Curva trazada por un punto de una varilla mientras se arrastra un extremo a lo largo de una línea
En geometría , una tractriz (del latín trahere 'tirar, arrastrar'; plural: tractrices ) es la curva a lo largo de la cual se mueve un objeto, bajo la influencia de la fricción , cuando es arrastrado en un plano horizontal por un segmento de línea unido a un punto de tracción. (el tractor ) que se mueve en ángulo recto con respecto a la línea inicial entre el objeto y el tirador a una velocidad infinitesimal . Se trata por tanto de una curva de persecución . Fue introducido por primera vez por Claude Perrault en 1670 y posteriormente estudiado por Isaac Newton (1676) y Christiaan Huygens (1693). [1]
Derivación matemática
Supongamos que el objeto se coloca en ( a , 0) (o (4, 0) en el ejemplo que se muestra a la derecha), y el tirador en el origen , por lo que a es la longitud del hilo que tira (4 en el ejemplo a la derecha) . Luego, el extractor comienza a moverse a lo largo del eje y en dirección positiva. En todo momento, el hilo será tangente a la curva y = y ( x ) descrita por el objeto, de modo que queda completamente determinada por el movimiento del tirador. Matemáticamente, si las coordenadas del objeto son ( x , y ) , la coordenada y del extractor es según el teorema de Pitágoras . Escribir que la pendiente del hilo es igual a la de la tangente a la curva lleva a la ecuación diferencial
con la condición inicial y ( a ) = 0 . Su solución es
donde el signo ± depende de la dirección (positiva o negativa) del movimiento del tirador.
El primer término de esta solución también se puede escribir
El signo antes de la solución depende de si el tirador se mueve hacia arriba o hacia abajo. Ambas ramas pertenecen a la tractriz y se encuentran en el punto cúspide ( a , 0) .
Base de la tractriz.
La propiedad esencial de la tractriz es la constancia de la distancia entre un punto P de la curva y la intersección de la recta tangente en P con la asíntota de la curva.
La tractriz puede considerarse de diversas formas:
Es la involuta de la función catenaria , que describe una cuerda totalmente flexible, inelástica y homogénea unida a dos puntos que está sometida a un campo gravitacional . La catenaria tiene la ecuación y ( x ) = a cosh X/a .
La trayectoria determinada por la mitad del eje trasero de un automóvil tirado por una cuerda a velocidad constante y con dirección constante (inicialmente perpendicular al vehículo).
Es una curva (no lineal) en la que un círculo de radio a que rueda sobre una línea recta, con su centro en el eje x , intersecta perpendicularmente en todo momento.
La función admite asíntota horizontal. La curva es simétrica con respecto al eje y . El radio de curvatura es r = a cot X/y .
La curva se puede parametrizar mediante la ecuación . [4]
Por la forma geométrica en que fue definida, la tractriz tiene la propiedad de que el segmento de su tangente , entre la asíntota y el punto de tangencia, tiene longitud constante a .
La longitud del arco de una rama entre x = x 1 y x = x 2 es un ln x1/x2 .
La envolvente de las normales de la tractriz (es decir, la evolución de la tractriz) es la catenaria (o curva en cadena ) dada por y = a cosh X/a .
La superficie de revolución creada al hacer girar una tractriz alrededor de su asíntota es una pseudoesfera .
La tractriz es una curva trascendental ; no puede definirse mediante una ecuación polinómica.
Aplicación práctica
En 1927, P. G. A. H. Voigt patentó un diseño de altavoz de bocina basado en el supuesto de que un frente de onda que viaja a través de la bocina es esférico y tiene un radio constante. La idea es minimizar la distorsión causada por el reflejo interno del sonido dentro de la bocina. La forma resultante es la superficie de revolución de una tractriz. [5] Una aplicación importante es la tecnología de conformado de chapa. En particular, se utiliza un perfil tractrix para la esquina de la matriz sobre la que se dobla la chapa durante la embutición profunda. [6]
Un diseño de polea y correa dentada proporciona una eficiencia mejorada para la transmisión de potencia mecánica utilizando una forma de catenaria tractriz para sus dientes. [7] Esta forma minimiza la fricción de los dientes de la correa que se acoplan a la polea, porque los dientes móviles se acoplan y desenganchan con un contacto deslizante mínimo. Los diseños originales de correas de distribución utilizaban formas de dientes circulares o trapezoidales más simples , que provocan un deslizamiento y una fricción importantes.
máquinas de dibujo
En octubre-noviembre de 1692, Christiaan Huygens describió tres máquinas de tracción tractrices. [8]
En 1693 Gottfried Wilhelm Leibniz ideó una "máquina de tracción universal" que, en teoría, podía integrar cualquier ecuación diferencial de primer orden . [9] El concepto era un mecanismo informático analógico que implementaba el principio de tracción. El dispositivo no era práctico de construir con la tecnología de la época de Leibniz y nunca se realizó.
En 1706 John Perks construyó una máquina de tracción para realizar la cuadratura hiperbólica . [10]
^ Stillwell, John (2010). Las matemáticas y su historia (revisada, 3ª ed.). Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 345.ISBN 978-1-4419-6052-8., extracto de la página 345
^ Beltrami, E. (1868). "Saggio di interpretazione della geometria non euclidea". Giornale di Matematiche . 6 : 284.Citado por Bertotti, Bruno; Catenacci, Roberto; Dappiaggi, Claudio (2007). "Pseudoesferas en geometría y física: de Beltrami a de Sitter y más allá". Un gran matemático del siglo XIX. Papeles en honor a Eugenio Beltrami (1835-1900) (italiano) . Ist. Lombardo Accad. Ciencia. Letón. Incontr. Estudio. vol. 39. LED-Ed. Univ. Letón. Economía. Diritto, Milán. págs. 165-194. arXiv : matemáticas/0506395 . ISBN 978-88-7916-359-0. SEÑOR 2374676.
^ Kasner, Eduardo; Newman, James (2013). "Figura 45(a)". Matemáticas y la Imaginación . Libros de Dover sobre matemáticas. Corporación de mensajería. pag. 141.ISBN9780486320274.
^ Diseño de altavoz de bocina págs. 4-5. (Reimpreso de Wireless World, marzo de 1974)
^ Lange, Kurt (1985). Manual de conformado de metales . Compañía de libros McGraw Hill. pag. 20.43.
^ "Manual de diseño de la unidad Gates Powergrip GT3" (PDF) . Corporación Gates . 2014. pág. 177 . Consultado el 17 de noviembre de 2017 . El perfil dental GT se basa en la función matemática tractix. Los manuales de ingeniería describen esta función como un sistema "sin fricción". Este desarrollo temprano de Schiele se describe como una forma involuta de catenaria.
^ ab Bos, HJM (1989). "Reconocimiento y asombro: Huygens, movimiento de tracción y algunas reflexiones sobre la historia de las matemáticas" (PDF) . Euclides . 63 : 65–76.
^ Milici, Pietro (2014). Lolli, Gabriele (ed.). De la lógica a la práctica: estudios italianos en filosofía de las matemáticas . Saltador. ... dispositivos mecánicos estudiados ... para resolver ecuaciones diferenciales particulares ... Debemos recordar la 'máquina de tracción universal' de Leibniz
^ Beneficios, John (1706). "La construcción y propiedades de una nueva cuadratriz de la hipérbola". Transacciones filosóficas . 25 : 2253–2262. doi :10.1098/rstl.1706.0017. JSTOR 102681. S2CID 186211499.