ^[9] ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$

En la teoría física del efecto Hall cuántico , el determinante de Vandermonde muestra que la función de onda de Laughlin con factor de llenado 1 es igual a un determinante de Slater . Esto ya no es cierto para factores de llenado distintos de 1 en el efecto Hall cuántico fraccionario .

En la geometría de los poliedros , la matriz de Vandermonde proporciona el volumen normalizado de caras arbitrarias de politopos cíclicos . Específicamente, si es una cara del politopo cíclico correspondiente a , entonces ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F=C_{d}(t_{i_{1}},\dots ,t_{i_{k+1}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C_{d}(T)\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle T=\{t_{1}<\cdots <t_{N}\}\subset \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \mathrm {nvol} (F)={\frac {1}{k!}}\prod _{1\leq m<n\leq k+1}{(t_{i_{n}}-t_{i_{m}})}.}$$

Determinante

El determinante de una matriz cuadrada de Vandermonde se llama polinomio de Vandermonde o determinante de Vandermonde . Su valor es el polinomio

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i})}$

que no es cero si y sólo si todos son distintos. ${\displaystyle x_{i}}$

El determinante de Vandermonde se denominaba anteriormente a veces discriminante , pero en la terminología actual el discriminante de un polinomio es el cuadrado del determinante de Vandermonde de las raíces . El determinante de Vandermonde es una forma alternada en , lo que significa que intercambiar dos cambia el signo y, por lo tanto, depende del orden para . Por el contrario, el discriminante no depende de ningún orden, por lo que la teoría de Galois implica que el discriminante es una función polinómica de los coeficientes de . ${\displaystyle p(x)=(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V)^{2}}$ ${\displaystyle p(x)}$

La fórmula del determinante se demuestra a continuación de tres maneras. La primera utiliza propiedades polinómicas, especialmente la propiedad de factorización única de polinomios multivariados . Aunque conceptualmente es simple, involucra conceptos no elementales de álgebra abstracta . La segunda prueba se basa en los conceptos de álgebra lineal de cambio de base en un espacio vectorial y el determinante de una función lineal . En el proceso, calcula la descomposición LU de la matriz de Vandermonde. La tercera prueba es más elemental pero más complicada, y utiliza solo operaciones elementales de fila y columna .

Primera demostración: Propiedades de los polinomios

La primera prueba se basa en las propiedades de los polinomios.

Por la fórmula de Leibniz , es un polinomio en el , con coeficientes enteros. Todas las entradas de la -ésima columna tienen grado total . Por lo tanto, nuevamente por la fórmula de Leibniz, todos los términos del determinante tienen grado total ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle (i-1)}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle 0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}};}$

(es decir, el determinante es un polinomio homogéneo de este grado).

Si, para , se sustituye por , se obtiene una matriz con dos filas iguales, que tiene, por tanto, un determinante cero. Por lo tanto, considerar el determinante como univariante en el teorema del factor implica que es un divisor de Por lo tanto, se deduce que para todos y , es un divisor de ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i},}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V).}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V).}$

Esto se reforzará ahora para mostrar que el producto de todos esos divisores de es un divisor de En efecto, sea un polinomio con como factor, entonces para algún polinomio Si es otro factor de entonces se vuelve cero después de la sustitución de por Si el factor se vuelve cero después de esta sustitución, ya que el factor permanece distinto de cero. Entonces, por el teorema del factor, divide y divide ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle \det(V).}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$ ${\displaystyle p=(x_{i}-x_{j})\,q,}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle x_{k}-x_{l}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{l}.}$ ${\displaystyle \{x_{i},x_{j}\}\neq \{x_{k},x_{l}\},}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$ ${\displaystyle x_{k}-x_{l}}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle (x_{i}-x_{j})\,(x_{k}-x_{l})}$ ${\displaystyle p.}$

Iterando este proceso partiendo de uno se obtiene que es divisible por el producto de todos con que es ${\displaystyle \det(V),}$ ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}}$ ${\displaystyle i<j;}$

${\displaystyle \det(V)=Q\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}),}$

donde es un polinomio. Como el producto de todos y tienen el mismo grado , el polinomio es, de hecho, una constante. Esta constante es una, porque el producto de las entradas diagonales de es , que es también el monomio que se obtiene al tomar el primer término de todos los factores en Esto demuestra que y termina la prueba. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle n(n+1)/2}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{1}x_{2}^{2}\cdots x_{n}^{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$ ${\displaystyle Q=1,}$

${\displaystyle \det(V)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

Segunda prueba: mapas lineales

Sea F un campo que contiene todos los polinomios y el espacio vectorial F de los polinomios de grado menor o igual a n con coeficientes en F . Sea ${\displaystyle x_{i},}$ ${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \varphi :P_{n}\to F^{n+1}}$

sea ​​el mapa lineal definido por

${\displaystyle p(x)\mapsto (p(x_{0}),p(x_{1}),\ldots ,p(x_{n}))}$.

La matriz de Vandermonde es la matriz de con respecto a las bases canónicas de y ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle F^{n+1}.}$

Cambiar la base de equivale a multiplicar la matriz de Vandermonde por una matriz de cambio de base M (desde la derecha). Esto no cambia el determinante, si el determinante de M es ${\displaystyle P_{n}}$1 .

Los polinomios , , , …, son mónicos de grados respectivos 0, 1, …, n . Su matriz sobre la base monomial es una matriz triangular superior U (si los monomios están ordenados en grados crecientes), con todas las entradas diagonales iguales a uno. Esta matriz es, por tanto, una matriz de cambio de base de determinante uno. La matriz de sobre esta nueva base es ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x-x_{0}}$ ${\displaystyle (x-x_{0})(x-x_{1})}$ ${\displaystyle (x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n-1})}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&\ldots &0\\1&x_{1}-x_{0}&0&\ldots &0\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})&\ldots &(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})\cdots (x_{n}-x_{n-1})\end{bmatrix}}}$.

Por lo tanto, el determinante de Vandermonde es igual al determinante de esta matriz, que es el producto de sus entradas diagonales.

Esto demuestra la igualdad deseada. Además, se obtiene la descomposición LU de V como . ${\displaystyle V=LU^{-1}}$

Tercera prueba: operaciones de filas y columnas

La tercera prueba se basa en el hecho de que si a una columna de una matriz se le suma el producto por un escalar de otra columna, entonces el determinante permanece inalterado.

Así, al restar a cada columna –excepto a la primera– la columna anterior multiplicada por , no se modifica el determinante. (Estas restas se deben hacer comenzando por la última columna, para restar una columna que aún no ha sido modificada). Esto da la matriz ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&0&0&0&\cdots &0\\1&x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\1&x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}}$

Aplicando la fórmula de expansión de Laplace a lo largo de la primera fila, obtenemos , con ${\displaystyle \det(V)=\det(B)}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}x_{1}-x_{0}&x_{1}(x_{1}-x_{0})&x_{1}^{2}(x_{1}-x_{0})&\cdots &x_{1}^{n-1}(x_{1}-x_{0})\\x_{2}-x_{0}&x_{2}(x_{2}-x_{0})&x_{2}^{2}(x_{2}-x_{0})&\cdots &x_{2}^{n-1}(x_{2}-x_{0})\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}-x_{0}&x_{n}(x_{n}-x_{0})&x_{n}^{2}(x_{n}-x_{0})&\cdots &x_{n}^{n-1}(x_{n}-x_{0})\\\end{bmatrix}}}$

Como todas las entradas en la fila -ésima de tienen un factor de , se pueden sacar estos factores y obtener ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x_{i+1}-x_{0}}$

${\displaystyle \det(V)=(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})\cdots (x_{n}-x_{0}){\begin{vmatrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\\\end{vmatrix}}=\prod _{1<i\leq n}(x_{i}-x_{0})\det(V')}$,

donde es una matriz de Vandermonde en . Al iterar este proceso sobre esta matriz de Vandermonde más pequeña, se obtiene eventualmente la expresión deseada de como el producto de todos los tales que . ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \det(V)}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{i}}$ ${\displaystyle i<j}$

Rango de la matriz de Vandermonde

• Una matriz de Vandermonde rectangular m × n tal que m ≤ n tiene rango m si y solo si todos los x _i son distintos.
• Una matriz de Vandermonde rectangular m × n tal que m ≥ n tiene rango n si y solo si hay n de las x _i que son distintas.
• Una matriz cuadrada de Vandermonde es invertible si y sólo si las x _i son distintas. Se conoce una fórmula explícita para la inversa (véase más abajo). ^{[10] [3] [11]}

Matriz de Vandermonde inversa

Como se explicó anteriormente en Aplicaciones, el problema de interpolación polinómica para satisfacer es equivalente a la ecuación matricial , que tiene la solución única . Existen otras fórmulas conocidas que resuelven el problema de interpolación, que deben ser equivalentes a la única , por lo que deben dar fórmulas explícitas para la matriz inversa . En particular, la interpolación de Lagrange muestra que las columnas de la matriz inversa ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle p(x_{0})=y_{0},\ldots ,p(x_{n})=y_{n}}$ ${\displaystyle Va=y}$ ${\displaystyle a=V^{-1}y}$ ${\displaystyle a=V^{-1}y}$ ${\displaystyle V^{-1}}$

$${\displaystyle V^{-1}={\begin{bmatrix}1&x_{0}&\dots &x_{0}^{n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\[.5em]1&x_{n}&\dots &x_{n}^{n}\end{bmatrix}}^{-1}=L={\begin{bmatrix}L_{00}&\!\!\!\!\cdots \!\!\!\!&L_{0n}\\\vdots &&\vdots \\L_{n0}&\!\!\!\!\cdots \!\!\!\!&L_{nn}\end{bmatrix}}}$$

son los coeficientes de los polinomios de Lagrange

${\displaystyle L_{j}(x)=L_{0j}+L_{1j}x+\cdots +L_{nj}x^{n}=\prod _{0\leq i\leq n \atop i\neq j}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}={\frac {f(x)}{(x-x_{j})\,f'(x_{j})}}\,,}$

donde . Esto se demuestra fácilmente: los polinomios satisfacen claramente mientras que , por lo que podemos calcular el producto , la matriz identidad. ${\displaystyle f(x)=(x-x_{0})\cdots (x-x_{n})}$ ${\displaystyle L_{j}(x_{i})=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle L_{j}(x_{j})=1}$ ${\displaystyle VL=[L_{j}(x_{i})]_{i,j=0}^{n}=I}$

Matrices de Vandermonde confluentes

Como se describió anteriormente, una matriz de Vandermonde describe el problema de interpolación de álgebra lineal de encontrar los coeficientes de un polinomio de grado basado en los valores , donde son puntos distintos . Si no son distintos, entonces este problema no tiene una solución única (y la matriz de Vandermonde correspondiente es singular). Sin embargo, si especificamos los valores de las derivadas en los puntos repetidos, entonces el problema puede tener una solución única. Por ejemplo, el problema ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle p(x_{1}),\,...,\,p(x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},\,...,\,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\begin{cases}p(0)=y_{1}\\p'(0)=y_{2}\\p(1)=y_{3}\end{cases}}}$

donde , tiene una solución única para todos los que tienen . En general, supongamos que son números (no necesariamente distintos) y, para simplificar, supongamos que los valores iguales son adyacentes: ${\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$ ${\displaystyle y_{1}\neq y_{3}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$

${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{m_{1}},\ x_{m_{1}+1}=\cdots =x_{m_{2}},\ \ldots ,\ x_{m_{k-1}+1}=\cdots =x_{m_{k}}}$

donde y son distintos. Entonces el problema de interpolación correspondiente es ${\displaystyle m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{k}=n,}$ ${\displaystyle x_{m_{1}},\ldots ,x_{m_{k}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}p(x_{m_{1}})=y_{1},&p'(x_{m_{1}})=y_{2},&\ldots ,&p^{(m_{1}-1)}(x_{m_{1}})=y_{m_{1}},\\p(x_{m_{2}})=y_{m_{1}+1},&p'(x_{m_{2}})=y_{m_{1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{2}-m_{1}-1)}(x_{m_{2}})=y_{m_{2}},\\\qquad \vdots &&&\qquad \vdots \\p(x_{m_{k}})=y_{m_{k-1}+1},&p'(x_{m_{k}})=y_{m_{k-1}+2},&\ldots ,&p^{(m_{k}-m_{k-1}-1)}(x_{m_{k}})=y_{m_{k}}.\end{cases}}}$

La matriz correspondiente para este problema se llama matriz de Vandermonde confluente , dada de la siguiente manera. Si , entonces para un único (que denota ). Sea ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle m_{\ell }<i\leq m_{\ell +1}}$ ${\displaystyle 0\leq \ell \leq k-1}$ ${\displaystyle m_{0}=0}$

${\displaystyle V_{i,j}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<i-m_{\ell },\\[6pt]{\dfrac {(j-1)!}{(j-(i-m_{\ell }))!}}x_{i}^{j-(i-m_{\ell })}&{\text{if }}j\geq i-m_{\ell }.\end{cases}}}$

Esta generalización de la matriz de Vandermonde la hace no singular , de modo que existe una única solución para el sistema de ecuaciones y posee la mayoría de las demás propiedades de la matriz de Vandermonde. Sus filas son derivadas (de algún orden) de las filas originales de Vandermonde.

Otra forma de derivar esta fórmula es tomando un límite de la matriz de Vandermonde a medida que las de se aproximan entre sí. Por ejemplo, para obtener el caso de , tome reste la primera fila de la segunda en la matriz de Vandermonde original, y sea : esto produce la fila correspondiente en la matriz de Vandermonde confluente. Esto deriva el problema de interpolación generalizada con valores dados y derivadas como un límite del caso original con puntos distintos: dar es similar a dar para pequeñas . Los geómetras han estudiado el problema de rastrear puntos confluentes a lo largo de sus líneas tangentes, conocido como compacitificación del espacio de configuración . ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}\to x_{1}}$ ${\displaystyle p(x_{i}),p'(x_{i})}$ ${\displaystyle p(x_{i}),p(x_{i}+\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Véase también

• Matriz acompañante § Diagonalizabilidad
• Polinomio de Schur : una generalización
• Matriz alternante
• Polinomio de Lagrange
• Wronskiano
• Lista de matrices
• Determinante de Moore sobre un cuerpo finito
• Las fórmulas de Vieta

Referencias

1. Roger A. Horn y Charles R. Johnson (1991), Temas de análisis matricial , Cambridge University Press. Véase la sección 6.1 .
2. Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (2013). Cálculos matriciales (4.ª ed.). The Johns Hopkins University Press. págs. 203–207. ISBN 978-1-4214-0859-0.
3. Macon, N.; A. Spitzbart (febrero de 1958). "Inversas de matrices de Vandermonde". The American Mathematical Monthly . 65 (2): 95–100. doi :10.2307/2308881. JSTOR  2308881.
4. François Viète (1540-1603), Fórmulas de Vieta, https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix/Vieta%27s_formulas
5. Björck, Å.; Pereyra, V. (1970). "Solución de sistemas de ecuaciones de Vandermonde". American Mathematical Society . 24 (112): 893–903. doi : 10.1090/S0025-5718-1970-0290541-1 . S2CID  122006253.
6. Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 2.8.1. Matrices de Vandermonde". Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
7. Inversa de la matriz de Vandermonde (2018), https://proofwiki.org/wiki/Vandermonde_matrix/Inverse_of_Vandermonde_Matrix
8. Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas de matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN . 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103. La lección 4 revisa la teoría de representación de grupos simétricos, incluido el papel del determinante de Vandermonde .
9. Gauthier, J. "Evaluación multipunto rápida en n puntos arbitrarios". Universidad Simon Fraser, Tech. Rep (2017).
10. Turner, L. Richard (agosto de 1966). Inversa de la matriz de Vandermonde con aplicaciones (PDF) .
11. "Inversa de la matriz de Vandermonde". 2018.

Lectura adicional

• Ycart, Bernard (2013), "Un caso de eponimia matemática: el determinante de Vandermonde", Revue d'Histoire des Mathématiques , 13 , arXiv : 1204.4716 , Bibcode :2012arXiv1204.4716Y.

Enlaces externos

• Matriz de Vandermonde en ProofWiki