Fuerte espacio dual

Espacio dual continuo dotado de la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , el espacio dual fuerte de un espacio vectorial topológico (TVS) es el espacio dual continuo de equipado con la topología fuerte ( dual ) o la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de donde esta topología se denota por o La topología polar más burda se llama topología débil . El espacio dual fuerte juega un papel tan importante en el análisis funcional moderno, que generalmente se supone que el espacio dual continuo tiene la topología dual fuerte a menos que se indique lo contrario. Para enfatizar que el espacio dual continuo, tiene la topología dual fuerte, o puede escribirse. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$

Topología dual fuerte

En todo momento, se supondrá que todos los espacios vectoriales están sobre el campo de los números reales o de los números complejos. ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Definición desde un sistema dual

Sea un par dual de espacios vectoriales sobre el cuerpo de números reales o números complejos. Para cualquier y cualquier definición ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |.}$$

Ni uno ni otro tiene una topología, por lo que se dice que un subconjunto está acotado por un subconjunto si para todo Por lo tanto, un subconjunto se llama acotado si y solo si Esto es equivalente a la noción usual de subconjuntos acotados cuando se da la topología débil inducida por la cual es una topología localmente convexa de Hausdorff . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle C\subseteq Y}$ ${\displaystyle |y|_{B}<\infty }$ ${\displaystyle y\in C.}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ $${\displaystyle \sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y.}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

Sea la familia de todos los subconjuntos acotados por elementos de ; es decir, es el conjunto de todos los subconjuntos tales que para cada Entonces la topología fuerte en también denotada por o simplemente o si se entiende el emparejamiento , se define como la topología localmente convexa en generada por las seminormas de la forma ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |<\infty .}$$ ${\displaystyle \beta (Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle b(Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \beta (Y,X)}$ ${\displaystyle b(Y,X)}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle |y|_{B}=\sup _{x\in B}|\langle x,y\rangle |,\qquad y\in Y,\qquad B\in {\mathcal {B}}.}$$

La definición de la topología dual fuerte procede ahora como en el caso de un TVS. Nótese que si es un TVS cuyo espacio dual continuo separa el punto en entonces es parte de un sistema dual canónico donde En el caso especial cuando es un espacio localmente convexo , la topología fuerte en el espacio dual (continuo) (es decir, en el espacio de todos los funcionales lineales continuos ) se define como la topología fuerte y coincide con la topología de convergencia uniforme en conjuntos acotados en es decir con la topología en generada por las seminormas de la forma donde recorre la familia de todos los conjuntos acotados en El espacio con esta topología se llama espacio dual fuerte del espacio y se denota por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right),}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ $${\displaystyle |f|_{B}=\sup _{x\in B}|f(x)|,\qquad {\text{ where }}f\in X^{\prime },}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }.}$

Definición en un TVS

Supóngase que es un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el cuerpo Sea cualquier sistema fundamental de conjuntos acotados de ; es decir, es una familia de subconjuntos acotados de tal que cada subconjunto acotado de es un subconjunto de algún ; el conjunto de todos los subconjuntos acotados de forma un sistema fundamental de conjuntos acotados de Una base de vecindades cerradas del origen en está dada por las polares : como rangos sobre ). Esta es una topología localmente convexa que está dada por el conjunto de seminormas en : como rangos sobre ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ $${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{B}:=\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Si es normable entonces es y será de hecho un espacio de Banach . Si es un espacio normado con norma entonces tiene una norma canónica (la norma del operador ) dada por ; la topología que esta norma induce en es idéntica a la topología dual fuerte. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\|x^{\prime }\right\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Bidual

El bidual o segundo dual de un TVS a menudo denotado por es el dual fuerte del dual fuerte de : donde denota dotado de la topología dual fuerte A menos que se indique lo contrario, generalmente se supone que el espacio vectorial está dotado de la topología dual fuerte inducida en él por en cuyo caso se denomina bidual fuerte de ; es decir, donde el espacio vectorial está dotado de la topología dual fuerte ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime },}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }}$$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime },}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle X^{\prime \prime }\,:=\,\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}$$ ${\displaystyle X^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime \prime },X_{b}^{\prime }\right).}$

Propiedades

Sea un TVS localmente convexo . ${\displaystyle X}$

• Un subconjunto débilmente compacto y equilibrado convexo está acotado en ^[1] ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{b}^{\prime }.}$
• Todo subconjunto débilmente acotado de está fuertemente acotado. ^[2] ${\displaystyle X^{\prime }}$
• Si es un espacio en forma de barril , entonces la topología de es idéntica a la topología dual fuerte y a la topología de Mackey en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es un espacio localmente convexo metrizable, entonces el dual fuerte de es un espacio bornológico si y sólo si es un espacio infrabarrilado , si y sólo si es un espacio barrilado . ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• Si Hausdorff es TVS localmente convexo, entonces es metrizable si y solo si existe un conjunto contable de subconjuntos acotados de tal manera que cada subconjunto acotado de está contenido en algún elemento de ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
• Si es localmente convexo, entonces esta topología es más fina que todas las demás topologías cuando se consideran solo aquellos cuyos conjuntos son subconjuntos de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X.}$
• Si es un espacio bornológico (por ejemplo, metrizable o espacio LF ), entonces es completo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{b(X^{\prime },X)}^{\prime }}$

Si es un espacio en barril , entonces su topología coincide con la topología fuerte en y con la topología de Mackey en generada por el emparejamiento ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$

Ejemplos

Si es un espacio vectorial normado , entonces su espacio dual (continuo) con la topología fuerte coincide con el espacio dual de Banach ; es decir, con el espacio con la topología inducida por la norma del operador . Por el contrario, la topología en es idéntica a la topología inducida por la norma en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Véase también

• Topología dual
• Sistema dual
• Lista de topologías  – Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Topología polar  : topología espacial dual de convergencia uniforme en alguna subcolección de subconjuntos acotados
• Espacio reflexivo  – Espacio vectorial topológico localmente convexo
• Espacio semirreflexivo
• Topología fuerte
• Topologías sobre espacios de aplicaciones lineales

Referencias

1. Schaefer y Wolff 1999, pág. 141.
2. Schaefer y Wolff 1999, pág. 142.
3. Schaefer y Wolff 1999, pág. 153.
4. Narici y Beckenstein 2011, págs. 225–273.

Bibliografía

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Wong (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6.OCLC 5126158  .