En geometría , un politopo (por ejemplo, un polígono o un poliedro ) o un mosaico es isotoxal (del griego τόξον 'arco') o transitivo en sus aristas si sus simetrías actúan transitivamente sobre sus aristas . De manera informal, esto significa que solo hay un tipo de arista para el objeto: dadas dos aristas, hay una traslación , rotación y/o reflexión que moverá una arista hacia la otra mientras deja la región ocupada por el objeto sin cambios.
Un polígono isotoxal es un polígono de lados pares, es decir, equilátero , pero no todos los polígonos equiláteros son isotoxales. Los duales de los polígonos isotoxales son polígonos isogonales . Los isotoxales -gonos son simétricos centralmente , por lo que también son zonógonos .
En general, un -gono isotoxal (no regular) tiene simetría diedral . Por ejemplo, un rombo (no cuadrado) es un " × -gono" isotoxal (cuadrilátero) con simetría. Todos los -gonos regulares (también con impar ) son isotoxales, con el doble del orden de simetría mínimo: un -gono regular tiene simetría diedral.
Un isotoxal -gono con ángulo interno externo se puede denotar por El ángulo interno interno puede ser menor o mayor que , formando polígonos convexos o cóncavos respectivamente.
Un estrella -gono también puede ser isotoxal, denotado por con y con el máximo común divisor donde es el número de giro o densidad . [1] Los vértices internos cóncavos se pueden definir para Si entonces se "reduce" a un compuesto de copias rotadas de
Precaución:
Se puede definir un conjunto de teselas "uniformes" , en realidad teselas isogonales que utilizan polígonos isotoxales como caras menos simétricas que las regulares.
Los poliedros regulares son isoédricos (transitivos por caras), isogonales (transitivos por vértices) e isotoxales (transitivos por aristas).
Los poliedros cuasirregulares , como el cuboctaedro y el icosidodecaedro , son isogonales e isotoxales, pero no isoédricos. Sus duales, incluidos el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico , son isoédricos e isotoxales, pero no isogonales.
No todos los poliedros o teselaciones bidimensionales construidas a partir de polígonos regulares son isotoxales. Por ejemplo, el icosaedro truncado (el conocido balón de fútbol) no es isotoxal, ya que tiene dos tipos de aristas: hexágono-hexágono y hexágono-pentágono, y no es posible que una simetría del sólido mueva una arista hexágono-hexágono sobre una arista hexágono-pentágono.
Un poliedro isotoxal tiene el mismo ángulo diedro para todos los bordes.
El dual de un poliedro convexo es también un poliedro convexo. [2]
El dual de un poliedro no convexo es también un poliedro no convexo. [2] (Por contraposición.)
El dual de un poliedro isotoxal es también un poliedro isotoxal. (Véase el artículo Poliedro dual ).
Hay nueve poliedros isotoxales convexos : los cinco sólidos platónicos ( regulares ) , los dos núcleos comunes ( cuasirregulares ) de los sólidos platónicos duales y sus dos duales.
Hay catorce poliedros isotoxales no convexos: los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot (regulares) , los dos núcleos comunes (cuasirregulares) de los poliedros duales de Kepler-Poinsot y sus dos duales, más los tres poliedros estelares ditrigonales cuasirregulares (3 | pq ) y sus tres duales.
Hay al menos cinco compuestos poliédricos isotoxales: los cinco compuestos poliédricos regulares ; sus cinco duales son también los cinco compuestos poliédricos regulares (o un gemelo quiral).
Hay al menos cinco teselaciones poligonales isotoxales del plano euclidiano, e infinitas teselaciones poligonales isotoxales del plano hiperbólico, incluidas las construcciones de Wythoff a partir de las teselaciones hiperbólicas regulares { p , q }, y grupos no rectos ( pqr ).
